[高一数学]6高一数学人教新课标A版函数的应用Ⅰ教案!.doc

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1、 函数的应用() 一、目标认知学习目标： 1.通过实例理解有关一次函数和二次函数的有关问题，会解数学模型为一次函数和二次函数的有关应用问题.2.学会独立思考，提高分析问题、解决问题的能力.重点： 一次函数和二次函数模型的应用.难点： 数学建模.二、知识要点梳理知识点一、一次函数模型的应用1.一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R.知识点二、二次函数模型的应用1.二次函数的一般形式是其定义域为R.2.假设，那么二次函数在时有最小值；假设，那么二次函数在时有最大值.3.建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答.三、规律方法指导1.数学建模的过

2、程:2.数学建模的步骤：第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字表达，理解表达所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解表达中的新名词、新概念，进而把握住新信息.第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题即数学模型予以解答，求得结果.第四步：再转译为具体问题作出解答.3. 规律总结(1) 在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围

3、，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求(2) 在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化(3) 对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本经典例题透析类型一、一次函数模型的应用1.商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该商店现推出两种优惠方法： (1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按购置总价的92%付款某顾客需购茶壶4个，茶杯假设干个(不少于4个)，假设以购置茶杯数为(个)，付款数

4、为(元)，试分别建立两种优惠方法中与之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购置茶杯40个，应选择哪种优惠方法?思路点拨：付款分为两局部，茶壶款和茶杯款，需要分别计算解：由优惠方法(1)可得函数关系式为；由优惠方法(2)得函数关系式为当该顾客需购置茶杯40个时，采用优惠方法(1)应付款(元)；采用优惠方法(2)应付款(元)，由于，因此应选择优惠方法(2)总结升华：注意问题的分配的要抓住本质，此题的实质是一个一次函数问题.2.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份O.35元，卖出的价格是每份O.50元，卖不掉的报纸还可以每份O.08元的价格退回报社在一个月(30天)里，有20天每天可以卖出400份

5、，其余10天每天只能卖出250份，设每天从报社买进的报纸数量相同，那么应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元? 思路点拨：每月所赚的钱卖报收入的总价付给报社的总价而收入的总数分别为3局部：在可卖出400份的20天里收入为；在可卖出250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出收入为O.525010；没有卖掉的(x-250)份报纸可退回报社，报社付给(x-250)O.0810的钱，注意写出函数式的定义域解：设每天应从报社买x份，易知250x400设每月赚y元，得 y=O.5x20+O.525010+(x-250)0.0810-O.35x3

6、0 =O.3x+1050，x250，400 因为y=O.3x+1050是定义域上的增函数， 所以当x=400时， (元) 可知每天应从报社买400份报纸获得利润最大，每月可赚1170元举一反三：【变式1】某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，方案利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，生产一件A种产品，需要甲种原料9 kg，乙种原料3 kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请设计出来；(2)设生产A、B两种产品获总利润为y(元)，其中一种的生产件数为x，试写出y

7、与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中哪些生产方案获总利润最大?最大利润是多少?思路点拨：设生产A种(或B种)产品x件，那么生产B种(或A种)产品(50-x)件根据题意：生产两种产品所用甲种原料不超过360 kg，所用乙种原料不超过290 kg可列出两个不等式，解不等式组，即可求出x的范圃，进而确定x的正整数值解：(1)设安排生产A种产品x件，那么生产B种产品为件，依题意，得解得30x32 x是整数， 只能取30，31，32 生产方案有三种，分别为A种30件，B种20件；A种31件，B种19件，A种32件；B种18件 (2)设生产A种产品为x件，那么y=700x+1200(50-x

