2022年高中数学第一章导数及其应用导数的计算导数概念与运算基础知识总结素材新人教版选修-剖析 .docx

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1、精品_精品资料_导数概念与运算基础学问总结学问清单1. 导数的概念函数 y=f x, 假如自变量 x 在 x 0 处有增量x ,那么函数 y 相应的有增量y =fx 0 +x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 ,比值y 叫做函数 y=f x在 xx0 到 x0 +x 之间的平均变化率,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y = f x0 xxf x0 x.假如当x0 时,y 有极限, 我们就说函数 y=f x 在点 x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_处可导,并把这个极限叫做f x在点 x

2、0 处的导数,记作 f x 0 或 y|x x .0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 f x= limy = limf x0xf x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_说明：1函数 f x在点 x 0 处可导,是指x就说函数在点x 0 处不行导,或说无导数.0 时,y有极限.假如xy不存在极限,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x 是自变量 x 在 x 0 处的转变量,x0 时,而y 是函数值的转变量,可以是零.由导数的定义可知,求函数y=f x在点 x 0 处的导数的步骤可由

3、同学来归纳：1求函数的增量y =f x 0 +x f x 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2求平均变化率y = f x0 xxfx x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3取极限,得导数f x2. 导数的几何意义0 =limy .x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y=f x在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f x在点 px 0 ,f x 0 处的切线的斜率. 也就是说, 曲线 y=fx在点 px 0 ,fx 0 处的切线的斜率是f x 0 .相应的,切线方程为y y 0 =

4、f / x 0 xx 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 几种常见函数的导数:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ C0; xnnxn 1; sinxcos x ; cos xsin x ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ex ex ; a x ax ln a ;ln x1 ; l og x1 log e .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxaa4. 两个函数的和、差、积的求导法就法就 1：两个函数的和 或差 的导数 , 等于这两个函数的导数的和 或差 ,可编辑资料 - -

5、- 欢迎下载精品_精品资料_即： uvu v.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法就 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以其次个函数, 加上第一个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数乘以其次个函数的导数,即：uv uvuv .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设 C为常数 , 就 Cu C uCu 0Cu Cu . 即常数与函数的积的导数等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常数乘以函数的导数：Cu Cu .可编辑资料 - -

6、 - 欢迎下载精品_精品资料_法就 3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积,再除以分母的平方：uuvuv v0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=vv 2形如 y=f x 的函数称为复合函数.复合函数求导步骤：分解求导回代.法就： y | X = y | U u | X导数应用学问清单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 单调区间：一般的,设函数yf x 在某个区间可导,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 f x0

7、 ,就f x为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 f x0 ,就f x为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如在某区间内恒有f x0 ,就f x为常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0.曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负.曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.3. 最值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,在区间 a, b 上连续的函数f

8、 x 在 a,b 上必有最大值与最小值.求函数 . x 在 a, b 内的极值.求函数 . x 在区间端点的值 .a 、. b .将函数 .x 的各极值与 . a 、. b 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值.4. 定积分1概念：设函数 f x 在区间 a,b 上连续,用分点 a x0x1xi 1xi xn b 把区间 a,b 等分成 n 个小区间,在每个小区间 xi 1,xi 上取任一点 i i 1,2, n作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_和式 I nnfi1 i x其中 x 为小区间长度,把n即 x0时,和式 I n 的极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

9、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_叫做函数 f x 在区间 a, b 上的定积分,记作：bf x dx ,即abf xdx a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limnnf i x.i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这里, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 a,b 叫做积分区间, 函数 f x 叫做被积函数, x 叫做积分变量, f x dx 叫做被积式.基本的积分公式：0dx C.m1m 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x dx x m1 CmQ, m 1.

10、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 dx lnx C.xex dx ex C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax dx a xln a C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosxdx sin x C.sin xdx cosx C表中 C均为常数.2定积分的性质3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bkf xdxabkf xdx k 为常数.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xag xdxbf xdxabg xdx .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

11、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf x dxacf xdxabf xdx 其中 a cb .c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3定积分求曲边梯形面积由三条直线 xa,x bab,x 轴及一条曲线 y f x f x 0 围成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的曲边梯的面积 Sbf xdx .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如图形由曲线 y1 f 1 x ,y2 f 2 x 不妨设 f 1 x f 2 x 0,及直线x a, x bab围成,那么所求图形的面积S S 曲边梯形 AMNBS曲边梯形 DMNC可编辑资料 - -

12、- 欢迎下载精品_精品资料_b1f xdxab2f xdx .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典型例题一 导数的概念与运算3EG： 假如质点 A 按规律 s=2t运动,就在 t =3 s 时的瞬时速度为A. 6m/sB. 18m/sC. 54m/sD. 81m/s可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 ：定义在 D 上的函数f x,假如满意：xD , 常数 M0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都有 |f x | M成立,就称f x 是 D上的有界函数,其中M称为函数的上界 .可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【文】 1假设已知质点的运动方程为St1at ,要使在 tt10 , 上的每可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一时刻的瞬时速度是以M=1 为上界的有界函数,求实数a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【理】 2假设已知质点的运动方程为St2t1at ,要使在 t0 , 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的每一时刻的瞬时速度是以M=1 为上界的有界函数,求实数a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EG： 已知f x1 , 就 limf

