吉林大学工程数学计算方法(第三章习题答案)dknk.docx

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1、第三章习习题答案案1. 分别用梯梯形公式式、Siimpsson公公式、CCotees公式式计算积积分计误误差。解：1）用用梯形公公式有：事实上，2）Siimpsson公公式事实上，3）由CCotees公式式有：事实上，2证明明Simmpsoon公式式具有三三次代数数精度。证明：而当时左侧：右侧：左侧不等等于右侧侧。所以SSimppsonn具有三三次代数数精度.3.分别别用复化化梯形公公式和复复化公式式Simmpsoon计算算下列积积分.(1)，（33），解：（11）用复复化梯形形公式有有：，由复化化Simmpsoon公式式有：解：删去去 解（3）：由复化化梯形公公式有：由复化公公式有：（4）解

2、解：由复化梯梯形公式式：由复化SSimppsonn公式：4给定定求积节节点试推推出计算算积分的的插值型型求积公公式，并并写出它它的截断断误差。解： 考虑到对对称性，有有，于是是有求积积公式由于原式式含有33个节点点，故它它至少有有2阶精精度。考考虑到其其对称性性，可以以猜想到到它可能能有3阶阶精度。事事实上，对对原式左左右两端端相等：此外，容容易验证证原式对对不准确确，故所所构造出出的求积积公式有有3阶精精度。5给定定积分。（1） 利用复化化梯形公公式计算算上述积积分值，使使其截断断误差不不超过（2） 取同样的的求积节节点，改改用复化化Simmpsoon公式式计算时时，截断断误差是是多少？（3

3、） 如果要求求截断误误差不超超过，那那么使用用复化Siimpsson公公式计算算时，应应将积分分区间分分成多少少等分？解：(11) =,当误差时时，255.6, 所以以取=226。（2）6用RRombeerg求求积方法法计算下下列积分分，使误误差不超超过。（1）；（2）；（3）;(4)解（1）：计算可以以停止。解（2）：（3）解解:解（4）:7推导导下列三三种矩形形求积公公式：证明：将将在处Taayloor展开开，得 两边在在上积分分，得将在处TTayllor展展开，得得两边在上上积分，得得将在处TTayllor展展开，得得两边在上上积分，得得8如果果证明用用复化梯梯形公式式计算积积分所得得结

4、果比比准确值值大，并并说明其其几何意意义。证明：复复化梯形形公式为为 若在在上连续续，则复复化梯形形公式的的余项为为 由于于且 所以以使 则(1)式式成为： 又因因为所以以 即用用复化梯梯形公式式计算积积分所得得结果比比准确值值大。其几何意意义：曲曲线在定定义域内内是向下下凹的，即曲线在曲线上任两点连线的下方。9对构构造一个个至少具具有三次次代数精精度的求求积公式式。解：因为为具有44个求积积节点的的插值型型求积公公式，至至少有三三次代数数精度。如如果在上上取节点点0，11，2，33，则插插值型求求积公式式为：其中系系数为同理理求得即有有：10判判别下列列求积公公式是否否是插值值型的，并并指明

5、其其代数精精度：解：插值值型求积积公式 其中 则 因此，是插值型的求积公式。因其求积积公式是是插值型型的，且且存在22个节点点，所以以其代数数精度至至少是11。 对于时时， 可见它它对于不不准确成成立，故故该求积积公式的的代数精精度是11。11构构造下列列求积公公式，并并指明这这些求积积公式所所具有的的代数精精度：解（1）：令原式式对于准准确成立立，于是是有 解之得得 ， 于于是有求求积公式式 容易易验证，它它对于不不准确成成立，故故该求积积公式的的代数精精度是11。解（2）：令原式式对于准准确成立立，于是是有解之得 于是有有求积公公式容易验证证当时，而可见，它它对于不不准确成成立，故故该求积

6、积公式的的代数精精度是33。解(3)：令原原式对于于准确成成立，于于是有解得:于是有求求积公式式 容易验证证，当时时，而 可见，它它对于不不准确成成立，故故该求积积公式的的代数精精度是22。12.利利用代数数精度方方法构造造下列两两点Gaausss求积公公式：解（1）：令原式式对于准准确成立立，于是是有 利利用的第第1式，可可将第22式化为为同同样，利利用第22式化简简第3式式，利用用第3式式化简第第4式，分分别得 由式式消去得得进一一步整理理由此此解出解得：因此此所求的的两点GGausss求积积公式：或依下面面的思想想：解（2）：令原式式对于准准确成立立，于是是有 利用的的第1式式，可将将第

7、2式式化为同样样，利用用第2式式化简第第3式，利利用第33式化简简第4式式，分别别得 由式消消去得进一一步整理理由此此解出解得：因此此所求的的两点GGausss求积积公式：或依下面面的思想想：13分分别用三三点和四四点GaausssChhebyysheev求积积公式计计算积分分，并估估计误差差。解：用三三点Gaausss-Chhebyysheev求积积公式来来计算：此此时，由由公式可可得：由余项可可估计误误差为用四点GGausss-CChebbyshhev求求积公式式来计算算：此时时，由余项可可估计误误差为14用用三点求积积公式计计算积分分，并估估计误差差。解：作变变换则得得由由三点GGausss-LLegeendrre公式式：其估计误误差为：,（）。其准准确值其准确误误差等于于：19