2000-全国高中数学联赛分类汇编（集合函数）.doc

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1、 2000-2012全国高中数学联赛分类汇编（集合函数）1、（2000一试1）设全集是实数，若A=x|0，B=x|=,则是 （ ）(A) 2 (B) -1 (C) x|x2 (D) 【答案】D【解析】由得x=2，故A=2；由得，故B=-1，2.所以=.2、（2001一试1）已知a为给定的实数，那么集合M=x|x2-3x-a2+2=0,xR的子集的个数为（ ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定【答案】C【解析】M表示方程320在实数范围内的解集由于140，所以含有2个元素故集合有24个子集，选3、（2002一试1）函数f(x)=的单调递增区间是（ ）(A) (-，-1) (B) (-，

2、1) (C) (1，+) (D) (3，+)【答案】A【解析】由x2-2x-30x3，令f(x)=, u= x2-2x-3，故选A4、(2002一试3) 函数f(x)=（ ）(A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数【答案】A【解析】由题得函数的定义域为，满足不满足，所以函数是偶函数，但是不是奇函数。5、（2002一试5）已知两个实数集合A=a1, a2, , a100与B=b1, b2, , b50，若从A到B的映射f使得B中的每一个元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a100)，则这样的映射共有( )(A)

3、(B) (C) (D) 【答案】D【解析】不妨设b1b20，所以只须求x-y的最小值。令x-y=u代入x2-4y2=4中有3y2-2uy+(4-u2)=0 yR 0 当时，u=，故|x|-|y|的最小值是14、（2003一试9）已知A=x|x24x+30，xR， B=x|21x+a0，x22(a+7)x+50，xR若AB，则实数a的取值范围是 【答案】4a1【解析】A=(1，3)；又，a21x(1，)，当x(1，3)时，a 7(7，4) 4a115、(2003一试10) 已知a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，若ac=9，则bd= 【答案】93【解析】a3=b2，c5=d4

4、，设a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x2y4=9(x+y2)(xy2)=9 x+y2=9，xy2=1，x=5，y2=4bd=5325=12532=9316、（2004一试8）设函数f：RR，满足f(0)=1，且对任意x，yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则f(x)= 。【答案】x+1【解析】令x=y=0，得，f(1)=110+2，f(1)=2令y=1，得f(x+1)=2f(x)2x+2，即f(x+1)=2f(x)x又，f(yx+1)=f(y)f(x)f(x)y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)f(x)1+2，即f(x+1)=f(x)+1比较、得，f(

5、x)=x+117、（2005一试8）已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是 【答案】【解析】在上定义，又仅当或时，在上是减函数，结合（）知或18、(2008一试7) 设，其中为实数，若，则 .【答案】5【解析】由题意知，由得，因此，19、（2008一试11）设是定义在上的函数，若 ，且对任意，满足 ，则= .【答案】【解析】方法一：由题设条件知 ，因此有，故 方法二： 令，则 ，即，故，得是周期为2的周期函数，所以20、（2009一试1）若函数且，则 【答案】【解析】，故21、（2009一试6）若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 【答案】或【解析】当且仅当对由求根公式得， 或()当时

6、，由得，所以，同为负根又由知，所以原方程有一个解()当时，原方程有一个解()当时，由得，所以，同为正根，且，不合题意，舍去综上可得或为所求22、（2010一试1）函数的值域是 .【答案】 【解析】易知的定义域是，且在上是增函数，从而可知的值域为.23、（2010一试5）函数 在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .【答案】【解析】令则原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以 ；当时，所以 .综上在上的最小值为.24、（2011一试1）设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 【答案】.【解析】显然，在的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以，故，于是集合的四个

7、元素分别为5（1）6，532，550，583，因此，集合25、（2011一试2）函数的值域为 【答案】【解析】设，且，则设，则，且，所以 26、（2012一试6）设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】由题设知,则因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是27、（2000一试14）若函数在区间a,b上的最小值为2a，最大值为2b，求a,b.【解析】化三种情况讨论区间a,b.(1) 若0ab, 则f (x)在 a, b 上单调递减，故f(a) =2b, f(b)=2a于是有，解之得 a, b =

8、1, 3 , (2)若a 0 b, f (x)在 a, b 上单调递增，在0,b 上单调递减，,因此f (x)在x=0处取最大值2b在x=a或x=b处取最小值2a.故2b=,b=.由于a0, 又f(b)=-() + =故 f(x)在x=a处取最小值2a,即 2a=+,解得a=-2-;于是得 a,b=-2-,.(2) 当a1)，使得存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x【解析】f(x-4)=f(2-x) 函数的图象关于x= -1对称 b=2a由知当x= -1时,y=0，即a-b+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)=

