概率论与数理统计讲义曹显兵.docx

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1、概率论曹显兵第一讲随机事件与概率考试要求1 . 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算.2 .理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型 概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯公 式.3 .理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验 的概率，掌握计算有关事件概率的方法.一、古典概型与几何概型1 .试验，样本空间与事件.2 .古典概型：设样本空间Q为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性， 那么”小_4中有利事件数 （）一基本领件总数3 .几何概型：设。为欧氏空间中的一个有界区域，样本点

2、的出现具有等可能性， 那么尸（_A的度量（长度、面积、体积）一 Q的度量（长度、面积、体积）【例1】一个盒中有4个黄球，5个白球，现按以下三种方式从中任取3个球，试 求取出的球中有2个黄球，1个白球的概率.(1)(2)(3)【例2(1)(2)一次取3个; 一次取1个, 一次取1个，1 从（0, 1） 两数之和小于两数之和小于取后不放回；取后放回.中随机地取两个数，试求以下概率:1. 2；1且其积小于1.16一、事件的关系与概率的性质.事件之间的关系与运算律（与集合对应），其中特别重要的关系有:(1) A与B互斥(互不相容) 8口=(2) A与B互逆(对立事件)o AB = , A 8 =。(3

3、) A 与 B 相互独立o P (AB)=P (A) P (B).O P (B|A) =P (B) (P (a) 0). 尸(84) + 尸(引2) = 1 (0P(A) 1).P (B|A)二P (B|7 )( 0 P (A) 0)(P (B) 0)注:假设(0P (B) c 16,2x 1_9999而 E(U)= 1 x4+2x= H， E(V)= Xx8+2x= 10.99 V99 9故 Cov(U,V)= E(UV)- E(U)E(V)1_x_L= 499 981【例4设随机变量x在区间(0, 1)上服从均匀分布，在X=%(O% 1.二、二维(或两个)随机变量函数的分布1.分布的可加性

4、(1)假设 XB (m, p) , YB (n, p),且X 与 Y 相互独立，那么 X+Y B (m+n, p).(2)假设XP (入)，YP (入)，且X与Y相互独立，贝I X+YP (入+入).1212(3)假设 XN () , YP (),且 X 与 Y 相互独立，贝I X+Y-N ().N ,。2|LX ,y 2|1 + |1,O2+d2112 21212一般地，假设XN ( 口 B), i=l, 2,，n,且X , X 2,，X相互独立，那么 i iY=C X +C X +C X+C仍服从正态分布，且此正态分布为112 2n nN(Xcpi+C苫o26), 其中C,，C为不全为零的

5、常数.i ii i1nj -JI2.两个随标变量函藏的分布.【例5】设X与Y相互独立，且x尸,yP, 7MK)wO=口Pmin(X,y)wO=旦例6例6设X与Y相互独立,其密度函数分别为:flOx 10,其他.I e-y依)=0,其他.求Z = 2X + Y的概率密度.例7设二维随机变量(X, Y)的概率密度为x 1 O y2y；(ID求2=乂 + 丫的概率密度/ (z).【详解】(I) px2y= U(2 -x-y)dx = o 2V24x2 yOD方法一：先求Z的分布函数：F (z) = P( X + K Z) = ff f (x, y)dxdyzx+z当 z0 时，F(z)=o ；z当

6、0 z 1 时，F (z) = ff /(x, y)dxdy = J二dyjz-v(2 x y)dxZ00D11=Z 2 _z 3 ；3当 14zv2 时，F (z) = -| _ JJ y (Xj y)dxdy = 1 - J1 dy (2 x - y)dx Z7 1D2-1z-y2= 1-2 (2-z)3；3当 zN2时，F (z)=1. z 故2=乂 + 丫的概率密度2z Z 25 0 z 1,/(Z)=9(Z)= (2 -z)2, 1 z 2,Z z 0, 其他.方法二： / (z) = f+00/(x, z x)dx，-oof2 - x - (z x), 0x1,0z x1, ,z

7、x)=.I 0,其他.2- z, 0%15xz1+x50,其他当 z WO 或 z 三 2 时，f(z)=O；J z当 0z1 时，f (z) =Jz(2z)dx = z(2 z)；Z 0当1z2时，f (z) = / (2-z)dx = (2 z)2;Zz-1故Z=X + Y的概率密度f 2z- z 2, 0 z 1, fz(z)=Uz-2)2, 1 Z2, 0, 其他【例8设随机变量X与Y相互独立，X有密度函数f (x) , Y的分布律为P(Y=a ) = p,仁1,2.试求2 = 乂 + 丫的概率分布. i i第四讲数字特征与极限定理考试要求1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准

