考点24 空间几何体体积及表面积练习（含答案解析）.docx

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1、考点24：空间几何体的体积及外表积【题组一体积】1.如图，在四棱锥S-ABC。中，正招皿所在平面与矩形ABCO所在平面垂直.（1）证明：S在底面A8CO的射影为线段的中点；（2）AB = 4, AD = 2, E为线段BO上一点，且求三棱锥64。的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3姮.15【解析】【分析】（1）设线段30的中点为。，连接S。，可证明SOJ_平面A5CQ,从而得出S在底面43CD的射影为线段3。的中点.（2）利用等体积转化法求三棱锥的体积.【详解】证明：设线段8D的中点为0,连接SO,如图.因为SB。为正三角形，所以因为平面S3。，平面ABC。，平面 S8Z）n平面 ABC

2、D = BD , SOu 平面 SBD,所以SO_L平面ABCD,即S在底面ABCD的射影为线段BD的中点.（2）解：在中，BC = AD = 2, CD = A5 = 4,那么 2vL因为所以BC? =BEBD,即22 = 56x2石，Cl(1)证明：BC|/平面AC。；(2)假设是棱3用的中点，求三棱锥C-然的体积与三棱柱A4C-A3C的体积之比.【答案】(1)见解析；(2) |【解析】【分析】(1)连接4G交AC于点0,连接。，由中位线定理可得0QBG,故 而平面48； (2)根据棱锥和棱柱的体积公式即可得出结论.【详解】(1)证明：连接4G交4。于点0,连接必，: CCHAk, CG

3、= AA9.四边形力4G。是平行四边形，工。是4G的中点，又是46的中点，：.0DBG,又办c平面46P, 6GC平面4，平面4切.(2)设三棱柱ABC - /及7的高为h,那么三棱柱43G - 的体积V=S4ABch,-ABC = T SaabC, h,c 33-ABC = T SaabC, h,c 33又 V= Vcx+ VC-A8G，C-ABQ =2V: CCBB, 6W平面/郎4,郎u平面4郎4,平面ABB出,_2V1二5匕1二5匕1 2V V=X=2 33 VC-ABB -GA88M =，_ 1 . SaA|AE= T S平行四边形A4|BB， C-AAfE A，三棱锥C-的体积与三

4、棱柱AxBsG -力比1的体积之比为g .【点睛】此题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题.7.如下图，正三棱柱ABC48G的高为2,点。是A山的中点，点石是 的中点.（1）证明：OE平面ACG4；（2）假设三棱锥EO3C的体积为且，求该正三棱柱的底面边长.12【答案】（1）详见解析；（2） 1.【解析】【分析】（1）连接AB, 4G,推导。石4G,由此能证明。石平面ACCAi.（2）由等体积法，得Ve-obc=%ebc,点。到平面3CC出的距离是点4到平面BCGB的距离的一半，作AFJ_3C交于点忆 由此能求出该正三棱柱的底面边 长为1.【详解】（1）如图，连接AB, ACi,D

5、是48的中点,E是是A的中点,在BAG 中，DE/AC1,皿平面ACGA, AGu平面ACGA,平面 ACG4.(2)由等体积法，得VE-DBC-VD-EBC是48的中点,工点。到平面BCCiBi的距离是点A到平面BCCxBx的距离的一半.如图，作ARLBC交5C于点由正三棱柱的性质可知，A/7,平面3CC1B.设底面正三角形的边长，那么三棱锥D-EBC的高力=AF =且，24S砧 c =5x4x2 =。, VD-EBC = g 5皿=7 储=V 解得。=1该正三棱柱的底面边长为1.【点睛】此题考查线面平行的证明，考查正棱柱的底面边长的求法，考查空间中线 线、线面、面面的位置关系等基础知识，考

6、查运算求解能力，是中档题.8.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE_L平面ABCD, DFBE,且DF=2BE = 2, EF=3.(1)证明：平面ACFJ_平面BEFD.(2)假设cosNBAZ) = L 求几何体ABCDEF的体积.【答案】(1)见解析；(2) VABCDEF = 2a/6 .【解析】【详解】试题分析：利用题意首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理证明即可；假设钻，在钿中利用余弦定理即可求得边长。的值，然后利用几 何体的结构特征求解其体积即可.试题解析：(1)证明：.四边形A3CD是菱形，BE 1 平面 ABCD ：. BE 1 AC：.AC BE