8、)=-500x+60000 ，根据一次函数的增减性， y随x的增大而减小当x=30时，y最大， 安排生产A种产品30件，B种产品20件时，获得利润最大，最大利润是45000元总结升华：此题的第(1)问是利用一元二次不等式组解决的，第(2)问是利用一次函数的增减性解决问题的，要注意第(2)问与第(1)问的相互联系.3.等腰梯形ABCD的两底分别为AB=3，CD=1，腰长为2一动点P从B开始沿梯形的边BC、CD、DA运动，假设P经过路程为x，ABP面积为y，求y与x之间的函数关系式 思路点拨：如下图，需分P在BC、CD、DA三段分别计算 解：过P作PEAB于E(1)当P在BC上时， ，.(2)当P

9、在CD上时， ，.(3)当P在DA上时，. ， 综上所述：由于ABP为三角形，故P在A、B两端点时不必研究，因此，所以定义域为(0，5).总结升华：对于文字表达冗长，反映数学关系的事物陌生的应用题，认真、耐心地阅读和理解题意至关重要.有的同学一见应用题文字冗长、应用问题中给出的事物比拟陌生，连题目都没有看完，就望而生畏，置之不理.实际上这类问题是对学生心理素质的严峻考验，要树立信心，保持冷静，认真对待，不可随意放弃，等你认真阅读完了，理解清楚题意后这道题可能就迎刃而解了！4.电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板，长期以来，由于AB胶的用量没有一个

10、确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量，经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据： 序号磁钢面积用胶量111.00.164219.40.396326.20.404446.60.664556.60.812667.20.9727125.21.6888189.02.869247.14.07610443.47.332现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系思路点拨：由表中分散的各组数据来寻找磁钢面积与用胶量的规律，通常的方法是描绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，用数据待定出

11、表达式解：我们取磁钢粘合面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标，建立直角坐标系，根据上表数据在直角坐标系中描点，得出以下图从图中我们清楚地看到这些点根本上分布在一条直线附近，画出这条直线，使图上的点比拟均匀地分布在直线两侧用函数表示用胶量与磁钢面积的关系取点(56.6，0.812)，(189.O，2.86)，将它们的坐标代人，得方程组解得0.01547，-O.06350这条直线是. 总结升华：在解决实际问题中，提出问题收集数据整理、分析数据建立函数模型解决问题代入检验，这是一个完整的过程，作出散点图，观察散点图的形状，是选择函数模型的根底，确定函数模型后，经常需要检验，如果误差较大，就要修正得到的函

12、数模型.类型二、二次函数模型的应用5.某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满，公司欲提高档次，并提高租金如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，假设不考虑其他因素，公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高? 思路点拨：由题设可知，每天客房总的租金y元是房租金的函数解：设客房租金每间提高x个2元， 那么将有10x间客房空出，客房租金总收入为y=(20+2x)(300-10x)，xN 这个二次函数图象的对称轴为， 当时，答：将房间租金提高到40元/间时，客房租金总收入最高，每天为8000元总结升华：求二次函数最值时一般用配方法，这里使用了对称性，简化了计算

13、.举一反三：【变式1】将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个假设这种商品的销售单价每涨1元，日销售量减少1O个，为了获得最大利润，此商品的销售单价应定为多少元?思路点拨：设销售单价应涨元那么实际销售单价为(10+)元；日销售量为(100-10)个；日销售额为(10+x)(100-10x)元；日销售本钱为8(100-10x)元，故利润为y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x)=-10(x-4)2+360(xN)易得，当=4时，y最大此时，销售单价为14元解：设销售单价应涨元，那么实际销售价格为元，由题意得利润为 y=(10+)(100-10)-8(100-1

14、O)=-10(-4)2+360(xN) 当=4时， 此时销售价为10+4=14(元)总结升华：根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题.求函数最值的常用方法有：配方法；判别式法；换元法；数形结合法；函数的单调性法等.6.某厂生产一种机器的固定本钱(即固定投入)为O.5万元，但每生产100台，需要加可变本钱(即另增加投入)O.25万元市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为(万元)(05)，其中是产品售出的数量(单位：百台) (1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得到利润最大?(3)年产量是多少时，工厂才不亏本?思路点拨：对于一些较

