2022年基本不等式知识点归纳.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量不等式：基本不等式学问点总结rrrrrr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | b | ab | a | b |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrrurururururururur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【留意】： a、b 同向或有 0| ab | | a | b | |a |b | | ab| .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rrrurururururururur可编辑资料

2、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a、b 反向或有 0| ab | a |b | | a | b | | ab |.a、b 不共线代数不等式 ：|a |b | | ab| | a | b |.这些和实数集中类似a, b 同号或有 0| ab| a | b | |a | b | ab |.a, b 异号或有 0| ab| | a | b | | a |b |ab |.rrurururururur可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_肯定值不等式：a 1a 2a 3 a1a 2a 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aba

3、babab0时, 取等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双向不等式：ab ab ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bmbbmamaam放缩不等式：（左边当ab 0 0 时取得等号,右边当ab 0 0 时取得等号 .）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ab0, am0 ,就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【说明】：ab0, m0 ,糖水的浓度问题）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

4、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bbm （aam【拓展】： ab0, m0, n0, 就 babmana 1.ambnb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a, b,cR, bdacbbdd,就.aacc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ nN,n1n12nnn1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ nN, n1 , 11111 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nn1nn1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ lnx 1x x0 , ex x1 xR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

5、品资料_函数 fxaxb a、b x0 图象及性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 函数2 函数f xf xaxb xaxb xa、 ba、 b0 图象如图：0 性质：yb2 abaoxb2 aba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域： ,2ab 2ab , .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调递增区间：,b , ab , .单调递减区间：0, ab , ab , 0 .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

6、下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重要不等式1、和积不等式：基本不等式学问点总结a,bRa 2b2 2ab 当且仅当 ab 时取到 “ ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aba 2b 2aba 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【变形】： ab 2（当 a = b 时, 2ab ）可编

7、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【留意】：ab ab a, bR 2 , ab ab 2 a, bR 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、均值不等式：两个正数a、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即“平方平均 算术平均 几何平均 调和平均 ”22ababa 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11ababab 2（当且仅当2a b时取“ ”）可编辑资料 - - - 欢迎下

8、载精品_精品资料_*. 如 x0 ,就 x12当且仅当 xx1 时取“ = ”）;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x0 ,就 x12当且仅当 xx1 时取“ = ”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x0 ,就 x12即x12或x1-2当且仅当 ab 时取“ = ”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*. 如 ab0 ,就 ab2ba当且仅当 ab 时取“ = ”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如ab0 ,就 ab2即 ab

9、2或 ab-2当且仅当 ab 时取“ = ”）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bababa3、含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）：333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc 3abc （ abc0等式即可成立 , ab c或abc0时取等 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 abc abc 3abc abc 3 abc33333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_* 不 等 式 的 变 形 在 证 明 过 程 中 或 求 最 值 时 , 有 广 泛 应 用 , 如 ： 当 ab0 时 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载

10、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22bab2ab 同时除以ab 得aa 2a 2 或 bb aa11.b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_* a, b, 均为正数,2abba 2b2abab 2a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_八种变式： ab. ab 22 . 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ab2a 2b 2 .如 b0, 就 a2b2ab . a0,b0,就 114.abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -

11、欢迎下载精品_精品资料_如 a0,b0, 就 11 24.如 ab0 ,就111 11 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ababa2b 22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述八个不等式中等号成立的条件都是“ab ” .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -

12、最值定理（积定和最小）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x, y0,由xy 2xy ,如积xyP 定值 ,就当 xy 时和 xy 有最小值 2p .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（和定积最大）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x, y0,由xy 2xy ,如和xyS定值 ,就当 xy 是积 xy 有最大值1 s2 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【推广】： 已知x, yR ,就有 xy 2xy22xy .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）如积 xy 是定值, 就当 | xy | 最大时, | xy | 最

13、大. 当 | xy | 最小时, | xy | 最小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）如和 | xy | 是定值,就当| xy | 最大时,| xy | 最小.当 | xy | 最小时,| xy | 最大 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知a, x,b, yR,如axby1 ,就有就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的最小值为：1111 axby byaxab ab2ab2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxyxy已知,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料

