概率论与数理统计教案-参数估计.docx

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1、概率论与数理统计教学初中九耳级撤号 初中九年裁破考赦案 第6章参数估计藏密格号01教学基本指标教学课题第6章第1节点估计课地类型新知识课教学方法讲授，课堂提问，讨论，启发，自学教学手段黑板多媒体结合教学重点点估计，估计量与估计值地概念,估计量地无偏 性,有效性与一致性地概念,，估计量地相合性,矩 估计法（一阶，二阶距）与最大似然估计法。教学难点矩估计法（一阶，二阶距）与最 大似然估计法。参考浙江大学概率论与数理统计第四版作业布置课后习题大纲要求1 .理解参数地点估计，估计量与估计值地概念；了解估计量地无偏性，有效性（最小方差性）与 致性（相合性）地概念，并会验证估计量地无偏性;会利用大数定律证

2、明估计量地相合性。2 .掌握矩估计法（一阶，二阶距）与最大似然估计法。教学基 本 1一.矩估计法1 .矩估计法地基本思想是替换原理，即用样本矩去替换相应地总体 心距。我们知道,矩是由随机变量地分布唯一确定地,而样本来源于总体, 总体矩地特征。2 .矩估计法:用样本矩来估计总体矩地估计方法称为矩估计法.3 .矩估计法地步骤：设总体才地分布中包含勿个未知参数。1, 0 2,，0奶X,X2，,X,原点矩E（X）存在，并设E（X） = 4（ae，且），相应地攵阶样本层4替代矶X）,即可得到关于。!, e 2,，o 地方程组Nk（9，%, k = T,2,mrd矩f%3点容这里地矩可以是原点矩也可以是中

3、1大数定律,样本矩在一定程度上反映1来自总体X地样本,如果总体地k阶1 n:矩为4=Xxf,以H,=1A方程组地解eMX1,X2，X)，Z = 1,2,，加，称为参数。4(左=1,2,2)地矩估计量.A4.假设代入一组样本观测值%,，昂，那么2G，士)称为参数夕(左= 1,2,，加)地矩估计值.二 .最大似然估计法1 .最大似然估计地步骤：假设总体才地分布中含有4个未知待估参数e 1, o 2,，o,那么似然函数为i=l解似然方程组匹=0 = 1,2,次，或者对数似然方程组到叱=0,i = 1,2,次，即可得到参数地最大似然 朋，dq2 .定理:假设A为参数。地最大似然估计，g(e)为参数。地

4、函数，那么g(4)是g(e)地最大似然估计.三 .点估计地评价标准1 .无偏性:设。=&乂,乂2，,乂)是未知参数。地估计量，假设(4) =。，那么称J为。地无偏估计。2 .有效性:设ar均为参数。地无偏估计量，假设。()。或)，那么称比a有效。3 .相合性(一致性)：设为未知参数。地估计量，假设对任意地0,都有= 即力依 mg )概率收敛于参数。，那么称J为。地相合(一致)估计。4 .定理:设6为。地估计量，假设lim (9) = 6, limO(3) = 0,那么A为夕地相合(一致)估计.一8一8四.例题讲解例1.设为某零配件供应商每周地发货批次,其分布律为X 0123P 司 26(1-6

5、)伊 1-2。其中夕是未知参数,假设收集了该供应商8周地发货批次如下:3,1, 3, 0, 3,1, 2, 3,求8地矩估计值.例2.设某种钛金属制品地技术指标为才其概率密度为/(x) =备其中未知参数，1, 0, “1X1, X?,X为来自总体才地简单随机样本,求P地矩估计量.例3.某种金属板地厚度X在(a , 0上服从均匀分布，其中a , 5未知，设抽查了 片金属板，厚度 分别为X：X2，X，试用矩估计法估计a , b.例4.设袋中放有很多地白球与黑球，两种球地比例为1:9,但不知道哪种颜色地球多，现从中有放回地抽取三次,每次一球,发现前两次为黑球,第三次为白球,试判断哪种颜色地球多。例5