7、FD, AC u 平面 AC尸平面ACT7 J_平面(2)设 AC 与 80的交点为 0, AB = aa 0),如图由(1)得4。_1_平面3也),BE 1 平面 ABCD ：. BEJLBD,V DF/BE, ：. DF A.BD,：.BD2 = EF2 -(DF- BE)2 = 8 ,BD = 272, , S四边形befd = 5( +。尸 BD - 372 , cos/BAD = -, BD2 = AB2 + AD2 -2AB AD- cos/BAD = -a2 =S 55a = V5 , .OA1 =AB2-OB2 = 3,，oa = V5 VabCDEF = 2Va_reFD =

8、 S四边形8EF力, OA = 26 .点睛：第一问证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为 “证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的表达，这种思想方法与空间中的平行 关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想 方法是解决这类问题的关键.第二问求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规 那么的几何体通过分割或补形将其转化为规那么的几何体求解.【题组二外表积】9.如下图，四棱锥PABC。中，平面A3CQ, PD = AD = AB, ZBAD=a)09 CD = BC = 1 , /BCD = 120。.P(1)求证：PBA.AC；(2)求四棱锥P

9、ABCD的外表积.【答案】(1)见解析(2) 2+正+叵+亚 2244【解析】【分析】(1)取 BZ)中点 0,连结 AO, CO,根据 =ND4B = 60。和BCD 为等腰三角形，得到A、0、。三点共线，AC1BD,再根据平面A3CQ, ACu平面ABCD,得到尸Z)_LAC,然后利用线面垂直的判定定理证明.(2)由(1)知，BD = 6 = AB = AD = PD, PB = PA = E PC = 2,再根据S表=Spad + SPDC + SPCB + SabCD 求解.【详解】(1)如图,取中点。，连结A。，CO,因为AD = AB, ZDAB = 60,所以AB。为正三角形，所

10、以又因为BCD为等腰三角形，所以COJ_BD,所以A、。、。三点共线，所以ACLa).又 平面 A3C。，ACu平面 A3CO,所以PDLAC, PDcBD = D,所以4?_1_平。笈)，PB u平面PBD ,所以AC_LP8.(2)由(1)知，BD = 6 = AB = AD = PD, PB = PA = a, PC = 2,_22 +/一(府1 屈cos /PCB = , sin /PCB =,2x2x144所以 Spbc = x2xl X，PBC 244S 表 =Spad + SPDC + Spab + SPCB + ABCD/3 X yj3 HX y/3 X 1 HX22/3 X

11、yj3 HX y/3 X 1 HX22V3x J(V6)2-+乎ixlx 23V33a/7V15373V3二I11112244443 3/3 V15 3/7=i112244【点睛】此题主要考查线面垂直和线线垂直的转化和几何体外表积的求法，还考查 了转化回归的思想和推理论证，运算求解的能力，属于中档题.10 .如图，在四棱锥尸ABC。中，AB = AD = 1, BC = DC = 5 PA = 2,(I )求证：BC_L平面Q4B；(II)求四棱锥P-A5c。的外表积.【答案】(I )见解析(II) 2 + V3 + V15【解析】【分析】(I )由线面垂直推出Q4_LAC, PA1BC,勾股

12、定理求出边AC,那么易证 ABA.BC,得证；(II)易证各侧面均为直角三角形，底面为两直角三角形的组合， 相应直角边长代入三角形面积计算公式求和即可.【详解】(I )因为Q4_L平面A3CQ, ACu平面ABC。，5Cu平面A8CO,所以B4_LAC, PABC,因为尸A = 2, PC = 2V2，所以 AC = 2.因为 AB = AD = 1, BC = DC = 6所以 6 + BC2 = AD2 + DC2 = AC2，所以ADJLOC,由 Q4_LBC, AB1BC, B4nAB = A可得,5C,平面(ID由题意可知S?8c(ID由题意可知S?8cSaaocqABP= Smdp

13、 =|xABxAP = 1-x 1x2 = 1,由(I )可知，BC_L平面Q45,平面R4B,所以3CJ_P5,同理可得。CJ_PD,又 bc = dc = 6 pb=pd=+* =石，qObCDP= -xPBxBC = -xyf5xy3 =22叵r所以四棱锥P- ABCD的外表积S = 2x=2 +6+后,【点睛】此题考查线面垂直的判定，多面体的外表积，属于中档题.11 .如图，在四棱锥A-3CDE中，。为等腰三角形4)的底边中点，平面AQ与等腰梯形8CD所在的平面垂直，DEH BC9 DE = 2CD = 2,ZBED = ZCDE = 120.(1)求证：BE1平面A。；（2）假设三棱

