期货投资中数学问题的研究.doc

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1、杭州电子科技大学 1 2006 年7 月20 日.风险值绩效评估方差比检验法问题重述进行期货买卖叫期货投资,期货市场的充分.股市投资分析,股市建模与预测.人工神经网络本身的非线性动态系统的自我学习的. 2006 年7 月20 日.风险值绩效评估方差比检验法问题重述进行期货买卖叫期货投资,期货市场的充分.股市投资分析,股市建模与预测.人工神经网络本身的非线性动态系统的自我学习的. 期货投资中数学问题的研究 摘要 题目要求考虑的是如何分析及定量的研究期货市场的风险问题，在此我们考虑的是采用 VaR 方法。期货市场风险价值指的是期货合约在一个给定的置信水平(Confidence Level)和持有期

2、间(HoldingHorizon)下，在正常的市场条件中的风险值。VaR 要计算的实际上是正常情况下期货合约的预期价值与在一定置信水平下的最低价值之差。通过VaR 值的计算与分析，来确定风险的大小，变化的区间。 为了确定哪种期货商品的风险值是最理想的，即哪种商品的市场风险最小，我们分杭州电子科技大学 2 别从大连商品交易所，上海商品交易所采集了豆一、玉米、豆粕、铝、铜、燃油、橡胶七种样本的2005 年7 月1 日至2005 年7 月27 日的数据进行VaR 的风险值计算，用以评价这七种商品的风险。 通过计算，我们能够发现其中最理想的五类商品是豆一、玉米、橡胶、铝、铜。 模型的改良是用多元回归分

3、析，指数平滑预测，模糊多指标评价方法。首先用指数平滑法预测将来期货的收盘价格、和关于其他期货相关的参数，然后可以将期货交易的那些因素看成一些参数，就可以用多元回归分析得到相关的数据，最终可以用模糊多指标评价方法选择比拟好的几种期货。 在模型的扩展和讨论中，首先综合全面考虑套期保值业务根底上，我们提出应用人工神经网络预测期货行情走势，并以此为根底构建面向期货套期保值的决策支持系统。 本系统尝试用人工神经网络专家系统预测期货价格走势，具有较强的学习和记忆能力，可以在一定程度上模拟期货行情内在规律。并且，本系统的应用强调人机交互性，即用户的积极参与。我们可以用分形理论来验证市场的分布特性；对期货市场

4、风险监控的研究，必须以期货市场有效性假设为依据，通过实证研究分析我国期货市场的有效性，并据此分析影响期货市场风险的因素。最后利用ANN-GJR-GARCH 模型进行高频率期货日内资料的风险值绩效评估，建立了价格波动率模型及风险值绩效评估模型。 关键词：多元回归分析 指数平滑 模糊多指标评价 人工神经网络 风险值绩效评估 方差比检验法 一、 问题重述 进行期货买卖叫期货投资，期货市场的充分开展是一个国家市场成熟的标志。目前我国的期货市场是一个开展很不充分的市场，必须要大力开展，但是期货市场是一个高风险的市场。对期货市场的风险进行研究及对期货市场风险进行评估是开展期货市场的必要条件。 请考虑以下问

5、题： 1、对期货市场风险评价，给出允许风险区间。 2、根据你的评价标准，给出最理想的五种期货产品。 3、写一篇我国期货市场的宣传文章。 杭州电子科技大学 3 二、 问题分析 题目要求考虑的是如何分析及定量的研究期货市场的风险问题，在此我们考虑的是采用 VaR 方法。期货市场风险价值指的是期货合约在一个给定的置信水平(Confidence Level)和持有期间(HoldingHorizon)下，在正常的市场条件中的风险值。VaR 要计算的实际上是正常情况下期货合约的预期价值与在一定置信水平下的最低价值之差。通过VaR 值的计算与分析，来确定风险的大小，变化的区间。 三、 模型假设 ? 为一随机