14、2xf2的值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx01A. B. 2C.4x1D. 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1： 设 f34, 就limf3h0hf32 h为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 2C 3D1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 2： 设fx在x 可导, 就 limfx0xfx03 x等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 2 fx0B. fx0C. 3 fx0D. 4 fx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据所给的函数图像比较曲线 ht在t 0, t1, t2邻近得变化情形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式： 函数f x 的图像如下图,以下数值排序正确的选项是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 0f / 2f / 3f 3f 2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B. 0f / 3f 3f 2f / 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. 0f / 3f / 2f 3f 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D. 0f 3f 2f / 2f / 3O 1 2 3 4x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EG：求所给函数的导数：x31可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（文科）yx3log x;2yxnex ; ysinx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_理科）yx199;y2e x;y2xsin 2x5可编辑资料 - - - 欢迎下载

17、精品_精品资料_变式： 设 f x 、g x 分别是定义在 R上的奇函数和偶函数 , 当 x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,f x g xf xg x 0. 且 g3=0.就不等式 f xg x 0 的解集是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 3,0 3,+ B 3,0 0, 3C , 3 3,+ D , 3 0, 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EG： 已知函数yx lnx .1求这个函数的导数.2求这个函数在点x1 处的切线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的方程 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式

18、 1： 已知函数 yex .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求这个函数在点xe处的切线的方程. 的切线,求切线的方程2过原点作曲线 yex.2变式 2： 函数 y ax 1 的图象与直线 y x 相切,就 a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 1B.81C.41D. 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EG： 判定以下函数的单调性,并求出单调区间：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) f xx33 x;2f xx22x3;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3f

19、xsinxx, x0,;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x4f x2 x33 x224 x1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1： 函数f xx e的一个单调递增区间是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.1,0B.2,8C.1,2D.0,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 2： 已知函数 y1 x33x 2ax5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 假设函数的单

20、调递减区间是-3 , 1,就 a 的是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 假设函数在1, 上是单调增函数,就a 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 3： 设t0 ,点 P t , 0是函数f xx3ax与g xbx 2c 的图象的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线 .用 t 表示 a, b, c.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设函数 yf xg x 在 1, 3上单调递减,求 t 的取值范畴 .可编辑资料 - - -

21、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EG： 求函数f x1 x334 x4 的极值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求函数f x1 x334 x4 在 0,3 上的最大值与最小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1： 函数f x 的定义域为开区间 a, b ,导函数f x在 a, b 内的图象如下图,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就函数f x 在开区间a,b 内有微小值点可编辑资料 - - - 欢迎下载

22、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 1 个B. 2 个yyf. x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C. 3 个D. 4 个变式 2：已知函数f xax3bx2cx 在点baOxx0 处取得极可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大值 5 ,其导函数yf x的图象经过点 1,0 , 2,0 ,如下图 . 求：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0 的值.a, b, c 的值 .可编

23、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 3：假设函数f xax 3bx4 ,当 x2 时,函数4f x 极值,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求函数的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设函数f xk 有 3 个解,求实数 k 的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 4： 已知函数f xx 31 x 222 xc ,对 x 1,2,不等式 f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c2 恒成立,求 c 的取值范

24、畴.EG： 利用函数的单调性,证明：ln xxex , x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1： 证明： 11x1ln x1 x , x1222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 2：理科 设函数 f x=1+ xln1+ x. 假设关于 x 的方程 f x= x +x+a 在0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 上恰好有两个相异的实根,求实数a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EG： 函数f xx 33x xR , 假设 fmx2f 1mx0 恒成立 , 求实数 m 的取可编辑资料 - - - 欢迎下载

25、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值范畴变式 1: 设函数f xx33 x xR , 假设 fmsinf 1m0 0恒2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_成立,求实数 m 的取值范畴 .变式 2: 如图 , 曲线段 OMB是函数f xx2 0x6 的图象 , BAx轴于点 A, 曲线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OMB上一点 Mt, t 2 处的切线 PQ交 x 轴于点 P, 交线段 AB于点 Q,(1) 假设 t 已知 , 求切线 PQ的方程 2求 QAP 的面积的最大值0变式 3

26、: 用长为 90cm,宽为 48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻折90 角,再焊接而成,问该容器的高为多少时,容器的容积最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大？最大的容积是多少？变式 4: 某厂生产某种产品x 件的总成本c x12002 x 万元,已知产品单价375可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的平方与产品件数x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为50 万元,产量定为多少时总利润最大？EG： 运算以下定积分： 理科定积分、微积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 1dx;23 2x1 dx; 3

27、sinxdx;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x1x2022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4sinxdx; 5sin xdx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 1：运算：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12cos2 x2dx . 24x2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 cos xsin x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 2： 求将抛物线 y 2x 和直线 x1 围成的图形绕x 轴旋转一周得到的几何体的体可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积.变式 3：在曲线 yx 2 x0 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,试求： 1切点 A 的坐标. 2在切点 A 的切线方程 .12可编辑资料 - - - 欢迎下载