15、复杂的应用问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题.要先后或同时构造、利用几个数学模型方可解：(1)当5时，产品能售出台；当5时，只能售出5百台 故利润函数为(2)当05时，当时，得万元. 当x5时，L(x)=-0.25x+1210.75 生产475台的利润最大.(3)由 或 得4.75-x5或5x48， 4.75-x48，4.75-0.1， 故产品年产量在10台到4800台时，工厂不赔本，考虑到实际情况，当年产量在10台到500台时工厂不亏本.类型三、综合应用7.甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查提供了两个方面的信息. 如图甲调查说明：每个甲鱼池平均产量从第1

16、年l万只甲鱼上升到第6年2万只乙调查说明，甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了?说明理由；(3)哪一年的规模最大?说明理由思路点拨：首先根据图象可知两种调查信息都符合一次函数，因此，可以采用待定系数法求出函数解析式下面的问题就容易解决了解：(1)由图可知，直线经过(1，1)和(6，2)，可求得， ，同理可得 第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为261.2=31.2(万只)(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产鱼总数为20

17、万只(3)设第年规模最大，即求 的最大值 当时，最大 即第二年规模最大，为31.2万只总结升华：此题首先要读懂图，能够由图象设出函数解析式，用待定系数法求出解析式.其次，要会使用所求得的解析式解决新问题.学习成果测评根底达标一、选择题1.一个旅社有100间客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现了这样一个规律：如果客房定价每天每间160元，入住率为55%；每间定价140元时，入住率为65%；每间定价120元时，入住率为75%；每间定价100元时，入住率为85%；要使每天收入到达最高，每间每天应定价为( )A.160元 B.140元 C.120元 D.100元2.为了改善某地的生态环境，政府决

18、定绿化荒山，方案第一年先植树0.5万亩，以后每年比上一年增加1万亩，结果植树总亩数是时间(年数)的一次函数，那么这个函数的图象大致是( )3.对某种产品市场产销情况调查如下图，其中表示产品各年产量的变化规律；表示产品各年的销售情况；以下表达：(1)产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原方案进行下去；(2)产品已经出现了供大于求的情况，价格趋跌；(3)产品库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；(4)产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.你认为较合理的是( )A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(4) C.(2)(4) D.(2)(3)4.某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地

19、面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如下图，那么厂门的高为(水泥建筑物的厚度忽略不计，精确到0.1m)( )A.6.9m B.7.0m C.7.1m D.6.8m5.某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如下图)，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，那么水流落地点B离墙的距离OB是( )A.2m B.3m C.4m D.5m6.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，该商品假设每个涨(降)1元，其销售量就减少(增加)20个，为获得最大利润，售价应定为( )A.92元

20、B.94元 C.95元 D.88元二、填空题7.某商店进货单价为45元，假设按50元一个销售，能卖出50个；假设销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最正确售价应为每个_.8.某航空公司规定，乘机所携带行李的重量(kg)与运费(元)由图中的一次函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为_.9.建造一个容积为8000m3深为6m的长方体蓄水池，池壁造价为a元/m2，池底造价为2a元/m2，把总造价y(元)表示为底的一边长x(m)的函数：_.10将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个假设每个销售涨价一元，那么日销售量减少10个为获得最大利润，那么此商

21、品当日销售价应定为每个_元三、解答题11.某地方政府为保护地方电子工业开展，决定对某一进口电子产品征收附加税这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，假设政府增加附加税率为每百元收t元时，那么每年销售量将减少t万件(1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；(2)假设在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？12. 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间假设不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？能力提升一、选择题

22、1商店某种货物的进价下降了8，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r增加到(r10)，那么r的值等于()A12B15C25D502如以下图所示，点在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，那么当点沿着ABCM运动时，以点经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是()二、填空题3有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如以下图所示)，那么围成的矩形最大面积为_m2(围墙厚度不计)4在国内投寄平信，每封不超过20克重应付邮资80分，超过20克不超过40克重付邮资160分，将每封信应付邮

