沪教版（2020）必修第一册《第二章 等式与不等式》2021年单元测试卷（1）（附答案详解）.docx

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1、沪教版（2020）必修第一册第二章等式与不等式2021年单元测试卷（1）一、单项选择题（本大题共4小题，共16.0分）.a, b, c w R,给出以下条件：小 F；5 be2,那么使得a b 成立的充分而不必要条件是（）A.B.C.D.1 .集合/ = xx2 2% 3 0,非空集合 8 = （x2 ax 0, b 0,那么p =q与q = b的大小关系是.ab4 .不等式/ 一 5|%|-6 %（7n + 1）恒成立，那么实数771的取值范围是.6 .关于%的不等式生色0的解集为M,且2WM,那么a的取值范围是.% + Q.关于的不等式ax-b0的解集为Q+8）,那么关于的不等式竺? 。的

2、解集为 XZ7 .正实数a, b满足a/（Q + 2b） = 4,贝Ua + b的最小值为 .此题考查基本不等式的运用，关键是对等式变形，配凑基本不等式使用的条件.16.【答案】3,2)【解析】解:【解析】解:由不等式组X2 x 2 02x2 + (2k + 5)x + 5/c 2,或 对，上述不等式组可化为5 ,解集为%| k V % V -1),不满2-k x 22足原不等式组的整数解的集合为-2,故应舍去；(2)当k 2,或 1化为5，I % k作出数轴：可知必须且只需当-2V-k 43时，即-3k 1 时,(/ +1)(% - 1) 0,故 %2 % + 1,当XV 1时，(/ +1)

3、(% 1) 0,故3 b c且a +b + c= 0,c b,a cb c0,两边取到数得， a-c b-c又., c V 0,即得证. a-c b-c【解析】(1)对两式作差，并分 = 1, xl, % VI三种情况讨论，即可求解.(2)由且a + b + c = 0,可得c ad be, L./Vva+ca _ b(a+c)-a(b+d)bc-adnb+db 匕(b+d)匕(b+d)黑云 点2(。+0/? + 4)是点(0,/?)的“下位点”，.a+c c _ d(a+c)-c(b+d) _ ad-bc 0 b+d d - d(b+d) - d(b+d) *.黑5点P( + gb + d)

4、是点Cd)的“上位点”；点尸(a + c,b + d)既是点(a,b)的“下位点”又是点(c,d)的“上位点”；(3)假设正整数九满足条件：翌 ? 空空在m 6t|0 t 2020, t e Z时恒成立,TTLr 1 K TH由(2)中的结论可知，/c = 2m+ 1, ri = 2021 + 2020 = 4041时满足条件，假设九 的解集为(0,3),所以0和3是一元二次方程3/ 一 a(6 -a)x-12 + b = 0的两实数根，r-12+b = 0所以，解得 3%2 + (m + 9)% + 10可化为3/ + 9% + 12 3%2 + (m + 9)% + 10, 即血无 2对于

5、任意的实数 6 1,1都成立；m = 0时，mx = 0 0时，th% 4 2化为x三一，即一之1,解得m2,即0Vzn2； m mo om 0口寸，mx ,即一 2,即一2 m b的解集知对应方程的实数根，由根与系数的关系求出*b的值；(2)a = 3时问题转化为皿 01(x-3)(x+l) 一因为/ + % + 1 0恒成立，原不等式可转化为(% + 1)(% 一 3)(% -2) 0且(% 一 3)(% + 1) H 0,解得，3或一1 V%42,不等式的解集为%|% 3或1 V %工2,(2)ax2 + ax + 1 0,a = 0时，1 4,那么/0,此时不等式的解集为%|土方近 %

6、 0,此时不等式的解集为% 上正近, 2 CL2 CL0VQV4时，那么4V0,此时不等式的解集。，a = 4,那么4 = 0,此时不等式的解集%|%。一%综上可得，a = 0时，不等式的解集。，a 4,不等式的解集为刈土等逅v %卫等亚卜a0,不等式的解集为卯|% v 一0+7诟或一”尸子第12页，共13页0VOV4时，不等式的解集0,Q = 4,不等式的解集%|% Wg.【解析】(1)把分式不等式转化为高次不等式进行求解即可；(2)结合二次项系数Q的正负及判别式的正负对Q进行分类讨论，即可求解.此题主要考查了分式不等式及含参不等式的求解，表达了转化思想及分类讨论思想的应 用.21.【答案】

7、解：(1)由题意得：10(1000 - )(1 + 0.2%)之 10 x 1000,即2 - 500% 0, 0 % 500.即最多调整500名员工从事第三产业；(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10(。-急)万元， D U从事原来产业的员工的年总利润为10(1000 - x)(l +熹)万元， D U U那么 10(a -言) 10(1000-%)(1+),丫2r2即 a%- 1000 + 2%-%-, 250500%2 ax F 1000 + X，500即a4意+ 幽 + 1在 e (0,500恒成立， 5 U UXv 777 +在(0,500上单调递减， 5 U UX.当 = 5