6、向量，且对不同的自变量取值对应的? 是相互独立的。 ? 服从正态分布，期望值为0。 对于任何一组诸自变量取值，? 有恒定的方差21,2,.k? 。 根据市场有效性理论，认为目前我国期货市场还未到达弱型有效，即可以用历史行情预测未来走势。 四、 符号说明 q：为专家人数，? ?y ijp ? 为集合 a 为方程截距 1 2, ,.,kb b b 分别是自变量1 2, ,.,kX X X 的斜率 Y 为因变量回归拟和值 Y 观察值与拟和值的离差为残值 , , , 2 1 hC C C C ? ? 表示主观指标集 , , , 2 1 n h hC C C C ? ? ? ? ，表示客观指标集 j?

7、为指标jC 的权重 ijx 为期货种类因素集iT 针对指标jC 的模糊评价值 2? ：当期条件变异数 ? ：截距项，为内在的不确定水准 2t i?：过去的条件变异数 i? ：参数，代表市场上旧消息对市场波动性的影响 j? ：参数，代表市场上新的正面消息对市场波动性的影响 2t j?：过去的误差平方项 杭州电子科技大学 4 k? ：代表不对称性效果，假设显著不为零，即市场消息不对称 五、 模型建立与求解 在模型的建立上，我们采用风险价值法VaR对期货市场的风险进行评估。 对于市场风险积累程度的量化揭示正是VaR的主要任务。风险的VaR评估方法的最明显优点是简洁的含义和直观的价值判断方法。这一优点

8、使得资产的风险能够具体化为一个可以与收益匹配的数字，从而有利于经营管理目标的实现。 期货市场风险价值指的是期货合约在一个给定的置信水平(Confidence Level)和持有期间(HoldingHorizon)下，在正常的市场条件中的风险值。VaR要计算的实际上是正常情况下期货合约的预期价值与在一定置信水平下的最低价值之差。假设从数学角度来定义VaR，可令0W 为合约持有期初的价值，W为持有期末的价值，E(W)为期望价值，*W为给定置信水平下的最低价值，那么有 *) ( W W E VaR ? ? 1 在期货市场上那么可用VaR时间序列来预测风险。VaR时间序列是将每日测算出的VaR值连结起

9、来得到的一条曲线。同一合约不同时间的VaR值的大小是不同的，VaR值由小变大，说明该合约风险由小变大;VaR值由大逐渐变小，说明该合约风险逐渐由大变小。VaR时间序列最好收益指的是VaB(Value at Best)在未来一定时间内的给定条件下，该期货合约投资的潜在最好收益。 由VaR的数学表达式可见，统计量VaR的大小取决于期货合约价值的期望水平E(W)和在一定置信水平C下该资产的最低收益水平*W 。要计算VaR就是要推算E(W)和*W ，这里我们以历史数据模拟法来计算VaR。 历史数据模拟法是借助过去某段时期内期货合约风险收益的分布，求得该段时期内的平均收益及某一置信水平下的最低收益值，代

10、人(1)式获得VaR的值。具体计算过程如下： a.将收集到的某期货合约在一段时期内的每日盈亏金额，按帐面盈亏额以升序排列出来，以便获得各盈亏额发生的天数。 b.求出平均盈亏额，即为(1)式中的E(W)。 c.确定*W 的值。设定置信水平C为95%(或99%)，找出概率在5%(或1%)下的*W 值。 d.将上述数据代人(1)式，可得VaR具体值。将一段时间内每日的VaR值连接起来，就可获得该期间的VaR时间序列曲线。该期间VaR的最大值那么为该期间的最好收益值，即VaB值。 而风险的允许区间，那么由于置信水平的变化相应的有变。 根据VaR的计算值，可以确定风险的区间为? ?max min,VaR