14、锥O-ABC的体积为走，求该三棱锥的侧面积.4【答案】（1）证明见解析；（2）述4【解析】【分析】（1）过点E,作EA/OC,交于“，证明再证明Q4_LB。即可得证;（2）分别计算三个侧面三角形的面积求和即可.【详解】（1）过点作EM / IOC,交5C于A/.由得 OD = OC = 1, NCDE = 120,所以 NOOC = 30因为砚T/OC,所以NOEM=30,所以 ZBEM = 120 - 30 = 90,所以BE上EM ,所以BELOC.由得Q4JLOE,因为平面4)_L平面BCDE,平面ADEPI平面BCDE = DE, (Mu平面ADE , 所以Q4_L平面5CDE,所以。

15、4,5石，因为。4noe = O, BE1 平面AOC.(2)在QBC中，由余弦定理可得OC = JL同理03 = 6，因为所以Sboc所以Sboc= -%OBxOCxsmZBOC = -24又因为匕一0=VA-BOC = X S.BOC * %。=手所以49 = 1所以%oc =%OB =噂, 乙所以 SOC + S JOB + S&BOC = j，所以三棱锥o-ABC的侧面积为拽.4【点睛】此题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，三棱锥的侧面积，属于中档 题.【题组三求参数】.在菱形A3CQ中，ZADC-,ABa, 0为线段CD的中点（如图1）.将AAQD沿A0折起到49D的位置，使得平面

16、49。_1_平面A3C0, M为线段的中点（如图2）.图1图2（I ）求证：ODUBC；（H）求证：CM 平面40。；（III）当四棱锥。ABCO的体积为Q时，求。的值. 2【答案】（I）见解析.（H）见解析.（III） 。= 2.【解析】那么3七=拽，从而殁=,即5 BD 5那么3七=拽，从而殁=,即5 BD 5DE 4BD 5416所以凡.=55初二彳由(1)知SO_L平面ABC。，且后, 2所以% SAO =匕 ADE = X-X V15 = 6/ .匕一ADAD 匕 3 5 5【点睛】立体几何的证明求值是高考的重要考点，求某几何体的体积可以用等体 积转化法，证明线面垂直可以通过面面垂直

17、的性质定理证明.2.如图，在四棱锥P43CO中，底面A3c。是菱形，ABAD = 60 ,Q4 = /D = AD = 2,点M在线段PC上，且PM = 2MC, N为AO的中点.(1)求证：ADJ_平面RVB；(2)假设平面B4DJ_平面A8CD,求三棱锥P- NBM的体积.2【答案】(1)证明见解析；(2)-【解析】分析(1)由可得A3。,24。为等边三角形，从而有尸N八AD, BN上AD,即可证明结论；2(2)由(1)可得BC_L平面PN8, Vp_NRM = Vm-pnb =%Vc_pnr，由平面24。_1平 ABCD,可得/W八平面ABC。，从而有PN八NB,求出5型股即可.【详解】

18、(1) ,： PA = PD, N为AO的中点，八A。,【分析】(I )证明ODLAO.推出0。平面A8C0.然后证明OD,LBC. (II) 取尸为线段的中点，连接。尸，PM；证明四边形0CMP为平行四边形，然后证 明CW平面A。； (III)说明。是四棱锥A6C。的高.通过体积公式求解即 可.TF【详解】(I )证明：因为在菱形A8CD中，ZADC = - , 0为线段CO的中点， 所以。因为平面AOO _L平面ABCO平面AOD平面ABCO = AO ,QOu 平面 AOO,所以平面ABCO.因为BCu平面ABCO,所以OD_L3C.(II)证明：如图，取尸为线段AZT的中点，连接OP,

19、PM；因为在AAHD中，P,“分别是线段4。，的中点，所以 PM/A3, PM =-AB.2因为。是线段C。的中点，菱形A3CD中，AB = DC = a, ABIIDC, 所以OC =CD = W.22所以 OC/AB, OC = -AB .2所以 PM/OC, PM = 0C.所以四边形OCMP为平行四边形，所以 CM/QP,因为CM.平面490, OPu平面490,所以CM/平面490；DfpB(III)由(I )知OD_L平面ABCO.（a 走所以OQ是四棱锥。-AB。的高，又S二5_36 2，OD* 28因为Y-=粤邛,所以。=2.【点睛】此题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何

