2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛.doc

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1、2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛2OO6年第2期2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛一,选择题(每题5分,共3O分)ABC中,如果a+b=6c.,那么(cotA+c0tB)tanC的值等于().1,1,(A)(B)专(c)I(D)72.f()是定义在R上的不恒为0的函数.如果对于任意的a,bR都满足/(n6)=af(b)+by(a),那么函数f()().(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数也不是偶函数3.设由正整数有序数对(,Y)组成如下数列:(1,1).(1,2),(2,1),(1,3),(2.2),(3.1),(I,4),(2,3),(3,2),

2、(4,1),按+y的值由/J,N大的顺序排列,当+Y的值相等时,按的值由小到大的顺序排列.那么有序数对(m,n)(m,n均为正整数)在该数列中的位置是().(A)第2m+n一1位(B)第2m+n一2位(c)第旦+m位(D)第旦+m位4.如图l,正方体ABCD一1日lClDl中,E,平面DlFBI所成二面角的平面角的正弦值为().FAEB图l:塑.DEDA一由式,及AB=AC,得AE=CD.又由1=4知,cD是ADE外接圆的切线.故cD=?c4,即A=CE?CA.令AE=,贝0CE=d.于是,:d(d),即+drd=0.解方程并取正根得AE:也d.五,由题给三个方程联立解得(.,6,c):(+y

3、),(+z),1(y+).义因Y=,F是,有.:(+),b=I(+:),(?=(+).由式解得一1厂T一因是整数,得1+8a=T2,其中71是正奇数.于是,2:.又是质数,故有:.:2.所以,T=5,a=3.将=3代入式得=2.=一3.当=2时,Y=.=4,因而:一2=2,;=16.将其代入式,得b=9,c=10,与b,c是质数矛盾,应舍去.其代入式,得6=11.c=17.故f小c3l117=561.(店贤江提供)中等数学(A)(B)(c)(D)l5.将A,B,C,D,E五种不同的文件放人一排编号依次为l,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内,每个抽屉至多放一种文件.假设文件A,必须放人相邻的抽

4、屉内,文件c,D也必须放人相邻的抽屉内,那么文件放人抽屉内的满足条件的所有不同的方法有()种.(A)60(B)120(c)24o(D)4806.设集合:口J口:竺,2+2,:I2,其中,t,口均为整数.那么集合M中所有元素的和等于().(A)l(B)4(c)7(D)8二,填空题(每题5分,共30分)7.定点A(4,7).假设动点P在抛物线Y=4x上,且点P在Y轴上的射影为点M,那么III朋I的最大值是一.8.函数f()是定义在(一,3上的减函数,且对于R,厂(a一sin)厂(+l+COS2).9.在数列a中,aI=2,a+a+1(nN+).假设为数列a的前n项和,那么,220D4+2005的值

5、是.1O.如图2,菱形ABCD的边长为1,ZASC2+孽D是C延长线=上任意一点,AE交CD于点F,那么向量BF与E1)的夹角的大小为度.BCE图2l1.如图3(a),正方体八个顶点分别赋值为a,b,c,d,e,f,g,h,然后,将与每个顶点相邻的正方体的三个顶点所赋值的算术平均值,云,f一,g一,一h放在另一个正方体的相应顶点处,如图3(b).g季I奎l3假设西=9,云=8,=儿,=10,=13,尹=12,g=15,h:14,那么a+g的值为.12.二次函数f(x)满足厂(一1)=0,且.厂()1(+1)对一切实数恒成厶立.那么,函数,()的解析式为.三,解答题(每题20分,共6o分)I1I

6、13.函数厂()=l一.II(1)是否存在实数a,b(口<b),使得函数.厂()的定义域和值域都是a,b?假设存在,请求出a,b的值;假设不存在,请说明理由.(2)假设存在实数a,b(a<b),使得函数厂()的定义域是a,b,值域是,mb(rft0),求实数m的取值范围.2214.椭圆+=1(口>b>0),其U长轴为A.A,P是椭圆上不同于点A.,A的一个动点,直线,.分别与同一条准线直径的圆必经过椭圆外的一个定点+15.假设P是一个由数字l,2,3,4,5,6,7,8,9组成的2n位正整数,并同时满足如下两个条件:(1)数字1,2,n在P中各出现两次;(2)每两个相同

7、的数字(i=1,2,n)之间恰有i个数字.此时,我们称这样的正整数P为好数.例如,当It=3时,P可以是312132.试确定满足条件的正整数n的值,并各写出一个相应的好数P.2O06年第2期参考答案一,1.B.在ABC中,有(cotA+cot占)t肌CRin(A+曰)sinCC1一sinA?sin曰c0sCsinA?sinBc0sCc2ab2c.弼2c26c一c一5.2.A.因_厂(ab)=b)+(a),所以,(一)=,(一1)=(一1),()+一1).又因I厂(一1)=,(一11)=一厂(1)+I厂(一1),得.厂(1)=0.而,(1)=I厂(一1)(一1)=一2f(一1),得厂(一1)=0

8、.所以,(一)=一I厂().又I厂()在R上不恒为O,故,()是奇函数.3.D.按+Y的值分组.当+Y=2时,为第一组;当+Y=3时,为第二组;当+Y=m+n时,为第m+n一1组.故该数列的前m+n一2组共有有序数对l二二(个I).,?而对于有序对(m,n),当=m时,为第m+n一1组中的第m位,故有序数对(m)在该数列的第墨+m位.4.C.如图4,延长方体ABCDAl曰1ClDl中,由,中点,可知CE,D,F,DA三线交于一正方体ABCD?DC图4BC=,曰G=,CG=,同理,BlDl上B.G.C二面角cD的平面角.联结cD.在曰.cDl中,因B.C=BlD.=CD.=2所以,凹.D1=60