11、 VaR 实例计算 为了确定哪种期货商品的风险值是最理想的，即哪种商品的市场风险最小，我们分杭州电子科技大学 5 别从大连商品交易所，上海商品交易所采集了豆一、玉米、豆粕、铝、铜、燃油、橡胶七种样本的2005年7月1日至2005年7月27日的数据进行VaR的风险值计算，用以评价这七种商品的风险。 以下是分别对以上几种商品的计算： 豆一： 商品名称 累计天数 日期 结算价 浮动盈亏 豆一 1 7 月20 日 2,871 -60 豆一 2 7 月22 日 2,842 -34 豆一 3 7 月1 日 2,858 -31 豆一 4 7 月5 日 2,884 -31 豆一 5 7 月19 日 2,931

12、 -31 豆一 6 7 月13 日 2,872 -29 豆一 7 7 月8 日 2,882 -28 豆一 8 7 月11 日 2,861 -21 豆一 9 7 月18 日 2,962 -15 豆一 10 7 月15 日 2,977 -7 豆一 11 7 月25 日 2,836 -6 豆一 12 7 月7 日 2,910 -2 豆一 13 7 月21 日 2,876 5 豆一 14 7 月27 日 2,853 8 豆一 15 7 月26 日 2,845 9 豆一 16 7 月14 日 2,889 17 豆一 17 7 月6 日 2,912 28 豆一 18 7 月12 日 2,901 40 豆一

13、 19 7 月4 日 2,915 57 2005 年7 月1 日至2005 年7 月27 日，共19 个交易日，以此计算下一交易日的VaR值。 a. 计算每份合约(为计算简化，设每份合约为1吨)的平均盈亏额 计算可得该19个交易日盈亏总额为-131元。每日平均盈亏为-131/19=-6.89元，即 EW=-6.89元。 b. 确定*W 的值设置信水平C=95%，那么收益低于*W 的天数:19*1-95%=0.95天，取1天。查上表可得在5%概率下的*W 为-60元。 c. 计算VaR 将E(W)和*W 的值代人式(1)，得VaR=53.11元。这说明豆一在7月28日的VaR值为53.11元。

14、按以上方法逐日推算下一交易日的VaR值，从7月28日至8月23日逐日推算下一交易日的VaR值，如下表所列： 杭州电子科技大学 6 交易日序 日期 var 值 1 7 月28 日 53.11 2 7 月29 日 55.38 3 8 月1 日 58.02 4 8 月2 日 59.96 5 8 月3 日 60.04 6 8 月4 日 62.67 7 8 月5 日 63 8 8 月8 日 64.01 9 8 月9 日 65.65 10 8 月10 日 68.47 11 8 月11 日 69.21 12 8 月12 日 70.96 13 8 月15 日 73.03 14 8 月16 日 77.31 15

15、 8 月17 日 77.98 16 8 月18 日 78.44 17 8 月19 日 78.56 18 8 月22 日 79.22 19 8 月23 日 79.39 VaR的时间序列曲线: VaR时间序列曲线01020304050607080901 3 5 7 9 11 13 15 17 19系列1 从以上图、表，我们可以看出其风险值的变化，根据风险值的变化区间，判断风险的可能性。 玉米： 商品名称 累计天数 日期 结算价 浮动盈亏 玉米 1 7 月13 日 1,279 -18 玉米 2 7 月19 日 1,287 -6 玉米 3 7 月25 日 1,273 -6 杭州电子科技大学 7 玉米

16、4 7 月1 日 1,269 -5 玉米 5 7 月14 日 1,274 -5 玉米 6 7 月26 日 1,268 -5 玉米 7 7 月20 日 1,283 -4 玉米 8 7 月27 日 1,264 -4 玉米 9 7 月21 日 1,281 -2 玉米 10 7 月22 日 1,279 -2 玉米 11 7 月4 日 1,268 -1 玉米 12 7 月7 日 1,270 -1 玉米 13 7 月15 日 1,293 0 玉米 14 7 月18 日 1,293 0 玉米 15 7 月6 日 1,271 1 玉米 16 7 月8 日 1,271 1 玉米 17 7 月5 日 1,270