6、.求出例2中未知参数夕地最大似然估计量.例6.设某种元件使用寿命X的概率密度为f（x） =X 0二其中0是未知参数，设 其它%,，,土是样本观测值，求夕地最大似然估计.例7.设某工厂生产地手机屏幕分为不同地等级,其中一级品率为p,如果从生产线上抽取了 20件产品,发 现其中有3件为一级品，求：（1）夕地最大似然估计；（2）接着再抽5件产品都不是一级品地概率地最大似然估计.例8.设样本%，乂2，/来自正态总体X N其中从。2未知,求与。2地最大似然估计。例9.设总体4地4阶矩存在,证明：不管I服从什么分布，样本地4阶矩之X：是4 z=i地无偏估计。1 n 1 n例10.为=上氏又）2, S2=（

7、Xj-x）2都是总体方差，地估计量，问哪个估计量更 三1-1 /=1好？2 x 0,，其中9为未知参数,Z=1例12.设某种产品地寿命乃服从指数分布,其概率密度为/（x） =x0是未知参数，乂卜/是乂的样本，试证明。二2是。地 3相合估计量.款锦唐号8教学基本指标教学课题第6章第2节区间估计课地类型新知识课教学方法讲授，课堂提问，讨论启发，自学教学手段黑板多媒体结合教学重点置信区间，区间估计,单个正态总体地均值与方差 地置信区间,两个正态总体地均值差与方差比地 置信区间。教学难点置信区间，区间估计，单个正态 总体地均值与方差地置信区间， 两个正态总体地均值差与方差 比地置信区间。参考浙江大学概

8、率论与数理统计第四版作业布置课后习题大纲要求1 .掌握建立未知参数地(双侧与单侧)置信区间地一般方法；2 . 了解区间估计地概念,会求单个正态总体地均值与方差地置信区间，会求两个正态总体地均值 差与方差比地置信区间。教学基 本 1一.区间估计地概念1 .置信区间：设6为总体地未知参数，假设对于给定地a (0a 1),2=&(乂/2，,尤)，使得。二，那么称随机区间瓦为1-a地置信区间，和。分别称为置信下限与置信上限。2 .枢轴量：称满足下述三条性质地量。为枢轴量.(1)是待估参数4与估计量X地函数；(2)不含其它未知参数；(3)其分布且与未知参数无关。3 .求置信区间地一般步骤：(1)根据待估

9、参数构造枢轴量Q, 一般可由未知参数地良好估计量t (2)对于给定地置信度-a利用枢轴量。地分位点确定常数a,b, (3)将不等式恒等变形为P= 1 即可得到参数夕二.正态总体参数地区间估计1.单个正态总体地情形：设总体xn3cX是取自总体X地样本rd存,a使 地.容:在统计量 =(X,X2，,X)与为参数6地置信度(或置信水平)贵得至();PaQb-a;置信度为-a地置信区间,团S /1、sj=, X +t(n-l)r=. yjn 2 yin(3) 4,方差。2地置信区间：。2地置信度为1 “地置信区间为(4)从未知,方差/地置信区间：地置信度为1 a地置信区间为Z(X,一)2 (Xj-4)

10、2i=l空)2i=l力:a19一5-ISK(l)9(1)S2心5T)12(1)。2，均值地置信区间：地置信度为1 。地置信区间为 又一(2)未知，均值地置信区间：以地置信度为1 一。地置信区间为 又一乙(一 1)2.两个正态总体地情形:设总体X，总体YN(2。；)，X与y独立，样本X1,X2,X来自总体X ,样本8,均值差4-出地置信区间：村-外地置信度为1一。地置信区间为式+W, (x-y)+Ma“ 几22二 2丁 2nx n2X _ y (1 +力2 _ 2卬2h，x _ y+l(4 +2 - 2电22从，出未知，方差比与地置信区间：g 地置信度为1一。地置信区间为 (T?O；加一产T/T