8、差、矩、协方差、相关系数) 的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.2.会根据随机变量x的概率分布求其函数x)的数学期望和y的联合概率分布求其函数MX y)3. 了解切比雪夫不等式.的数学期望坛(x,y)Eg(X)；会根据随机变量x4. 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变 量的大数定律)5. 了解棣莫弗一拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布)和列维一林德 伯格定理(独立同分布的中心极限定理)；(经济类还要求)会用相关定理近似计算有 关随机事件的概率 一、数学期望与方差(标准差)1.定义(计算公式)离散型尸x=%=p,E(X) = xp

9、 III Ii连续型 X f(x) ,E(X)=xf(x)6x-00方差： Z)(X) = E(X-E(X)2 = E(X2)_e(x)1标准差：心而，1 .期望的性质：1E(C)=C, E(E(X)=E(X)2 E(CX+Cr) = CE(X) + C E(r) 12123 假设x与班立，那么仇xy)= e(x)仇y)4 E(XY)2典 X2)E(Y2).方差的性质:D(C) = 0, D(E(X) = 0, D(D(X ) = 02x与叼f互独立，那么o(xy)= o(x)+ z)(y)3D（C x + c ） = C2O（X）1214 一般有 d（x r） = d（x）+ z）（r）2C

10、ov（x,y）=o（x）+ o（y）土 2P “（x） Jz）（y）5 O（X）仇X-c）2, C,E（X）【例1设试验成功的概率为3,失败的概率为L独立重复试验直到成功两次为 44止.试求试验次数的数学期望.【例2 n片钥匙中只有一片能翻开房门，现从中任取一片去试开房门，直到打 开为止.试在以下两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差：(1)试开过的钥匙即被除去；(2)试开过的钥匙重新放回.1 x n 【例3设随机变量X的概率密度为/(%)=)dxdy-0000【例5】设X与Y独立且均服从N (0, 1),求的数学期望与方差.例6设两个随机变量X与Y相互独立且均服从N (0, L)，试求Z=

11、 | X-Y |的2数学期望与方差.三、协方差，相关系数与随机变量的矩1、重要公式与概念：协方差 cov(x,y)= A(x- e(x)(y- e(y)相关系数相关系数Cov（x,y）XY - S（X）S（Y）郊介原点矩E(Xk)邱介中心矩ex E(X)2、性质：r Cov（x5y）= Cov（r5x）2 Cov（x 力 y） = 6z/?Cov（x,y）Cov（x+X 5y）= Cov（X ,y）+Cov（X ,Y） 12124 p（X,Y） |o）p（x,y）= ioP（y = x+b）= i（qo）3、下面5个条件互为充要条件：（1） p（x,y）= o（2）Cov（x,y）= o（3）

12、 E（XY） = E（X）E（Y）D（x + y）= D（x）+ o（y）（4） o（x-y）= D（x）+ D（y）【例7】设X ,X , ,X 5 2）为独立同分布的随机变量，且均服从N（0,1）,记 12nX = 1 X、 Y = x 元，= 1,2,，儿求：n i i i /=iY 的方差Q（y）, j=12 , n ； IIy与y的协方差a?y（y,y）; 1 n1 n（HI） PY+Y 0.1 n四、极限定理切比雪夫不等式D(X) ，或P2-E(X)| 1- O(X)2.3.4.大数定律Poisson 定理中心极限定理列维一林德伯格定理E(X )=m O(X) = o2, 1= 1

13、,2：设随机变量X , X ,，X12，凡，那么对任意正数X,有,相互独立同分布，且户，lim -4-1=一码8-00棣莫弗一拉普拉斯定理:设n B(h, p),(即 X ,设,X,相互独立，同服从n01分布)那么有limP一8v npnU叩 a-p)jx = ix-00应准备现金 0. 999.【详解】金为1000X,-200000 )X-200xVT20 000-0这批债券共发放了 500例8银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金,张，每张须付本息1000元，设持券人(1人1券)到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99. 9%的把握满足客户的兑换.【分析】

14、 假设X为该日到银行领取本息的总人数，那么所需现金为1000X,设银行该日x元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，那么P (lOOOXWx)三设X为该日到银行领取本息的总人数，那么)CB (500, 0.4)所需支付现 为使银行能以99. 9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x元,那么P (1000 XWx)三0.999.由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知:XP(1000X x) = P(X)1000/x=PX-500x0.4woe-500x0.41 % 一 200000 ) 0 999 二口. 、2000回)即 2000001 得 x2 233958. 798.20000，