23、资(分)表示为信重(0x40)克的函数，其表达式f(x)为_三、解答题5.我国是水资源比拟贫乏的国家之一，各地采用价风格控等手段来到达节约水的目的某市用水收费的方法是：水费=根本费超额费损消耗假设每月用水量不超过最低限量，只付根本费8元和每户每月定额损消耗c元；假设用水量超过时，除了付以上的根本费和损消耗外，超过局部每付b元的超额费每户每月的定额损消耗不超过5元该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示月份用量量水费(元)1992151932233根据上表中的数据求，6. 某商品在近100天内，商品的单价(元)与时间(天)的函数关系式如下： 销售量与时间(天)的函数关系式是求这种商品在

24、这100天内哪一天的销售额最高.答案与解析根底达标一、选择题1.B设旅社每天按不同定价收入分别为那么 应选B.2.A函数解析式为，实际问题取值范围：，应选A.3.D产量增长大于销售的增长，应选D.4.A建立如下图的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为.设A点的坐标为(4，-h)， 那么C(3，3-h).将这两点的坐标代入可得 . 所以厂门的高为6.9m，应选A.5.B以抛物线所在平面与墙面的交线为y轴，和水平面的交线为x轴建立坐标系.那么由题设条件知， 抛物线的顶点，A点坐标为(0，10).于是可设抛物线方程为. 将A点坐标(0，10)代入该方程可求得a的值为.所以抛物线方程为 令.所以B点

25、坐标为(3，0)，故OB=3，应选B.6.C设涨(降)x元， 那么利润 所以当x=5时，y最大，此时售价为90+5=95(元).应选C.二、填空题7.60元解：设涨价x元，销售的利润为y元 y=(50+x-45)(50-2x)=-2(x-10)2+450 当x=10，即销售价为60元时，y取得最大值.8.19kg解：设，将点(30，330)，(40，630)代入得，令y=0即可.9.解：设底面的另一边长为z(m)，那么6xz=8000，即 池壁造价为 池底造价为 故总造价10.解析：设每个涨价x元，那么实际销售价为(10x)元，销售的个数为(100-10x)，那么利润为y=(10x)(100-

26、10x)-8(100-10x)=-10(x-4)2360(0x10)因此x=4，即售价定为每个14元时，利润最大 答案：14.三、解答题11. 解析：(1)设每年销售是x万件，那么每年销售收入为250x万元，征收附加税金为y=250xt 依题意，x=40-t 所求的函数关系式为y=250(40-t)t(2)依题意，250(40-t)t600，即t2-25t1500， 10t15 即税率应控制在1015之间为宜12. 设客房日租金每间提高个2元，那么每天客房出租数为300-10，由0，且300-100得：030设客房租金总收入y元，那么有：(030)由二次函数性质可知当=10时，max=8000

27、所以当每间客房日租金提高到20+102=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元能力提升一、选择题1.解析：销售利润=100设销售价为y，进价为x， 那么解之得r=15答案：B2.解析：此题主要考查求分段函数的解析式，如下图， 当0x1时，y=x1=x； 当1x2时，y=1-(x-1)-(2-x)-=-x； 当2x2.5时，y=(-x)1=-x 那么y=图形为A答案：A二、填空题3. 解析：设矩形宽为xm，那么矩形长为(200-4x)m，那么矩形面积为S=x(200-4x)=-4(x-25)22500(0x50)，x=25时，S有最大值2500m2 答案：25004.三、解答题5. 思路点拨：易知二、三月份的用水量已超过了最低限量，但一月份的用水量是否已超过最低限量，需要进行分类讨论解：设每月用水量为支付费用为y元那么由题意知， 由表知第二、三月份该户水费超过13元用水量为，均大于最低限量，将，分别代入中，得 b=2，不妨设一月份用水量也超过最低限量，即，这时将代入中得，与矛盾， 即可知一月份付款方式应选式，那么有 ， ，6. 解：依题意该商品在近100天内日销售额与时间(天)的函数关系式为(1)假设0t40，Z， 那么(元).(2)假设，Z，那么 ， ， 在(40，100)上递减， 当时，. ， 第12天的日销售额最高.