9、.角的正弦值为.5.C.将放人A,B两个文件的相邻抽屉记为AB,将放人C,D两个文件的相邻抽屉记为CD,将放人文件的抽屉记为.于是,AB,CD,及两个空抽屉可视为五个元素,那么这五个元素的全排列数为.由于文件A,曰及文件C,D的排列数均为,而两个空抽屉又是两个相同的元京,故满足条件的所有不同的方法有:24o种.6.D.不妨设Y,有2=2+22+2=2.那么tY+t.由2>0,得2=2+2>2.那么tl>Y.所以,Y<tY+1.又,Y,t均为整数,那么t;Y+1.有2=2+2,即2=2.故=Y=t一1.于是,口=2一车.这里a,tC-Z,可得t=1.2.那么a=0,1,3

10、,4.故集合中所有元索的和为0+1+3+4=8.二,7.5.联结PM,并延长交抛物线Y=4x的准线于点.由,抛物线Y=4x的焦点为F(1,0).所以,lPMl=lPlIMNI=lPFI一1那么JJJPMI:J(IJ一1)=(IPAIlPF1)+1IAFl+1=4+1=5.8.一,】.由得a+1+c鸺2a一sin3对R恒成立,即fa3+sin,【口一口1+c0s2+sjn对R恒成立.假设a3+sin对R恒成立,那么有a(3+sin)=2.解得一2a2.假设aa1+c0s2+sin=2+sin一sin=一(一+罟28中等数学对R恒成立,那么有a2-a一sinx-)+号】=百9.解得.L或.下l+C

11、ib.故实数.的取值范围是_,L.9.3.根据题意,当n为偶数时,有.+.=1,n3+n=1,%一S2o04:1002.当n为奇数时,有.2+=1,n3+a4=1,%I+=1,共个,那么S+:字.可得S2哪:1003,=1004.故S2哪一2+S2=100321002+1004=3.如图5,建立平(一2,雩),B(O,0),C(1,0),D(1,).JD一CE图5议E(a,0)(a>1).那么l:Y:一(一1),k:y=一一.).两方程联立,可得直线CD与直线AE的交点F(,).于是,BF=(百a+l,),E1)=(丁1-2a,).BF?ED=一旦一,IEDI:i.设BF与ED的夹角为0

12、,那么c鹏口:一下10:120020.鹏丽1一,即l1.20.根据题意可得a=.6-,=一,D=,c=_.=,e=,d广,/=,g=产.贝4.=(+矗+)一2罾,g:(+/+)一2a.故.g=(5+/+)一2(+罾).又=9,b=8,:1l,矗=10,e=13,=12,:15,h=14.所以,ag=20.12.音(+1).设f():麟+bx+c(a0).由,当:1时,有厂(1)=1,即a+b+c=1.又-厂(一1)=0,即ab+c:0.由式,得.+c:6=.又),即麟+(b一1)+c0对一切实数恒成立,必须fa>0,【(61).一4c-<-<0.将b=1代入,得叩?又c=1一

13、.,有n(_j1一.),即(.一)解得.:.此时,-厂()=l_12_j1+=1(+1).同理,由)(2+1),解得n=I.综上,函数,()的解析式为寺(+1).三,13.(1)不存在实数a,b(a<b)满足条件.事实上,假设存在实数a,b(a<b),使得函数,()的定义域和值域都是(n.b,那么有f11,1;)i,.(i)当n,6(0,1)时,/()=一1住(0,1)上为减函数.所以.rl即L百2006年第2期此推缁o=b与矛盾.故此时不存在实数o,b满足条件.(ii)当0,b1,+o.)时,f()=1一在1,+o.)上为增函数,所以,:于是,0,b是方程一+1=0的实根.而此方

14、程无实根.故此时不存在实数o,b满足条件.(iii)当o(0,1),b1,+.)时,显然,10,b,而,(1)=0,所以,00,b,矛盾.故此时不存在实数o,b满足条件.综上可知,不存在实数o,b(o<6)满足条件.(2)假设存在实数o,b(o<b),使得函数f()的定义域是0,b,值域是啪,神(m0),易得m>0.0>0.仿照(1)的解答可知,当0,b(0,1)或0(0,1),b1,+)时,满足条件的0,b不存在.只有当0,b1,+)B,-I,f()=1一在1,+)上为增函数,有即:于是,n,b是方程一+1=0的两个大于1的实数根.所以,r=14m>0,fm&g

15、t;0,i:5tl->2肌解得0<m<.因此,m的取值范围是0<m<.14.由,可设A.(一0,0),A(0,0),一条准线l的方程为=a-,椭圆上动点P的坐标为(,Y.)且Y0:y=(一.),与=譬联立解得(譬,).:y=(+.),与:2联立解得.(,).设线段MM的中点为Q(.,YI),那么f=,10(ac)Yo.0(0+c)Yo1YJ【J一.c(一)一.故删l一fIIl-1lf2b(.一0)fIncy0I(一譬)+【y一r-【令Y=0,得()=一2_+(.一.)一.(c)一.一一acYb一c所以,:旦三,即:或:.一个定点(旦,0).当l为左准线=一时,也有相应的结论.15.由好数的定义,可知n9.对于好数P中的数字位置按由左到右的顺序考虑,如果数字i(i=1,2,)第一次出现的位置记作0,那么,根据题意,数字i(i=1,2,n)第二次出现的位置应该是o+(+1).于是,nn2o+o+(i+1)=k.记.s=o,那么.s+.s+:,即S:.因为.s是正整数,可得n(3n一1)能被4整除.又为正整数,所以,n=3或4或7或8.当n=3时,题目中已给出;当n=4时,好数P可以是41312432当n=8时,好数P可以是(李果民提供)