15、因此银行于该日应准备234000元现金才能以99. 9%的把握满足客户的兑换.第五讲数理统计考试要求1 .理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其 中样本方差定义为S2=_LH-1 ir=12 . 了解厂分布、t分布和F分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算. 了解正态总体的常用抽样分布.3 .理解经验分布函数的概念和性质，会根据样本值求经验分布函数.4 .理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.5 .掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法.6 . 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并 会验证估计量的无偏性.7 .理解

16、区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个 正态总体的均值差和方差比的置信区间.8 .理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产 生的两类错误.9 . 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验一、样本与抽样分布1.2.总体、个体与简单随机样本：常用统计量：1样本均值xn iZ=12样本方差S2=_Z （X 一用2n -1，/=13.4.3样本标准差：s4样本k阶原点矩5样本k阶中心矩分位数重要抽样分布A JX Xk,Z=12 k n i上1(x-河水=12k niZ=1(1)(1)(2) t分布F分布f Xj,/=15.正态总体的常用抽样分布

17、 ：设X ,X, ,x为来自正态总体N(jLL,O2)的样本,121 X ,贝 U一丫)2S2=(Xi /、(1) X-N也或矛_日N(0,1).、n ) o/yn(2) (12亍(x 办 为2(1).0 20 2ii=1(3) _X (X_ 2 /2().O 2ii=1(4) 册X J t(n _1). J(5) 丁与 S2 相互独立，且 E(X) = 1Ll,5(S2)=O 2，/)(%)=n【例1】 设总体XN(n,O2),设x,x, ,X是来自总体x的一个样本，且12n_y _nZ=1$2 二 (X %)2 ,求成 X S2).1 H/=1【例2】 设总体XN(h,02),设x,x,

18、,x是取自总体X的一个样本，且12n1 y 1 * = dX,S2=/ (X)2,贝 口 0(S2)= 口 n/n-11v 7 -1 =1i =1【例3设随机变量X(明好1),那么y=-LX2【例4】设总体X服从正态分布n(0,22),而X,X , ,X是来自总体X的简单随机1215样本，求随机变量X2+ +X2Y =11。2(X2+X2)1115的分布.【例5设总体X N(|li,O2),设X,X, ,X,X是来自总体X的一个样本，且12n w+1X =(S*)2 =Z(X 芬)2,IZ=1/=1试求统计量.X,用-N 巴的分布.S. V+1二、参数估计1 .矩估计2 .最大似然估计3 .区

19、间估计4 .估计量的评选标准【例6】设总体x u(e ,0 )，x，x , , x为来自总体x的样本，试求o ,o的矩估计和 1212n12最大似然估计.【例7设总体x的概率密度为0,0 cx1,e, 1 x 2,0, 其他. 、其中。是未知参数(0 1), X X , ,X为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值(2)。的最大似然估计.1,2n%中小于1的个数，求(1)。的矩估计; 1,2n【例8】设总体X的概率密度为f Qx 小)而(。力,e,0, 其他.x、x为来自x的简单随机样本，1 2n(1)求。的矩估计量0；(2)判断e的无偏性；(3)判断。的一致性.三、假设检验1 .假设检验的基

20、本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假 设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能 发生而对假设作出拒绝或接受.2 .单个正态总体均值和方差的假设检验.3假设检验两类错误：第一类错误：原假设”为真，但拒绝了小00第二类错误；原假设H为假，但接受到了o P(A|B) + P(A|B)=1 (Op (B) 1).O P (A|B) =P (A| 后)(0P (B) 1)O P(a|B) =P (aIb) (0P (B) 0) p(a)例 3(A+) (7+R)+ jt+A+3=C,且 P ( C )=),试求P (B ). 3【例4】 设两两相互独

21、立的三事件A, B, C满足条件：ABC=，P (A) =P (B)=P (C)1,且尸(A B C)=_?_,那么 P (A) =216例5设三个事件A、B、凶茜处P (AB) =P (ABC),且0P (C) 1,那么 (A) P (A|jB|C) =P (A|C) +P (B|C) .(B) P (A|jB|C) =P (A|jB).(C) P (A|jB| c) =P(A| c) + P (B| c) .(D) P (A|jB|c)=P(A|jB).【例6】 设事件A, B, C满足条件：P (AB) =P (AC) =P (BC)，P (ABC)= 81,那么事件A, B, C中至多