20、体的体积的求法，考查 空间想象能力以及计算能力,是基础题13.在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是平行四边形，NBCD = 135。,侧面 R43J_ 底面 ABCD, PAAB, AB = AC =PA=2, E, F 分别为 BC, AO的 中点，过所的平面与面尸CD交于，N两点.（1）求证：EF/MN ；（2）求证：平面E7MVJ_平面PAC；（3）设端二九,当4为何值时四棱锥石红心的体积等于1,求4的值.3【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 2 二:4【解析】【分析】（1）先证明 跖/8,从而得到线面平行，进而得到跳7旃；（2）利用面面垂直得到线面垂直，进而得到Q4J_F,结

21、合平行四边形的特点可得AC.LEF,从而得到防JL平面PAC,可证结论；（3）利用体积可得几何体的高，利用高之比可得.【详解】（1）在平行四边形A8CO中，由,尸分别为BC,的中点，得EF/CD, CDu平面PCD, 环z平面PCQ,：EF平面PCD, 过石尸的平面ER0N与面尸CQ交于MV, /. EF/MN .（2）在平行四边形 A3CD中，V AB = AC, ZSCD = 135,，NABC = 45。即有 AB1AC,由（1） W EF/AB, A EF LAC.侧面P4B_L底面ABC。，且平面PABc平面ABCD = AB,且PAu平面BIB, PA_L底面45cD,又丁斯u底面

22、 ABC。，A PALEF,又,PAnAC = A, PAu平面PAC, ACu平面PAC, EFJ_平面PAC,；EF u平面EFMN , J平面EQWN J_平面PAC.（3）由题得，mc=2,设四棱锥FDC的高为h, VM-EFDC =SEFDC-h = x2xh = ；dm I 3, 4=aDP 2 4【点睛】此题主要考查空间位置关系的证明，利用判定定理证明时，注意写全定理 的使用条件，防止“跳步”扣分.【题组四求最值】14.如图，圆台。02的轴截面为等腰梯形44与瓦，442耳与，4&=2月与,A4=2,圆台002的侧面积为6兀.假设点G。分别为圆。I，。2上的动点且点C。在平面片的同

23、侧.D（1）求证：ACI4C；（2）假设/4与。=60。，那么当三棱锥c-AQ4的体积取最大值时，求多面体CDAB的体积.4 /- 3【答案】（1）证明见解析（2） -V3+-32【解析】【分析】（1）由圆台侧面积求出上下底半径，计算圆台的高，计算。2。，由直角三角形性质得 ACJL&C；（2）三棱锥。-4。4的高就是。02,表示出三棱锥。-4%的体积，求出最大值时lA，多面体CD41A282g分为三棱锥C-AO4和四棱锥C-AB.B,分别计算体积后相加即得.【详解】解：（1）设。I，。2的半径分别为广，2r,因为圆台的侧面积为6兀，所以6兀=l*2（2兀+ 4瓦/），可得r = l.因此，在

24、等腰梯形A4与4中，44=2旦坊=4, Ag=2, 002 =瓜如图，连接线段。2，QC，02C,在圆台。02中，002,平面片。与，QCu平面4c与，所以002又qc = i,所以在AQCO2中，co2 = 2.在Acaa中，。2=工44，故/ACA2=90。，即ac，4C(2)由题意可知，三棱锥c-4。4的体积为 1/Tc-ada2 =耳 以勾 *AA| DA2 一 ?又在直角三角形中，4。2+&。2 = a =162,所以当且仅当|4。|=|&。| = 2e，即点。为弧A4的中点时， 匕有最大值竽.过点。作CM，0也交。也于点M,因为002,平面片。层，CMu平面片。层，所以002, C

25、/，。2 E为 40 中点.(1)求二面角ABC石的余弦值；(2) M为线段5C上一动点，当直线DM与平面5C石所成的角最大时，求三棱 锥V CDE外接球的体积.【答案】(1)久2. (2)35M713【解析】【分析】(1)设厂为中点，连接EF、A厂得出3。，平面ADC,由平面几何可知上尸，BC, AFLBC,那么BE7弘就是二面角A 3C的平面角，在石E4中求解.(2)设直线与平面8 所成的角为。，点。到平面8CE的距离为“，那么S2言，由等体积法可得求得公孚当加最小时,直线DM与平面BCE所成的角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当M为中点时，直线。M与平面8CE所成的角最大，此时。=2

