[自动控制原理课件]根轨迹113455.doc

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1、 自动控制原理 主讲谢红卫 国防科技大学机电工程与自动化学院 2021年4月2021年7月 第五章 根轨迹方法教材第7章 5-1 根轨迹的根本概念 5-2 根轨迹绘制的根本方法 5-3 典型环节根轨迹与广义根轨迹 5-4 应用根轨迹分析和设计控制系统 第十一讲根轨迹的概念与绘制方法5-1 5-2单元2学时 5-1 根轨迹的根本概念 5-2 根轨迹绘制的根本方法 5-1 根轨迹的根本概念 已经学过的时间域分析方法可以直接计算判定系统的性能但它们都有一个缺陷不能在参数变化时预测系统的性能不能在较大的范围内给出参数优化设计的预测结果而在实际工程中这是非常重要的 1948年 coms提出了根轨迹法满足

2、了设计需求成为控制系统设计的十分重要的图上设计法 -2 -1 0 j k s 05s1 K0 图示系统的闭环特征方程为 S22s2k 0 特征根s12 112k K 0时 s1 0s2 2 0k05 时两个负实根 假设s1 025 s2 K 05时s1 s2 1 05k时s12 1j2k1 演示rltool 看不出随k的变化速度 定义当开环传递函数的某一参数变化时闭环系统特征方程的根在 S 平面上的变化轨迹 从典型的根轨迹图中可以预测系统的性能 利用典型的根轨迹图可以判断特征根是否在可行域内 1 预备知识 根轨迹同时涉及闭环零极点与开环零极点 将传递函数写成根轨迹形式首1我们有 5-2 绘制根

3、轨迹 G H 问题1零点 2极点3根轨迹增益 根轨迹方程 特征方程 1GH 0 j 1 m i 1 n 1 K 0 s s - - zj pi pi 开环极点 也是常数 开环零点是常数 Zj 根轨迹增益K 不是常数从0 变化 这种形式的特征方程称为根轨迹方程 2根轨迹的模值条件与相角条件 -1 模值条件 相角条件 2根轨迹的模值条件与相角条件 相角条件对决定根轨迹形状至关重要 只用相角条件就能绘制根轨迹 在指定根轨迹上的闭环极点后用模值条件确定对应的K的取值 模值条件与相角条件的验证 -15 -1 -2 05 -0825 0466 n 234 验证 s1 -0825 s23 -109j207

4、在根轨迹上 -109j207 226 6627o 788o 211 261 12753o 9249o 2072 K 226211261 2072 60068 9249o- 6627o- 788o- 12753o 180o 开环零极点 z1 -1 p1 -2 p2 -15 p3 05 模值条件与相角条件的验证 S1 15j12553 Li k 0264 1956 i 399 1352 683 2361 1479 1352 3718 4672 1117 1603 1644 K 0266 1803o 开环零极点 Z1 2 3 -1 2 3 P123 -3-205 5-2 绘制根轨迹的根本方法 Rul

5、e1 根轨迹起始于开环极点终止于开环零点 说明 K 0 K 实际系统一般满足n m因此有n-m条根轨迹的终点将在无穷远处称为无限零点 Rule2 根轨迹的分支数等于特征方程根的个数即 n 阶系统有 n 条根轨迹分支 说明 按定义根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时闭环特征方程的根在 S 平面上的变化轨迹因此根轨迹的分支数与闭环特征方程的根的个数相一致 Rule3 根轨迹连续并且关于实轴对称 说明 1根据代数方程式的性质当代数方程的某系数连续变化时其根也连续变化 2由于特征方程的系数均为实数故特征方程的根也均为实数或共轭复数 注意当出现共轭根时只需绘制实轴上方的根轨迹分支应用镜象原理就能得到实

6、轴下方对应的根轨迹分支 Rule4 根轨迹在实轴上的分布实轴上的某一区域假设其右边开环实数零极点个数之和为奇数那么该区域必是根轨迹 360度 共轭零极点对对实轴根轨迹无影响 j 0 s1 z3 p4 z2 z1 p3 p1 p2 Rule5 根轨迹的别离点与别离角 两条或两条以上根轨迹分支在 S 平面上相遇又立即分开的点 进入别离点的切线方向与离开别离点的切线方向之间的夹角 重根 l条分支 别离点常位于实轴的两个相邻的开环极点或零点之间 例51 设开环传递函数为 j 0 -3 -2 -1 1K 0 2根轨迹在实轴上的分布 3复数局部的根轨迹是否为圆 别离点 实复根 -0586 -3414 相角

7、条件 Rule6 根轨迹与虚轴的交点 求出 以及与之对应的K临界值 Rule7 根之和与积当n-m 2有 Rule8 根轨迹的出射角和入射角 根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角 根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角 Rule 9 根轨迹的渐近线与无限零点对应渐近线有n-m条它们与实轴有公共的交点交角和公共交点分别为 例52 系统的开环传递函数为 1a 3时绘制系统的根轨迹图确定闭环共轭复数极点具有阻尼比 时的闭环传递函数 2a 2时绘制系统的根轨迹图确定系统输出无衰减振荡分量时的闭环传递函数 解 1a 3 开环极点0-3-1j-1-j j 0 -1 1 -1 -3 -23 渐近线 别离点与角 与虚轴交点 出射角 等阻尼线 复极点 在 -3-23 之间用试探法可以求得一个闭环极点 再依据规那么7可得 于是闭环传递函数为 2a 2 开环极点0-2-1j-1-j j 0 -2 -1j -1-j 渐近线 别离点与角 等阻尼线 虚轴交点 习题 2次课集中布置参考根本环节根轨迹图集 E71 E72 E75 E76 E78 E710 E712 E714 E715 E718 E719 E720 E723 P71 P712 P713 P718 P726 P738 MP71 MP72 MP73