8、00时高+理+ 1取得最小值4. 500 Xa 0,/. 0 a 4,故a的取值范围为(0,4.【解析】根据题意可歹I出10(1000 )(1 +0.2%)210 x 1000,进而解不等式求得的范围，确定问题的答案；(2)根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意建立不等式，根据函数单调性求得a的取值范.此题考查函数模型的选择及其应用，训练了利用函数单调性求最值，考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力，是中档题.12.存在正实数%，使得不等式工 + - 0, y 0,且工+ 1 = 2,那么2%+ y的最小值为.13 .设a、b、c

9、是三个正实数，且Q + b + 2c = ,那么券的最大值为.a 3b+c15.15.假设正数a, b, c满足比+等=娥+1,那么空的最小值是 a b cc三、解答题(本大题共6小题，共5L0分).关于不等式组八的整数解的集合为一2，那么实数左的取值 (2xz + (2/c + 5)x + 5/c bc,且a + b + c = 0,求证：、，ac b-c.对在直角坐标系的第一象限内的任意两点(a,b), (c,d)作如下定义：那么称 点(见匕)是点(c,d)的“上位点”，同时点(c,d)是点(a,b)的“下位点”.(1)试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)设a

10、、b、c、d均为正数，且点(a,b)是点(c,d)的上位点,请判断点P(a + c,b + d) 是否既是点(a,b)的“下位点”又是点(c,d)的“上位点”，如果是请证明，如果不 是请说明理由；(3)设正整数九满足以下条件：对任意实数巾6也0b的解集为(0,3),求实数a、b的值；(2)假设a = 3时,对于任意的实数工 -1刀，都有f (%)之一3/+ (m + 9)% + 10, 求租的取值范围.18 .解关于的不等式.(1)x2+2x-23+2%-x2 X；(2)ax2 + ax + 1 0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%.第2页，共13页假设要保证剩余员工创造的年

11、总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，那么调整员工从事第三产业的人数应在什么范围？(2)在(1)的条件下，假设调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的取值范围.答案和解析1 .【答案】C【解析】【分析】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决此题的关键.根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：由小 / ,得。，b关系不确定，无法得ab成立，当a0时，满足- b不成立；J7a b假设ac2 be2，得c H 0 ,那么q b ,反之不成立，即是a b成立的充分 不必要条件，应选：C.2 .【答案】B2 cl 1

12、+ a【解析】解：4 = xx2 - 2% - 3 -1 解.1 + a 工 3得32,实数q的取值范围为(2,应选：B.解出集合4由BU A可列出关系式，解出a的范围即可.此题主要考查集合的包含关系和一元二次不等式的解法，属于基础题.3 .【答案】C【解析】【分析】此题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题. 由题意可得qWx + 工对于一切6(0,勺恒成立，求得最小值，令q不大于最小 值即可.【解答】解：不等式X2 + ax+ 10对于一切X e (0,勺恒成立，即有一a 4 % +工对于一切x 6 (0,3恒成立.%、2第4页，共13页由于=% +工，当

13、OV% | . 乙乙那么Q的最小值为一5.应选：C.4 .【答案】B【解析】解：300 % 600.y = -x2 - 300% + 80000. 2,y = l% + 8OOOO_30 11 x，80000 3Q()=。，当且仅当打=理，解得 = 400,X 2X7 2 X2%为使每吨的平均处理本钱最低，该厂每月处理量应为400吨.应选：B.：300 % b【解析】解：根据题意，a = V3 + b = V2 + V6那么小=8 + 2同，b2 = 8 + 2712,那么小/ = 2同 一2姨0, BPa2 b2,那么q b；故答案为：ab.根据题意，求出小、b2,利用作差法比拟小、/的大小

14、，由不等式的性质分析即可得答案.此题考查不等式的大小比拟，涉及作差法的应用，属于基础题.6 .【答案】p之q【解析】解：因为a 0, b 0, p = - a与q = b 匕, ab所以p_q=I_I =(庐-标)(匕-。)=Q-a)2(b+a) 2 0, b = a 时取等号， ababba所以p q.故答案为：pNq.由结合作差法进行变形后即可比拟大小.此题主要考查了不等式大小的比拟，作差法的应用是求解问题的关键.7 .【答案】(一6,6)【解析】解：1 x2 - 5|x| - 6 0,.(|x|-6)(|x| + l|0,x 6,解得：-6 x %(瓶+ 1)恒成立，故(m + 1)%

15、一 (m2 - 1) 2,(m + 1) x (-1) (m2 - 1) 0所以实数小的取值范围是(一8,-1) U (2,+oo).故答案为：(8,-l)U(2,+8).根据题意将问题转化为(血+ 1)% - (m2 -1) 0对任意实数X G恒成立，进而得产+：产;黑2；?；八，解不等式即可得答案.l(m + 1) x (-1) 一 (m2 - 1) 0的解集为M,且2 CM,x+a所以生色0不成立，2+a先解不等式yo,2+a由不等式可得2 + a 0且4 一 a。0,解得a -2且。工4,第6页，共13页所以巴色0不成立时，q42或q = 4, 2+a故答案为：(co, -2 U 4.