17、2 玉米 18 7 月12 日 1,297 5 玉米 19 7 月11 日 1,292 21 玉米的VaR值计算方法同豆一一致，在此不作赘述，在此仅列出从7月28日至8月23日逐日推算下一交易日的VaR值，如下表所列： 交易日序 日期 var 值 1 7 月28 日 16.47 2 7 月29 日 17.11 3 8 月1 日 18.36 4 8 月2 日 18.56 5 8 月3 日 19.49 6 8 月4 日 19.57 7 8 月5 日 19.66 8 8 月8 日 19.43 9 8 月9 日 19.45 10 8 月10 日 19.84 11 8 月11 日 19.88 12 8

18、月12 日 20.39 13 8 月15 日 21.01 14 8 月16 日 22.12 15 8 月17 日 22.19 16 8 月18 日 22.36 17 8 月19 日 23.98 18 8 月22 日 23.55 19 8 月23 日 23.67 VaR的时间序列曲线: 杭州电子科技大学 8 VaR时间序列曲线0510152025301 3 5 7 9 11 13 15 17 19系列1 豆粕： 商品名称 累计天数 日期 结算价 浮动盈亏 豆粕 1 7 月20 日 2,554 -64 豆粕 2 7 月22 日 2,540 -37 豆粕 3 7 月8 日 2,643 -24 豆粕

19、4 7 月11 日 2,623 -20 豆粕 5 7 月19 日 2,618 -15 豆粕 6 7 月7 日 2,667 -11 豆粕 7 7 月13 日 2,631 -9 豆粕 8 7 月25 日 2,535 -5 豆粕 9 7 月15 日 2,631 -4 豆粕 10 7 月1 日 2,627 -3 豆粕 11 7 月18 日 2,633 2 豆粕 12 7 月14 日 2,635 4 豆粕 13 7 月27 日 2,550 6 豆粕 14 7 月26 日 2,544 9 豆粕 15 7 月5 日 2,659 15 豆粕 16 7 月4 日 2,644 17 豆粕 17 7 月12 日 2

20、,640 17 豆粕 18 7 月6 日 2,678 19 豆粕 19 7 月21 日 2,577 23 豆粕的VaR值计算方法同豆一一致，在此不作赘述，在此仅列出从7月28日至8月23日逐日推算下一交易日的VaR值，如下表所列 交易日序 日期 var 值 1 7 月28 日 59.79 2 7 月29 日 62.99 3 8 月1 日 64.81 杭州电子科技大学 9 4 8 月2 日 64.69 5 8 月3 日 64.45 6 8 月4 日 65.77 7 8 月5 日 65.52 8 8 月8 日 64.98 9 8 月9 日 66.68 10 8 月10 日 67.54 11 8 月

21、11 日 67.39 12 8 月12 日 66.21 13 8 月15 日 67.71 14 8 月16 日 69.92 15 8 月17 日 69.99 16 8 月18 日 70.38 17 8 月19 日 70.21 18 8 月22 日 70.01 19 8 月23 日 69.89 VaR的时间序列曲线: VaR时间序列曲线545658606264666870721 3 5 7 9 11 13 15 17 19系列1 橡胶： 商品名称 累计天数 日期 结算价 浮动盈亏 橡胶 1 7 月14 日 15835 -245 橡胶 2 7 月27 日 16645 -210 橡胶 3 7 月21

22、 日 16030 -45 橡胶 4 7 月5 日 14980 -20 橡胶 5 7 月12 日 15880 0 橡胶 6 7 月18 日 15930 35 杭州电子科技大学 10 橡胶 7 7 月20 日 16075 60 橡胶 8 7 月19 日 16015 85 橡胶 9 7 月11 日 15880 115 橡胶 10 7 月15 日 15955 120 橡胶 11 7 月6 日 15130 150 橡胶 12 7 月22 日 16205 175 橡胶 13 7 月13 日 16080 200 橡胶 14 7 月1 日 14750 250 橡胶 15 7 月4 日 15000 250 橡胶

