《有理数及其运算》全章复习与巩固（提高）知识讲解.docx

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1、有理数及其运算全章复习与巩固（提高）责编：康红梅【学习目标】1 .理解有理数及其运算的意义，提高运算能力.2 .能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对 值的意义，会求有理数的相反数与绝对值.3 .体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解 决简单的实际问题.4 .会用科学记数法表示数.【知识网络】|有理数卜|有理数卜【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1.有理数的分类：（1）按定义分类：【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1.有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类:整数1分数正整数零 V负整数-正分数负分数非负整数（自然数）

2、非正整数要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量;正有理数有理数V 零 I负有理数非负数非正数作用（2）有理数“0”的作用: wT表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表不，没有苹果用0表不表示某种状态0C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2 .数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.要点诠释：(1) 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理 数，如乃.(2)在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3 .相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0.要点诠释：(1) 一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧

3、，并且到原点的距离相等， 这两点是关于原点对称的.(2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上”号即可.(3)多重符号的化简：数字前面”号的个数若有偶数个时，化简结果为 正，若有奇数个时，化简结果为负.4 .绝对值：(1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值a a=i0-QI是0.数a的绝对值记作a（Q 0）（Q = 0）（a 0）(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.要点二、有理数的运算1 .法则：(1)加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.绝对值不相等的 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用

4、较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加，仍得这个数.(2)减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b).(3)乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相 乘，都得0.(4)除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a+b二a,(bW0).b(5)乘方运算的符号法则：负数的奇次哥是负数，负数的偶次幕是正数；正数的任 何次幕都是正数，0的任何非零次幕都是0.(6)有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行; 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.要点诠释：“奇负偶正” 口诀的应用

5、：(1)多重负号的化简，这里奇偶指的是“一”号的个数，例如：(-3) = -3, 一+ (-3) =3.(2)有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果 中积的符号，例如：(-3) X (-2) X (-6) -36,而(一3) X (-2) X6-36.(3)有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则累为负；指数为偶数，则事为正，例如：(-3尸=9, (-3)3=-27.2.运算律：(1)交换律：加法交换律:a+b=b+a；乘法交换律:ab二ba；(2)结合律：加法结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)；乘法结合律：(ab) c=a(bc

6、)(3)分配律：a(b+c) =ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：(1)数釉比较法；(2)法则比较法：正数大于0, 0大 于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法.(4)作商 比较法；(5)倒数比较法.要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成4x10的形式(其中1W a 0； | a|二-a 时,a0； | a|二-a 时,a0,则()A. ab0 C. a0 且 b0 D. a0 且 bb, ba=b, aVb”来比较两数的大小.【答案】99100【解析】解法一：作差法：工(?)10010199 100 -99x101 + 100x1001

7、八- ()100 101 -101x100-101009910010010199 100解法二：作商法：由于工+ *?=100 10199 101 9999100 100 - 100001,所以99W0100101再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到:99100100101【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用.举一反三：【变式】在下列两数之间填上适当的不等号.111 1111hi?-iiiii .【答案】(提示：倒数法较简便)类型二、有理数的运算【高清课堂：有理数专题复习357133 有理数的混合运算】一(O 3. (1) 4 3 (3) -25(-4)x(1=104

8、原式= l1 + (_2) + l + ：_qxx(_!) = 2JJ 乙 JJ(5)原式=125 1 12 4-()4 :-3.9l + |-l-9x2|【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分 母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)=ab+ac； 逆向应用分配律：ab+ac = a (b+c)等.举一反三：【变式】5117832(1)(/ +1 x 0.25 x 199-x(/ _ 271489231 95511. 5(2) (1) x () () x (2-) + ( ) x 299229【答案】c11783解

9、:(1) ()2 +1 x 0.25 x 199x ()2 27148923,25 14 7 1、3 z4 一(x x)x 199x (2)49 25 8 49 2 9A 1、8 3=(二 一7199入一(74 49 24 3xx9 22)=0 - - 3)=0二 + 33= 2-3(2 ) (1 -)2 X ( ) ( ) X (2 -) + ( )3 X -299229()- () X () + () X _9928 9/ 5、，5 1 = (-)x(- + - + i)324Cd. (2015铜仁市)定义一种新运算：x*y=t型，如 2*1 = 2+2|b|, 求 a|-|a+b|-|b

10、a| 的值.A. 2b+a B. 2b_a C. a D. b(2)分类讨论思想：已知a是任一有理数，试比较|a|与-2a的大小.(3)转化思想：(999)+ -35【答案与解析】解：(1)从数轴上a b两点的位置可以看出a0,且|a| |b|,所以|a|-|a+bHb-a| =-a+a+b-b+a=a.(2) a可能是正数，。或负数，这就需要分类讨论：当 a0 时，a|=a0, -2a-2a；当 a=0 时|a| =0, -2a=0,所以 |a|=-2a；当 a0, -2a0,又-a-2a,所以 |a|-2a.综上所述：当a20时，|a|2-2a；当a0时，|a|-2a.(3) (999)+

11、1、 =(-1000 + 1)x(-35) = (-1000) x (-35) +1 x (-35) = 34965 . 35 ,【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段.数形结合一一“以形 助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标 准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将 “未知”转化为“已知”.类型四、规律探索6.下面两个多位数1248624，6248624都是按照如下方法得到的：将第1位数字 乘以2,若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位.对 第2位数字再进行如上操

12、作得到第3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行 如上操作得到的.当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100位的所有数字之和是().A. 495 B. 497 C. 501 D. 503【思路点拨】多位数1248624是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得 2,将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4,将其写在第3位上，将第3位数字4 乘以2的8,将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16,将16的个位数字6写在第 5位上，将第5位数字6乘以2得12,将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字 2乘以2得4,将其写在第7位上，以此类推.

13、根据此方法可得到第一位是3的多位数后再 求和.【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248，后面6248循环，所以前100位的所有数 字之和是 3+(6+2+4+8)* 24+6+2+4=495,所以选 A.【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现 规律，并表示出来.举一反三：.【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的 数是()11 211.136 3412 12 411111111nle 11A. B. C. D.【答案】B提示：观察发现：分子总是1,第n行的第一个数的分母就是n,第二个数的分 母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的勺-1）倍.根据图表的规 律，则第10行从左边数第3个位置上的数是 一!一 =.10x9x4 360