2022年高中数学必修--第一章-解三角形复习知识点总结与练习 2.docx

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1、精品_精品资料_一、学问点总结高中数学必修 5第一章 解三角形复习【正弦定理】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 正弦定理 :abc2 R R为三角形外接圆的半径.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin C2. 正弦定理的一些变式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i a b csin Asin Bsin C . iisin Aa ,sin Bb ,sin Cc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 R2R2 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iiia2Rsin A, b2Rsin B, b2Rs

2、in C . iv sin Aabc sin B2 Rsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 两类正弦定懂得三角形的问题：1已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.2已知两边和其中一边的对角,求其他边角. 可能有一解,两解,无解【余弦定理】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b2c22bccos Acos Ab2c2a22222bc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 余弦定理：b2a2c22ac cosB2. 推论：cosBa cb.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222cba2bacosCcosC2acb2a2c22a

3、b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 两类余弦定懂得三角形的问题：1已知三边求三角.2已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. S1 ah1 ab sin C1 r abc =abc=2R2sinAsinBsinC其中 r 为三角形内切圆半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a224 R1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设 p ab2c , Sp pa pb pc) 海伦公式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【三角形中的常见结论

4、】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ABC(2) sin ABsin C,cos ABcos C,tan ABtan C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin AB 2cos C ,2cos AB 2sin C ;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3假设 ABCabcsin Asin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 sin Asin Bsin CabcABC大边对大角,小边对小角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

5、_精品资料_4三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边5锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6C 中, A,B,C 成等差数列的充要条件是B60 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7C 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列,且 a,b,c成等比数列 .二、题型汇总题型 1【判定三角形外形】判定三角形的类型1利用三角形的边角关系判定三角形的外形: 判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

6、品资料_一成边的形式或角的形式.a 22在ABC 中,由余弦定理可知 : a 2b2c2b2c2A是直角ABC是直角三角形A是钝角ABC是钝角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：A是锐角ABC是锐角三角形 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 假设sin 2 Asin 2B,就 A=B或 AB.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎

7、下载精品_精品资料_例 1. 在 ABC 中, c2bcosA ,且 ab c abc3ab,试判定ABC 外形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 2【解三角形及求面积】一般的,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边 a,b,c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2. 在 ABC 中, a1, b3 ,A300 ,求 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3. 在 ABC 中,内角A, B ,C对边的边长分别是a,

8、b, c ,已知 c2, C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设ABC 的面积等于3 ,求 a,b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设sin Csin BA 2 sin2A ,求ABC 的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 3【证明等式成立】证明等式成立的方法：1左右, 2右左, 3左右相互推 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4. 已知ABC 中,角A, B ,C的对边分别为a, b, c ,求证： abcosCc cosB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 4【解三角形在实际中的应用】实际

9、问题中的有关概念：仰角俯角方位角方向角(1) 仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角如图 1(2) 方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为 如图 2(3) 方向角：相对于某一正方向的水平角如图 3北偏东 即由指北方向顺时针旋转到达目标方向 北 偏 西 即 由 指 北 方 向 逆 时 针 旋 转 到 达 目 标 方 向 南 偏 西 等 其 他 方 向 角 类似例 5如下图,货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角为140的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为

10、 110 ,航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65,就货轮到达 C 点时,与灯塔A 的距离是多少？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解三角形高考题精选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. ABC 的三个内角为 A、B、C大值.,求当 A 为何值时, cos A2cosBC取得最大值,并求出这个最2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 ABC,得 BCA ,222所以有BCcos2Asin. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos ABC2 cos2cos AA2 sin21

11、2 sinA222 sin A22sin A21 23 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 sin A21 ,即A2时, cos A32 cos BC 取得最大值 3 . 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. .设锐角三角形 ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为a、b、c,a=2bsinA .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 B 的大小.求cos Asin C 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B.解：由 a=2bsinA ,依据正弦定理得sinA=2s

12、inBsinA ,所以由 ABC为锐角三角形得6sin B1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ cos Asin Ccos AsinAcos AsinA6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos A1 cos A3 sin A3 sinA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223由 ABC为锐角三角形知,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB ,2B.A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222263336可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 1 sinA3 .由此有33 sinA33 ,可编辑资料 -