26、,可求出三棱锥M-CDE外接球的体积.【详解】【详解】解法一：(1)设厂为3C中点，连接所、A厂. ABC为等腰直角三角形，且二面角BADC为直二面角，工_L平面AOC*- AD = BD = CD = 2V2，AB = BC = CA = 49由平面几何可知，BE = CE = 屈,：.EF.LBC, AFBC, BER4就是二面角ABC石的平面角，在/%中，AE = C，AF = a/42-22 =2a/3 跖=J10 4 =遍,.cos /efa = 尸 + 炉=#=迪2 x EF x AF 12V23，二面角A 3C的余弦值为久2 .3(2)设直线QM与平面BC石所成的角为。，点。到平

27、面BCE的距离为小 niI . d贝U sin a =,DM在三棱锥B CO石中，Sabce=、BCxEF = 2，、2 573由咚棱锥5-CQE = 吟棱锥D_3CE，求得 d -， 当ZW最小时，直线DM与平面8CE所成的角的正弦值最大，此时所成角也最 大,当M为BC中点时 直线DM与平面BCE所成的角最大，此时。M=2.由平面几何知识可知，和CME都是直角三角形，设N为CE的中点,那么 ND = NE = NC = NM =-CE =, 22 三棱锥M - CDE外接球的半径为典，外接球的体积丫 =解法二：(1) ABC为等腰直角三角形，且二面角5-AO-C为直二面角,，30,平面 A。

28、，： BD 工 CD, 以。为坐标原点，以on、oc、所在直线为轴、y轴、z轴建立如下图的空 间直角坐标系. 在平面图形中，ABC是斜边为4加的等腰直角三角形，且为高AD的中点，。(0,0,0), A(2V2,0,0), 5(0,0,272) , C(0,272,0),石(啦,0,0),，AC = (-2也,20),= (0,272,-272), EC = (-立2立0),设平面A3c的一个法向量为? = (%i，y,zj ,平面BCE的一个法向量为mBC = 012枝y-2低=0由_ _八，得厂 r ，令%=1，那么y=4=lm - AC = 02 岳 + 2J_平面ABC。，平面PA。平面

29、ABCD = AD ,PN 人 AD, /W，平面 A3CO, : PM NB, S&pnb=；仓蛇 6 = I, ADJ_ 平面 RVB, AD/ BC,，BC J_ 平面 WB ,又 PM =2MC, T/ 2T72 13c 2 Vp-NBM = Vm-PNB = - VC-PNB = * * Q X 2 =1.【点睛】此题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直、求椎体的体积，注 意空间垂直关系的相互转化，考查逻辑推理能力，属于中档题.3.如图1, ABC为等边三角形，D石分别为AB, AC的中点，。为。的中点, 3。= 4,将）沿DE折起到44。石的位置，使得平面平面F为4。的中点，

30、如图2.图2（1）求证：跖/平面4瓦）；（2）求点尸到平面4。3的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）3包. 7【解析】【分析】（1）取线段43的中点“，连接“D, HF,推出四边形。户”为平行四cos(DA/,n)=cos(DA/,n)=2722V42-42 + 2 x V6 V5x7(22-l)2+ 1 1即直线DM与平面BCE所成的角的正弦值为g * g - 1尸+1V3TV3T,当且仅当时，等号成立.J砌 1,MT三棱锥M - CDE外接球的半径为巫,当”为中点时，直线DM与平面BCE所成的角最大，此时。=2.由平面几何知识可知，CZ)石和CME都是直角三角形，设N为C的中点,那么

31、ND = NE = NC = NM = LcE = 2【点睛】此题考查求二面角的余弦值和三棱锥外接球的体积的求法，考查空间线 线、线面、面面的位置关系，属于中档题.17.如下图，在三棱柱ABC A4G中，NBAC = 90,A41，平面ABC, AB = AC,石是线段3A上的动点，。是线段3C上的中点.(I )证明：ADA.C.E；(II)假设AB = 2,A4=3j5,且直线AC、&E所成角的余弦值为试指出点石在线段54上的位置，并求三棱锥用-AQE的体积.【答案】（I ）见解析；（II） 2.3【解析】【分析】（I）根据棱柱为直棱柱可得平面ABC_L平面BCGBi，由D为BC中点， 得A