23、 16 7 月8 日 15765 260 橡胶 17 7 月25 日 16500 295 橡胶 18 7 月26 日 16855 355 橡胶 19 7 月7 日 15505 375 橡胶的VaR值计算方法同豆一一致，在此不作赘述，在此仅列出从7月28日至8月23日逐日推算下一交易日的VaR值，如下表所列 交易日序 日期 var 值 1 7 月28 日 361.05 2 7 月29 日 390.41 3 8 月1 日 398.44 4 8 月2 日 410.32 5 8 月3 日 414.56 6 8 月4 日 426.95 7 8 月5 日 428.22 8 8 月8 日 429.43 9

24、8 月9 日 433.79 10 8 月10 日 440.35 11 8 月11 日 444.97 12 8 月12 日 450.62 13 8 月15 日 456.65 14 8 月16 日 457.99 15 8 月17 日 458.08 16 8 月18 日 460.12 17 8 月19 日 464.38 18 8 月22 日 465.87 19 8 月23 日 467.76 VaR的时间序列曲线: 杭州电子科技大学 11 VaR的时间序列曲线0204060801001 3 5 7 9 11 13 15 17 19系列1 燃油： 商品名称 累计天数 日期 结算价 浮动盈亏 燃油 1 7

25、 月26 日 2800 -140 燃油 2 7 月21 日 2810 -108 燃油 3 7 月14 日 2972 -58 燃油 4 7 月12 日 3030 -40 燃油 5 7 月15 日 2945 -27 燃油 6 7 月20 日 2918 -27 燃油 7 7 月7 日 2931 0 燃油 8 7 月11 日 3070 0 燃油 9 7 月13 日 3030 0 燃油 10 7 月18 日 2945 0 燃油 11 7 月19 日 2945 0 燃油 12 7 月22 日 2810 0 燃油 13 7 月1 日 2875 4 燃油 14 7 月5 日 2918 8 燃油 15 7 月6

26、 日 2931 13 燃油 16 7 月4 日 2910 35 燃油 17 7 月27 日 2850 50 燃油 18 7 月25 日 2940 130 燃油 19 7 月8 日 3070 139 燃油的 VaR 值计算方法同豆一一致，在此不作赘述，在此仅列出从 7 月 28 日至 8月23 日逐日推算下一交易日的VaR 值，如下表所列： 交易日序 日期 var 值 1 7 月28 日 138.89 2 7 月29 日 141.78 杭州电子科技大学 12 3 8 月1 日 142.43 4 8 月2 日 142.97 5 8 月3 日 144.06 6 8 月4 日 146.21 7 8 月

27、5 日 146.77 8 8 月8 日 148.32 9 8 月9 日 150.55 10 8 月10 日 153.54 11 8 月11 日 154.45 12 8 月12 日 156.87 13 8 月15 日 158.04 14 8 月16 日 159 15 8 月17 日 159.71 16 8 月18 日 161.14 17 8 月19 日 163.32 18 8 月22 日 163.87 19 8 月23 日 164.38 VaR的时间序列曲线: VaR的时间序列曲线1251301351401451501551601651701 3 5 7 9 11 13 15 17 19系列1

28、铜： 商品名称 累计天数 日期 结算价 浮动盈亏 铜 1 7 月1 日 34170 -440 铜 2 7 月12 日 34320 -280 铜 3 7 月4 日 33950 -220 铜 4 7 月13 日 34100 -220 铜 5 7 月27 日 35450 -210 铜 6 7 月15 日 34090 -80 杭州电子科技大学 13 铜 7 7 月22 日 34270 -80 铜 8 7 月19 日 34130 0 铜 9 7 月6 日 34280 20 铜 10 7 月11 日 34600 60 铜 11 7 月21 日 34350 60 铜 12 7 月8 日 34540 70 铜