13、 - - 欢迎下载精品_精品资料_232,所以, cosA+sinC 的取值范畴为3322232.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设ABC 的内角 A,B,C所对的边长分别为 a, b, c,且a cos Bb cos Ac 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 tan Acot B 的值.求 tan AB 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由正弦定理得：a=b=c=2R,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin Bsin c a=2R sin A,b=2R sin B,c=2rsin CacosB bc

14、osA 3 c, 2RsinAcosB 2R sin BcosA=32R sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin AcosB sin BcosA=3 sin A+B5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin AcosB sin BcosA=3 sin AcosB+3 cosAsinB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 sin AcosB=8 sin BcosA,两边同除以 2 sinBcosA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品

15、资料_555tanAcotB=4.由第知, tanA=4tanB,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan A=4tanB,而tanAB=tan A tanB =3tanB=33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1+ tanA tanB1+4tan2B当且仅且 1=4tanB,tanB= 1 时“”成立.1tanB+4tanB4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan B2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 在 ABC 中,内角 A、B、C的对边长分别为 a 、b 、c ,已知 a 2c22b ,且 sinA cosC3cosAsin

16、 C,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 法 一 ： 在ABC中sinA cos C3cosA sin C,就 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2有 :a .b2c22abb2c232bca 2. c,化 简 并 整 理 得 ：2a2c2 2b.又 由 已 知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2c22b4bb2 . 解得 b4或b0舍）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法二 :由余弦定理

17、得 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2c2b22bc cos A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又a 2c22b , b0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以b2ccos A2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又sin AcosC3cos Asin C ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin AcosCcos Asin C4cos Asin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin AC4

18、cos Asin C ,即 sin B4cos AsinC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理得 sin Bb sin C ,c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故b由,解得 b4ccos A4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 已知ABC 的内角 A , B 及其对边 a, b满意 aba cot Abcot B ,求内角 C 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由aba cot Ab cot B 及正弦定理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asi

19、n Bcos Acos B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Acos Acos Bsin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 sinA cos4cos A sin4cos B sin4sinB cos4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin AsinB 44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 0AB故 AB44AB2所以 C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 12 ABC的内角 A 、 B 、C 的对边分别

20、为 a 、b 、c ,已知 cos AC cos B1 , a2c ,求 C .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 如图,在 ABC中, ABC90, AB 3 ,BC 1, P为 ABC内一点, BPC90.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 假设 PB 12,求 PA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 假设 APB150,求 tan PBA.解： 1 由已知得 PBC60,所以 PBA30.2117在 PBA中,由余弦定理得PA 323cos 30.424故 PA7 .22 设 PBA ,由已知得 PB sin.在 PBA中,由正

21、弦定理得3sin,sin150sin30化简得3 cos 4sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 tan 34,即 tan PBA 3 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. ABC 的内角A, B,C的对边分别为a, b, c ,已知2 cosC a cos Bb cos Ac .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求 C .假设 c7 , ABC 的面积为33 . 求 ABC的周长 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ I） 由已知及正弦定理的,可编辑资料 - - -

22、 欢迎下载精品_精品资料_2 cos C sinAcos BsinB cos Asin C ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 2 cos C sin ABsin C ,故 2 sin C cosCsin C ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 cos C1 , C23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ II）由已知,1 ab sin C33 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 C, ab6 ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知及余弦定理得,a2b

23、22ab cos C7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 a 2b 213 ,从而 ab 225 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ABC 的周长为 579. 如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与 D 现测得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BCD, BDC, CDs ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为,求塔高 AB 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：在BCD 中,CBD可编辑资料 -

24、- - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由正弦定理得sinBCCDBDCsinCBD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 BCCD sinBDCssin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinCBDsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ABC中 ABBC tanACBstansinsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 如图 , 甲船以每小时 302 海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定

25、方向匀速直线航行, 当甲船位于 A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_处时 , 乙船位于甲船的北偏西105 的方向B1处, 此时两船相距 20 海里. 当甲船航行 20 分钟到达A2 处时 , 乙可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_船航行到甲船的北偏西120 方向的B2 处, 此时两船相距 102 海里, 问乙船每小时航行多少海里.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：如图,连结A1B2 ,A2B2102 ,A1A220302102 ,60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1 A2 B2 是等边三角形,B1A1B21056045 ,在 A1 B2B1 中,由余弦定理得B B 2A B 2A B 22 A BA B cos 451211121112222,201022201022002B1B2102.因此乙船的速度的大小为10260302.20答：乙船每小时航行302 海里 .可编辑资料 - - - 欢迎下载