14、_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -就和的最小值为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：可编辑资

15、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_凑系数（乘、除变量系数）. 例 1.当0x4 时,求函的数yx82 x 最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_凑项（加、减常数项）：例 2.已知 x5,求函数4f x4x214x5的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x27 x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_调整分子：例3.求函数f xx1 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 变 用 公 式 ： 基 本 不 等 式 ab1ab 有 几 个 常 用 变 形 ,a2b2ab,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

16、a2b 2222 ab 2 不易想到,应重视.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 4.求函数 y2x152x 1x5 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连用公式：例5.已知 ab0 ,求ya216b ab的最小值.

17、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对数变换：例6.已知 x1 , y21,且 xye ,求 t2 xln y 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角变换：例7.已知0y x,且 tan x23tany ,求 txy 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常数代换 （逆用条件） ：例 8.已知 a0, b0 ,且 a2b1 ,求 t11的最小值 .ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：平方和为定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 x2y20 2.a （ a 为 定 值 ,

18、 a0 ）, 可 设xa cos, ya sin, 其 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x, yxya sina cos2a sin 在 0, 1, 5,2 上是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_增函数,在 1, 5 上是减函数.444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x, yxy1 a sin 2在 0, 1, 3, 5, 7,2上 是 增 函 数 , 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1, 3, 5, 72 上是减函数

19、.4444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ mx, y11xysincos.令 tsincos2a sin ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxya sincos4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 t2,1 U 1,1 U 1,2.由 t 212sincos,得 2sincost 21,从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 m x, y2ta t 212a t在 2,1 U 1,1U 1,2 上是减函数 .1t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料

20、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和为定值如 xyb （ b 为定值, b0 ）,就ybx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ g x, yxyx2bx 在 b, 上是增函数,在2 b , 2 上是减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ mx, y11xyb2.当 b0 时,在 b,0,0, 上是减函数,在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxyxbx2bbb,b, b, 上是增函数. 当 b0 时,在 , b, b, 上是减函数, 在 ,0,0,

21、 上222是增函数 .2222bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ nx, yxy2 x2bxb 在 , 上是减函数,在,上是增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积为定值如 xyc （ c 为定值, cc0 ）,就 yc

22、.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x, yxyx. 当 cx0 时 , 在 c,0,0,c 上 是 减 函 数 , 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,c,c, 上是增函数.当c0 时,在 ,0,0, 上是增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ mx, y1 xc .当 c0 时,在 c,0,0,c 上是减函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11xyxyxycx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ,c ,c, 上是增函数.当c0 时,在 ,0,0, 上是减函

23、数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n x, yx2y2c22xx2 xc 2x2c 在 ,c ,0,c 上是减函数,在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c,0,c,上是增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_112xyd倒数和为定值如（ d 为定值,1 , 1 , 1xdy）, 就 yc . 成等差数列且均不为零,可设公x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_差为 z ,其中 z111,就z, 11z, 得 xd, yd. .可编辑资料

24、- - - 欢迎下载精品_精品资料_dxdyd1dz1dz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xxy2d. 当 d0 时 , 在 ,1 ,1 ,0上 是 减 函 数 , 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1d 2 z2dd1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0,dd上 是 增 函 数 . 当 d0 时 , 在,0dd上 是 增 函 数 , 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0,1 ,1 , 上减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ddd 211可编辑资料 -

25、- - 欢迎下载精品_精品资料_ g x, yxy22 . . 当 d1dz0 时 , 在,0dd上 是 减 函 数 , 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0, 1 , 1 ,dd上 是 增 函 数 . 当 d0 时 , 在, 1 , 1 ,0dd上 是 减 函 数 , 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0,1 ,1 , 上是增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料

26、- - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -222d 2 d2 z2122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ nx, yxy222. . 令td z1 , 其 中t 1 且 t2 , 从 而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_d z122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n x, y2d t2d在 1,2 上是增函数,在2, 上是减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t2 2t44 t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载