9、 假设存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x取x=1时，有f(t+1)1(t+1)2+(t+1)+1-4t0对固定的t-4,0，取x=m，有f(t +m)m(t+m)2+(t+m)+mm2-2(1-t)m+(t2+2t+1)0m m=9 当t= -4时，对任意的x1,9，恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0m的最大值为9。 另解：f(x-4)=f(2-x) 函数的图象关于x= -1对称 b=2a由知当x= -1时,y=0，即a-b+c=0由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)=(x+1)2 由

10、f(x+t)=(x+t+1)2x 在x1,m上恒成立 4f(x+t)-x=x2+2(t-1)x+(t+1)20当x1,m时，恒成立 令 x=1有t2+4t0-4t0令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)20当t-4,0时，恒有解 令t= -4得，m2-10m+901m9 即当t= -4时，任取x1,9恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0 mmin=9 29、（2002一试15）实数a,b,c和正数l使得f(x)=x3+ax2+bx+c有三个实根x1,x2,x3，且满足 x2-x1=l, x3(x1+x2) ，求【解析】 f(x)=f(x)-f(x3)=(x-x

11、3)x2+(a+x3)x+x32+ax3+b x1,x2是方程x2+(a+x3)x+x32+ax3+b的两个根 x2-x1=l (a+x)2-4(x32+ax3+b)=3x32+2ax3+l2+4b-a2=0x3(x1+x2) ()且 4a2-12b-3l20 () f(x)=x3+ax2+bx+c= f(x3)=0 () 由()得 记p=，由() 和()可知p且 令 y=，则y0且 = 0 取a=2,b=2,c=0,l=2，则f(x)=x3+ax2+bx+c有根，0 显然假设条件成立，且 综上所述的最大值是 30、（2005二试2）设正数a、b、c、x、y、z满足求函数的最小值.【解析】由条

12、件得，即，同理，得a、b、c、x、y、z为正数，据以上三式知，故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角形ABC，问题转化为：在锐角ABC中，求函数、）=的最小值.令则且同理，+（取等号当且仅当，此时，31、（2006一试15）设 . 记，. 证明：.【解析】（）如果，则，。 （）如果，由题意 ，,. 则 当 时，（）. 事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对， . 当 时，（）.事实上，当时，, 设时成立（为某整数），则对，有.注意到 当时,总有，即 . 从而有.由归纳法，推出 。 （3）当时，记，则对于任意，且。对于任意，, 则。 所以，。当时，即。因此。综合（）（）（），我们有。 3

13、2、（2007一试15）设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。【解析】证明：记，则f(x)=g(x)+h(x)，且g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，对任意的xR，g(x+2)=g(x)，h(x+2)=h(x)。令，其中k为任意整数。容易验证fi(x)，i=1，2，3，4是偶函数，且对任意的xR，fi(x+)=fi(x)

14、，i=1，2，3，4。下证对任意的xR，有f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。当时，显然成立；当时，因为，而，故对任意的xR，f1(x)+f2(x)cosx=g(x)。下证对任意的xR，有f3(x)sinx+f4(x)sin2x=h(x)。当时，显然成立；当x=k时，h(x)=h(k)=h(k2k)=h(k)=h(k)，所以h(x)=h(k)=0，而此时f3(x)sinx+f4(x)sin2x=0，故h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x；当时，故，又f4(x)sin2x=0，从而有h(x)=f3(x)sinx+f4(x)sin2x。于是，对任意的xR，有f3(x)sinx+

15、f4(x)sin2x=h(x)。综上所述，结论得证。33、（2008二试2）设是周期函数，和1是的周期且证明：（1）若为有理数，则存在素数，使是的周期；（2）若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足 ，且每个都是的周期【解析】（1）若是有理数，则存在正整数使得且，从而存在整数，使得 于是是的周期又因，从而设是的素因子，则，从而 是的周期 （2）若是无理数，令 ，则，且是无理数，令 ， ， 由数学归纳法易知均为无理数且又，故，即因此是递减数列最后证：每个是的周期事实上，因1和是的周期，故亦是的周期假设是的周期，则也是的周期由数学归纳法，已证得均是的周期 34、（2011一试9）设函数，实数满足，求的值【解析】因为，所以，所以或，又因为，所以，所以 又由有意义知，从而，于是所以 从而 又，所以，故 解得或（舍去）把代入解得 所以 ，