22、一个发生的概率为16【例7】.设事件A, B满足P (B| A) =1那么(A) A 为必然事件.(B) P (B|J)=0.(C) Ao(D) Au8.【例8】 设A, B, C为三个相互独立的事件，且0P(C)l,(1(A) 与C.(B) 北与C(C ) 与G(D)而与C【例9】设A, B为任意两个事件，试证(A) A 为必然事件.(B) P (B|J)=0.(C) Ao(D) Au8.【例8】 设A, B, C为三个相互独立的事件，且0P(C)l,(1(A) 与C.(B) 北与C(C ) 与G(D)而与C【例9】设A, B为任意两个事件，试证那么不独立的事件为P (A) P (B) -P

23、 (AB) P (A-B) P (B-A)三、1.乘法公式，全概率公式，Bayes公式与二项概率公式乘法公式：尸(A A) = P( A)P(A2 | A) = P( 4)P(A | A).尸(A AA) = P(A )P(A | A )P( A |AA )1 2 n12131 2P(A AA A ).n 1 2n-12.全概率公式:00P(B) = X P(B| A)P(A), AA =0)/w j, A=Q, i i i jiZ=1Z=13. Bayes 公式：|JP(A |B)=-仍叱)/(2),A A =(D,iw， A =Q.7 P(BA )P(A)(=i闫 u4.二项概率公式：UP

24、 (k) = Ck Pk (1 p)n-k ,左= 0,1,2, , n. 9 nn【例10】10件产品中有4件次品，6件正品，现从中任取2件，假设其中有一件为 次品，.试求另一件也为次品的概率.【例n】设10件产品中有3件次品，7件正品，现每次从中任取一件，取后不放回. 试求以下事件的概率.(1)第三次取得次品；(2)第三次才取得次品；(3)前两次没有取得次品，第三次取得次品；(4)不超过三次取到次品；【例12】甲，乙两人对同一目标进行射击，命中率分别为0.6和0.5,试在以下两种 情形下，分别求事件“目标被命中,它是甲射中”的概率.(1)在甲，乙两人中随机地挑选一人，由他射击一次；(2)甲

25、，乙两人独立地各射击一次.【例13设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名 表分别为3份,7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两 份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率P；(2)后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q .第二讲随机变量及其分布考试要求1 .理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数(尸a)= p(x0)的指数分布的概率密度为/(%)=X.0,5 .会求随机变量函数的分布.一、分布函数1 .随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量.2 .分布函数：尸(%) = P(X V ),-oox+ ooF (x

26、)为分布函数 o (1) OWF (x) W1(2) F (x)单调不减右连续F (x+0) =F (x)(3) F (-oo) = 0, F (+oo) = 1(4) 散型随机变量与连续型随机变量(1)离散型随机变量P( X = x) = p , z = 1,2, ,n,i=1分布函数为阶梯跳跃函数. 连续型随机变量FW J V00f (x)为概率密度 0(1) f (x)20,(2)卜8 f (x)山=1-00P(aXb) = P(aXb)=ih fx)4.几点注意【例1 设随机变量x的分布函数为0,x 1,57F(x) =_x+一 -1 x1.那么尸(X2=1) =二【例2】设随机变量X

27、的密度函数为f (x),且f (-x)=f (x),记尸和尸(x)分别是X和X的分布函数，那么对任意实数x有 【】X-X 7(A) F (x) = F -XX(B) F (x) = F -XX(C) F (x) = F (-X).-XX(C) F (x) = 1 - F (x) .(D) F (x) = 2F(X)-1.-XX-XX【例3】设随机变量X服从参数为入的指数分布，试求随机变量Y= min X,2 的分布函数例4 设某个系统由6个相同的元件经两两串联再并联而成，且各元件工作状 态相互独立每个元件正常工作时间服从参数为九0的指数分布，试求系统正常工作的时间T的概率分布.1 一 【例5】

28、设随机变量x的概率密度为了(%)=1一，|x|1)0,其他.试求(1)x的分布函数尸；(2)概率尸(2X 0, k = 0,1,2, kJI ， 仇均匀分布。(。：均%) = a0 , 其他.正态分布N (11,0 2)：1_(f)2/(X) -e 202,J2m指数分布e(九)：/w =.,0,其他.O0, oo (J, +oo（8）超几何分布 H （N,M,n） : p（x=k）=6 攵= 0,1, ,min,/ c、例6某人向同一目标独立重复射击,每次射推命中目标的概率为P （0pl）,那么此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为1】（A） 3 /?（1 _）2 （B） 3 /?（1 _