11、)M(/Te .以上关于正态总体参数地区间估计地讨论可以列表1与表2如下:表1单个正态总体参数地区间估计表待估参数待估参数条件枢轴量置信区间4/N(O,1) cr V nX U j=, X +U r= 2 7rl2 y/nb 2未知X - Llj= /( - 1)_c _cX -. X +tn-Y)j=27rl27rl2 b从f(Xj)2-一2DbZ(Xj- )2 2(X)2 i= _zl1 5) xtM 2+n2-2 2未知d)s2 2(八27 5 1)b(DS2/(T)腔i(D21 2待估参数条件枢轴量置信区间f 2 k 2% n2(Xy)以2二 2222G 6 /7b%,(x - y)+

12、2J nx n22 v nx n2表6.2两个正态总体参数地区间估计表未知，但 n2其中2-l)S；+52-DS；% + 2 - 2(Xj-4i)21Z=1j；/,%)之化-2)21 J=1X-Y-t+n2-2)Sw2X - Y + ta(n1 + n2-2)5卬71/盛丑化-从丁 2 j=1, I4 -+ nx %i 一Z(x, -从) n. 7772 ”()n2 j=未知力r7尸(% I,% 1)，,2c2言 J (%1, 4 1)甘心(% -1，/ -1),222三.单侧置信区间1 .单侧置信区间：设以总体地未知参数，对于给定地,假设存在统计量。=（X,X2，,X）， 使得P，K9+oo

13、 = 1 那么称随机区间。,+00）为参数。地置信度为l-a地单侧置信区间，。称为单侧 置信下限;假设存在统计量2=0（X,X2，,X），使得P86a = 1 %那么称随机区间（-oo,aJ为参 数。地置信度为1-a地单侧置信区间，,称为单侧置信上限。2 .单侧置信区间地求法:单侧置信区间地求法与双侧置信区间相同,例如,设X，,尤来自正态总体XNY U（从。2）,其中。2,从未知，利用枢轴量N（O,1）,如下列图，构造PUua=l-a.(=1 。，恒等变形 2 X %=1-圆那么可得地置信度为1-a地单侧置信下限为= X 41= 7n四.例题讲解例1.设%，,尤为来自正态总体XN（禺o 2）,

14、其中。2己知,/未知，试求出从地置信度为地置 信区间。例2.某工厂生产一种特殊地发动机套筒，假设套筒直径/ （mm）服从正态分布N（4,02）,现从某天地产品中随机抽取40件，测得直径地样本均值为5. 426 （mm），求地置信度为0.95地置信区间.例3.为估计某种汉堡地脂肪含量，随机抽取了 10个这种汉堡,测得脂肪含量（）如下：25. 2, 21. 3, 22. 8, 17. 0, 29. 8, 21. 0, 25. 5, 16. 0, 20. 9, 19. 5.假设该种汉堡地脂肪含量（%）服从正态分布，求平均脂肪含量地置信度为0.95地置信区间.例4.某种钢丝地折断力服从正态分布N（,S

15、）,从一批钢丝中任意抽取了 10根,测得折断力数据（单位:kg）如下：578, 572, 570, 568, 572, 570, 570, 596, 584, 572,求b?与。地置信度为 0. 9 地置信区间。例5.某厂利用两条自动化流水线罐装辣椒酱,现分别从两条流水线上抽取了容量分别为13与17地两个相 互独立地样本，其中亍= 10.6g, 9 = 9.5g, s；=2.4g2, s；=4.7g2,假设两条流水线上罐装地辣椒酱重量 分别服从正态分布 以人和阳如。；).2(1)求它们地方差比3地置信度为0. 95地置信区间； %(2)假设它们地方差相同，求均值差从一出地置信度为0.95地置信区间.例6.某种建筑材料地剪力强度T服从正态分布,我们对该种材料做了 46次剪力测试,测得样本均值 x = 17.17(N/mm2)f样本标准差s = 3.28(N/m/),求剪力强度平均值以地置信度为0. 95地单侧置信下限.(2) CT；, b；未知，但b； =8,均值差4-2地置信区间：从-2地置信度为一a地置信区间为