29、 13 7 月14 日 34170 70 铜 14 7 月18 日 34130 140 铜 15 7 月20 日 34290 160 铜 16 7 月7 日 34470 190 铜 17 7 月26 日 35660 300 铜 18 7 月5 日 34260 310 铜 19 7 月25 日 35360 1090 铜的VaR 值计算方法同豆一一致，在此不作赘述，在此仅列出从7 月28 日至8 月23 日逐日推算下一交易日的VaR 值，如下表所列： 交易日序 日期 var 值 1 7 月28 日 489.47 2 7 月29 日 493.65 3 8 月1 日 499.41 4 8 月2 日 5

30、00.84 5 8 月3 日 509.77 6 8 月4 日 516.46 7 8 月5 日 522.72 8 8 月8 日 529.61 9 8 月9 日 530.44 10 8 月10 日 541.69 11 8 月11 日 544.73 12 8 月12 日 547.61 13 8 月15 日 548.79 14 8 月16 日 552.78 15 8 月17 日 554.41 16 8 月18 日 576.49 17 8 月19 日 579.9 18 8 月22 日 583.33 19 8 月23 日 585.92 VaR的时间序列曲线: 杭州电子科技大学 14 VaR的时间序列曲线4

31、404604805005205405605806001 3 5 7 9 11 13 15 17 19系列1 铝： 商品名称 累计天数 日期 结算价 浮动盈亏 铝 1 7 月6 日 16460 -70 铝 2 7 月13 日 16550 -70 铝 3 7 月19 日 16540 -70 铝 4 7 月5 日 16530 -50 铝 5 7 月26 日 16530 -50 铝 6 7 月4 日 16580 -30 铝 7 7 月14 日 16530 -20 铝 8 7 月22 日 16550 -20 铝 9 7 月27 日 16510 -20 铝 10 7 月1 日 16610 -10 铝 11

32、 7 月8 日 16480 0 铝 12 7 月18 日 16610 10 铝 13 7 月20 日 16550 10 铝 14 7 月7 日 16480 20 铝 15 7 月21 日 16570 20 铝 16 7 月15 日 16560 30 铝 17 7 月25 日 16580 30 铝 18 7 月12 日 16620 40 铝 19 7 月11 日 16580 100 铝的VaR 值计算方法同豆一一致，在此不作赘述，在此仅列出从7 月28 日至8 月23 日逐日推算下一交易日的VaR 值，如下表所列： 交易日序 日期 var 值 1 7 月28 日 62.11 2 7 月29 日

33、63.67 3 8 月1 日 65.39 杭州电子科技大学 15 4 8 月2 日 67.91 5 8 月3 日 70.44 6 8 月4 日 71.56 7 8 月5 日 73.49 8 8 月8 日 73.79 9 8 月9 日 75.77 10 8 月10 日 77.46 11 8 月11 日 78.97 12 8 月12 日 80.47 13 8 月15 日 82.64 14 8 月16 日 84.04 15 8 月17 日 87.33 16 8 月18 日 90.26 17 8 月19 日 91.05 18 8 月22 日 92.09 19 8 月23 日 93.02 VaR的时间序

34、列曲线: VaR的时间序列曲线0204060801001 3 5 7 9 11 13 15 17 19系列1 通过以上七类商品的VaR值的计算，我们可以发现其风险值的变化范围。通过该实例分析可以得出以下结论:风险应与收益成正比，风险越大，收益越大。而同时，在这些商品中我们能够发现其中最理想的五类商品是豆一、玉米、橡胶、铝、铜。 六、 模型的改良 模型的改经是用多元回归分析，指数平滑预测，模糊多指标评价方法。首先用指数平滑法预测将来期货的收盘价格、和关于其他期货相关的参数，然后可以将期货交易的那些因素看成一些参数，就可以用多元回归分析得到相关的数据，最总可以用模糊多指标评价方法选择比拟好的几种期