29、）2 （C） 6 （1 _）2 （C） 3P2 （1 _p）2.（D） 3P2 （1 _p）2.（E） 6p2（1 -）2 .例7 设XN （日，。2）,那么PX 1+（1）（A）随口的增大而增大.（C）随。的增大而不变.（A）随口的增大而增大.（C）随。的增大而不变.（B）随口的增大而减小.（D）随。的增大而减小.【例8】设XN （日，。2）,尸为其分布函数，口 0,那么对于任意实数（C）尸（_q）+尸 1.（B）/（_）+ 尸（）=1（D）F（g -6Z）+ F（p + ）=.【例9】 甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任 取一球交换放入另一袋中，试求交换n次后，

30、黑球仍在甲袋中的概率.三、随机变量函数的分布:1 .离散的情形.连续的情形2 . 一般的情形【例10设随机变量x的概率密度为-/1-21 4r 1 I52X-令Y=X2,尸（x,y）为二维随机变量（X, Y ）的分布函数.（I ） 求丫的概率密度f（y）；F（-l，4）.2第三讲多维随机变量及其分布考试要求1 .理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维 离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率 密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2 .理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3 .掌握

31、二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4 .会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分 布.一、各种分布与随机变量的独立性1 .各种分布(1) 一般二维随机变量 F (x, y) =P X x, Y +xf(x,y)dxdy =1.设(X, Y)f (x, y)那么分布函数：F(x,y) = f(x, y)dxdy CO OD/ W = f(x,y)dx -00f (y|x) = )yixf (%)X/ W = f(x,y)dx -00f (y|x) = )yixf (%)X边缘概率密度：/ (X) =,X-CO条件概率密度：f (牛= /

32、a，),x|yf (y)P(X,V) D = JJ /(x5 y)dxdyDe 2F (x, y)f(x,-一oxoy2.随机变量的独立性和相关性X和Y相互独立=oo【注】1 X与Y独立,F (x, y) = FXp = p Pi J i(x) F (y);Y(离散型)J立.f (x,f (x),y)= f x (X)f 丫 (丫)(连续型)g (x)为连续函数f (X)与g (Y)也独2 假设X, ，X, Y, ，Y相互独立，f , g分别为m元与n元连1m1n续函数f (X, ，x )与g (Y , ，Y )也独立.1m1n3 常数与任何随机变量独立.3.常见的二维分布(1)二维均匀分布(

33、X, Y )(1)二维均匀分布(X, Y )U (D) , D为一平面区域.联合概率密度为(匚 y) G D.(2)二维正态分布+oo, o0,i* y)=/a, y) = s(d) o,(X, Y )1.其他.联合概率密度为2(1p2)(1一片)2。2L i2p(x-p. )(y-g ) (y-M )2十00l 匕性质:N ( u , o 2 i i X与Y相互独立CX+C Y N (C121p =0X Yu + C u ,122即X与Y不相关.C 2 (J 2 + C 2(y 2 +2C C11221 2X关于Y二y的条件分布为正态分布：M.),c2(l-p2)1 H(y2 i2(例 1

34、设 A, B 为事件，且 P (A) =1, P (B|A) =L P (A|B) =1 422令 x=1,假设4发生，丫=11,假设B发生1 0,否那么1 0,否那么(1)试求(X, Y)的联合分布律；(2)计算Cov ( X, Y )；(3 ) 计算 Cov(2X 2,4/2+ 3).【例2 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X, Y）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的局部数值，试将其余数值填入表中的空白处.y jI; 3PX = x =pii-XJ8X28PY=y=pj-Jr【例3 设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为1己0= maxx,y,V= minx

35、,y(I)求(U, V)的概率分布；(II)求(U, V)的协方差Cov (U, V).【详解】(I)易知u, V的可能取值均为：1, 2.且P(U= X,V= l)=P(imxx,y= x,minx,y= X)4 = p(x=1，丫= i)=p(x= i)p(ri)=，9P(U = l,V = 2)=P(rraxx,y= 1 ,minx,7= 2)= O, P(U = 2)V = X)=P(imxx,y= 2,minx,y= X) = p(x = 2,y= i)+p(x= i ,y = 2)4 =p(x = 2)p(y = i)+p(x= i)p(y = 2i=，9P(U= 2,V= 2) = P(max%,y= 2,minx,y= 2) =P(X=2,y= 2)= P(X= 2)P(y= 2) =3，9故(U, V)的概率分布为：x 0.4 x 0.6