16、由题意得当 = 2时生色 0不成立，求解此时a的取值范围，求其在实数集上的补集即 x+a可.此题主要考查分式不等式解法的一些灵活运用，根据题目所给条件求得不成立的参数a的取值范围再取补集即可，属于中档题.10.【答案】(8,1)u(2,+8)【解析】解：:不等式a% - b 0的解集为(1,+8), a = b 0；X-2X-2ax+b、八 x+1、八 0 0 0,r x+l0x+l 0 或 1%-2 0的解集为(_8,-1) u (2,+8). XZ故答案为:(00, 1) U (2, 4-00).依题意,可知a = b。，从而可解不等式箸 的解集.此题考查分式不等式的解法，求得Q = b0

17、是关键，考查分析、运算能力，属于中档题.11 .【答案】2【解析】解：由。按(。+ 25) = 4,得a(a + 2b)=今，(a + b)2 = a(a + 2b) + b2 =+ b2 2- b2 = 4,当且仅当5 =或，时取等号，所以a + b的最小值为2.故答案为：2.由ab2(a + 2b) = 4,得a(a + 2b)=总(a + )2 = a(a + 2b) + b2 =a + b2,利用基本不等式性质，可求得答案.此题考查了基本不等式的性质，属于基础题.12 .【答案1mlim 1【解析】解：因为存在 e R使得+工v病+:血+ 1成立，所以(+工)租讥v而+3 1” + L

18、又因为 + - 2 lx - - = 2,x = 1时取等号，x x所以m2 + -m + 1 2,所以(租+ 2)(6一工)0,所以m 222故答案为：V -2或7H .将问题转化为“Q+3M讥租2+|血+1”，先根据基本不等式求解出( +向九，再求解关于血的一元二次不等式的解集，即可得到血的取值范围.此题考查不等式的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题.13.【答案】7【解析】解：xo, y0,且击+ 1 = 2, *v I jl y. 2% + y = 2(% + 1) + y 2 =之 x 22(% + 1) + y - 2 = | x (-i- + 2(% + 1) + y一

19、乙乙yV I Xjr2 =110 + - + - 2 1(10 + 2V16)-2 = 7,当且仅当卜=5时取”=”，2+i yz(y = 6故答案为：7.先将式子2% + y变形为：x 22(x + 1) + y - 2,再由题设条件利用基本不等式求得结果即可.此题主要考查式子的变形及基本不等式的应用，属于中档题.14 .【答案】3【解析】解：.a + b + 2c =竺, a a2 + ab + 2ac = be,a2+ab： C =，b-2av c 0,b - 2a 0,解法一：设b 2a = t,那么t 0, b = t + 2a；第8页，共13页39a3b+c39a3b+c39a_3

20、93(2。)+混+2 不二m+号+7 一39392 后不+72X3 + 7念的最大值为3.解法二：由b-2a0,得2 2, a39a3b+c39a3b+c39a3b+c39Ra a39393-b 1+1.ja,-bz设2 = x,那么 2, a所以 f (%) = 3% + =3% + + l = 3(%-2)+ + 72 3(% - 2) + 7 =x2x2x27x26 + 7 = 13,当且仅当 = 3时取等号,39a ,39 仁0,把原式转化为关于的解析式， a设2 = %,构造函数，利用基本不等式求出函数的最小值，从而求出答案. a此题考查了基本不等式的应用问题，也考查了转化与化归思想

21、，是难题.15 .【答案】|【解析】解：根据题意，假设比+华=娥+1,那么有空+牛+丝=2（）+ 1, a b ca b c v c xM b+c q+c a+b b c a c a b a k rc x a b n u而丁 + 丁 + ? =展 + % +后+ 1 + 1 + 展=+ 1)+。+ 展)+(3 + )2 + 2 + 2 = 6,那么有2（警）+ 1之6,化简可得空出，即空的最小值是 c 2 c2故答案为:1.根据题意，对空+唱=吧+1变形可得比+千+”=2（僦）+ 1,又由基本不等 a b ca b c式的性质分析可得比+， +色辿=2 + + ? + ： +巴+ 2 2 6,即可得2(竺与+ 1 2 6, a b c a a b b c c、c /化简可得答案.