35、货。 多元回归 含有两个以上变量的回归分析和相关分析称为多元回归分析multiple Regression 杭州电子科技大学 16 Analysis和多种相关分析Multiple Correlation Analysis，又称作复合回归和复相关分析。从理论上讲，多元回归分析和多重相关分析只是简单回归分析和相关分析的延伸。然而，各个变量之间的可能存在的协变关系使得多元回归分析更为微妙、复杂。 1、多元回归模型和拟和的多元回归方程 含有k 个自变量1 2( , , , )kX X X 总体回归模式为： 1 1 2 2 k kY X X X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 公式中1 2,

36、 ,k? ? ? ? 和 都是总体回归模型的参数，其中? 表示截距，所以? 表示所以自变量的斜率，? 是诸X 以外其他所以因素对Y 值的总和影响，即随机误差。关于随机误差? ，有以下3 个假设： a、? 为一随机向量，且对不同的自变量取值对应的? 是相互独立的。 b、? 服从正态分布，期望值为0。 c、对于任何一组诸自变量取值，? 有恒定的方差21,2,.k? 。 关于诸自变量那么假定他们之间不能高度相关，即不能有共线性。 给予上述假设前提，相应的总体多元回归方程为： 1 2 1 1 2 2( | , ,., )k k kE Y X X X X X X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

37、? 1 2( | , ,., )kE Y X X X 是诸X 取特定值时Y 的期望值，即条件平均数。 1)、多元线性回归方程的拟和： 样本多元线性回归方程是： 1 1 2 2Y .k ka b X b X b X? ? ? ? ? 公式中 a 为方程截距，1 2, ,.,kb b b 分别是自变量1 2, ,.,kX X X 的斜率。Y 为因变量回归拟和值。Y 观察值与拟和值的离差为惨值，有： Y e Y? ? 仍然是最小二乘数拟和样本回归方程，得到如下正规方程组： 1 1 2 221 1 1 1 2 1 2 122 2 1 1 2 2 2 221 1 2 1k kk kk kk k k k

38、k kY na b X b X b XX Y a X b X b X X b X XX Y a X b X X b X b X XX Y a X b X X b X X b X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 以上联立方程组含有k1个方程，右边共有k+1项，每项含有一个待定系数1 2, , , ,kb b b ? 。解此方程组，可得诸回归方程。 二个子变量的求解： 杭州电子科技大学 17 我们可以从含有两个自变量的回归分析来说明多元回归的一般特征。此时总体回归方程为： 1 2 1 1 2 2(

39、 | , ) E Y X X X X ? ? ? ? 8? ? 相应的样本回归方程为： 1 1 2 2Y a b X b X? ? ? 样本中的含有n 对观察值，每组数据都含有Y，X1 和X23 个变量的观察值。简单回归的散点图对应与1 个二维平面坐标系，而含有两个自变量的回归的散点图对应与一个三维立体坐标系。简单回归方程表示平面坐标系内一直线，而含有两个自变量的回归方程表示立体坐标系内的个平面，如下图。这个平面称拟和平面，它含有与Y 轴的截距a，沿X1 轴的斜率b1，和沿X2 轴的斜率b2。a,b1,b2 这3 个回归系数通过解正规方程组： 1 1 2 2Y na b X b X ? ? ? ? 21 1 1 1 2 1 2X Y a X b X b X X ? ? ? ? ? ? 21 2 1 1 2 2 2X Y a X b X X b X ? ? ? ? ? ? 得出。 观察值 拟和值 a=截距 拟和平面 1 1 2 2Y a b X b X ? ? ? Y 残值 具有两个自变量的多元回归分析问题的图形 杭州电子科技大学 18 图中的拟和平面上的每个圆点都代表由一组Y，X1,X2 观察值确定的散点，拟和平面内的每个圆点，代表由一组X1，X2 值与将它们代入回归方程后所得Y 值共同确定的拟和点。对应圆点间的连线垂直与平面X1OX2