32、D垂直BC,由面面垂直的性质定理可得平面。从而得到证明； （II）由直线A。、所成角得cos/AGE = ；，可得AE长度，从而看确定点E I, ，.，J ； JDti = Vd_ABE =5%-4|B|E可求得所求体积.【详解】（I ）因为AA J_平面ABC,所以CC平面ABC.而CG u平面BCC1B1，所以平面ABC平面BCG耳.因为线段5C的中点为。，且八钻。是等腰三角形，所以AQ_LBC.而AO u平面ABC,平面ABC A平面BCG 8尸BC,所以AO J_平面C3AG .又因为GE u面CBqG，所以A。，eg（II） AA，平面 ABC,那么 AH JL AC. N3AC =

33、 90。，即 AC_LAB,又ABrAC = A9所以AC，平面ABM a，故4G，平面A3AA，所以AAG是直 角三角形.在三棱柱中，AC/4G，直线AC、C所成角的余弦为那么在用A4EG中，cosZA1C1E = -, AG=AC = 2,所以耳石=2后.在放AAgq中，4A =2,所以母石=2亚.因为例=3e，所以点石是线段BB.的靠近点B的三等分点.因为匕ABEC）A巧匕=京05心 8 = ；x；x 20x2x2 =所以为i-所以为i-=VD ABF = V(LJA H匕 2(C-AXBXE 一2/2【点睛】此题考查面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查棱锥体积的求法, 利用等体积转

34、化求解体积是常用方法.18.现需要设计一个仓库，它由上下两局部组成，上局部的形状是正四棱锥 p-下局部的形状是正四棱柱abcd-AAG2 (如下图)，并要求正 四棱柱的高。1是正四棱锥的高pox的4倍.(1)假设AB = 6双尸O =2那么仓库的容积是多少？(2)假设正四棱锥的侧棱长为6根，那么当为多少时，仓库的容积最大？【答案】(1) 312 (2) PQ =273【解析】【详解】试题分析：(1)明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；(2)先根据体积关系建立函数解析式，V = +=(36/z-/z3)(O/6),然 后利用导数求其最值.试题解析：解：(1)由P0i=2知OOi=4

35、POi=8.因为 AiBi=AB=6,所以正四棱锥P-AiBiGDi的体积/二、4月2.。01 =ix62x2=24(m3);正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的体积匕主二人笈.。=62 x8 = 288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312 (m3).(2)设 AiB尸a (m), POi=h (m),那么 0h+/=36,即/=2（36 层）.于是仓库的容积 v=%+% =。24/7 + ,/2 = 122。=竺（36/7 /23）（。/26）,从而生（36 3/） = 26（12 /）.令V，= o,得力=20或/z = -（舍）.当0力0 , V是单调增函数；当2

36、6用6时，W0 , V是单调减函数.故/ = 26时，V取得极大值，也是最大值.因此，当Pq=2V5m时，仓库的容积最大.【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面 进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种 方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利 用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.视频D19.如图，在四棱锥 PABCD 中，Q4 平面 ABC。，ABAD, AD/IBC, AD = 2BC = 4,尸6 = 4及，M是线段”的中点.（1）证明

37、：BM/平面尸CD；（2）当。4为何值时，四棱锥尸-ABCD的体积最大？并求此最大值【答案】（1）见解析（2）当必=4时，体积最大值为16.【解析】【分析】（1）取切中点儿 易证以为平行四边形，进而得96V平行，得证;（2）设必=x （04&），把体积表示为关于x的函数，借助不等式求得最 大值.【详解】(1)取切中点乂连接瞅CN,J是的中点，腑/且物V=AD, 2,:AD”BC, AD=2BC,：.MN/ BG MN= BC,/.四边形/蛆窗是平行四边形，C.MB/CN.又BMU平面PCD, 匕平面70,朋/平面PCD；(2)设为=x (0472)，:为J_平面四6：.PA,AB,; PB = aM， AB= y/pB2-AB2 = 732-f ,又/瓦49= 2 比=4,Vp- ABCD= - SabcD X PA= -x1(AD + BC)xABxPA=xj32-f/2 x V2 +82x|x2xV3 =8(6