博士生课程空间机器人关键技术12855.docx

《博士生课程空间机器人关键技术12855.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《博士生课程空间机器人关键技术12855.docx（46页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、博士生课程空间机器人关键技术1空间机器人概概述2数学力学基础础3冗余自由度机机器人4柔性机械臂5欠驱动机器人人6机器人灵巧手手（一） 空间机器人的概概述1.空间机器人人在空间技术术中的地位从20世纪500年代，以美美国和苏联为为首的空间技技术大国就在在空间技术领领域展开了激激烈的竞赛。i苏联1957年8月月3日，前苏苏联研制的第第一枚洲际弹弹道导弹SSS-6首次发发射成功。不不久，前苏联联火箭总设计计师柯罗廖夫夫从美国新闻闻界得知美国国试图在19957-19958年的国国际地球物理理年里发射一一颗人造地球球卫星。于是是，他立即将将SS-6导导弹稍加修改改，将弹头换换上一个结构构简单的卫星星，抢

2、先将第第一颗人造卫卫星送上了太太空。接着，在第一颗颗人造卫星发发射后一个月月，即11月月3日，又用用SS-6导导弹作航天运运输工具，将将装有小狗“莱伊卡”的第二颗人人造卫星送入入太空的圆形形地球轨道。1959年5月月，前苏联又又将“月球”l号人造卫卫星送入了月月球轨道。ii美国在1958年以以前，以“红石”近程导弹和和“维金”探空火箭为为基础，分别别研制成“丘比特”C和“先锋”号等小型运运载火箭，用用于发射最初初的几个有效效载荷仅为数数千克至十几几千克的小卫卫星。发展到今天，从从地面实验室室研究到人造造卫星、空间间站、载人飞飞船、航天飞飞机、行星表表面探测器，空空间技术大国国都投入了大大量人力

3、、物物力和财力。空空间技术对于于天文学、气气象、通信、医医学、农业以以及微电子等等领域都产生生了很大的效效益。不仅如如此，空间技技术对于未来来国家安全更更具有重要的的意义。在空空间技术发展展的过程中空空间机器人的的作用越来越越明显。20世纪60年年代前苏联的的移动机器人人研究所(著著名的俄罗斯斯Roverr科技有限公公司前身)研研制了世界上上第一台和第第二台月球车车Lunohhod-1和和Lunohhod-2。11976年美美国发射海盗盗一号和二号号(Roveer-1、Roveer-2)的的登陆舱相继继在在火星表表面登陆，通通过遥操作机机械臂进行火火星表面土壤壤取样。随着空间技术研研究的日益深

4、深入，人类空空间活动的日日益频繁，需需要进行大量量的宇航员的的舱外活动(EVA)，这这对宇航员不不仅危险，而而且没有大气气层的防护，宇宇宙射线和太太空的各种飞飞行颗粒都会会对宇航员造造成伤害。建建造国际空间间站，以及未未来的月球和和火星基地，工工程浩大，只只靠宇航员也也是非力所能能及的。还有有空间产业、空空间科学实验验和探测，这这些工作是危危险的，但有有一定重复性性，各航天大大国都在研究究用空间机器器人来代替宇宇航员的大部部分工作。此外许多空间飞飞行器长期工工作在无人值值守的状态，这这些飞行器上上面各种装置置的维护和修修理依靠发射射飞船，把宇宇航员送上太太空的办法既既不经济，也也不现实。在在未

5、来的空间间活动中，许许多工作仅靠靠宇航员的舱舱外作业是无无法完成的，必必须借助空间间机器人来完完成空间作业业。2空间机器人的的任务和分类类1)空间建筑与与装配。一些些大型的安装装部件，比如如无线电天线线，太阳能电电池，各个舱舱段的组装等等舱外活动都都离不开空间间机器人，机机器人将承担担各种搬运，各各构件之间的的连接紧固，有有毒或危险品品的处理等任任务。有人预预计，在不久久将来空间站站建造初期，一半以上的的工作都将由由机器人完成成。2)卫星和其他他航天器的维维护与修理。随着人类在太空活动的不断发展，人类在太空的资产越来越多，其中人造卫星占了绝大多数。如果这些卫星一旦发生故障，丢弃它们再发射新的卫

6、星就很不经济，必须设法修理后使它们重新发挥作用。但是如果派宇航员去修理，又牵涉到舱外活动的问题，而且由于航天器在太空中，是处于强烈宇宙辐射的环境之下，有时人根本无法执行任务，所以只能依靠空间机器人。挑战者号和哥伦比亚号航天飞机的坠毁引起人们对空间飞行安全的关注，采用空间机械臂修复哈勃太空望远镜似乎是一件很自然的事情。安装上新的科学仪器(包括一台视野宽阔的摄象仪和一台摄谱仪)后，哈勃望远镜的观测能力可增强十倍以上。空间机器人所进行的维护和修理工作包括回收失灵卫星，对故障卫星进行就地修理，为空间飞行器补给物资等。3)空间生产和科学实验。宇宙空间为人类提供了地面上无法实现的微重力和高真空环境，利用这

7、一环境可以生产出地面上无法或难以生产出的产品。在太空中还可以进行地面上不能做的科学实验。和空间装配，空间修理不同，空间生产和科学实验主要在舱内环境里进行，操作内容多半是重复性动作，在多数情况下，宇航员可以直接检查和控制。这时候的空间机器人如同工作在地面的工厂里的生产线上一样。因此，可以采用的机器人多是通用型多功能机器人。空间机器人是空空间技术研究究的重要内容容，它是代替替宇航员进行行空间科学研研究和作业的的有力工具。空空间机器人按按照用途可以以分为i空间站机器器人(包括空空间站与航天天飞机舱内机机器人和空间间站与航天飞飞机舱外机械械臂)；ii星载机器器人(包括空空间自由飞行行机器人和空空间自由

8、漂浮浮机器人)；iii外星表表面探测机器器人。从空间机器人的的结构组成来来看，可分为为单臂和多臂臂(主要是双双臂)空间机机器人。(3) 空间机器人的特特点空间环境和地面面环境差别很很大，空间机机器人工作在在微重力、高真空、超低温、强辐射、弱照明的环境中中，因此，空空间机器人与与地面机器人人的要求也必必然不相同，有有它自身的特特点。由于空空间机器人在在空间微重力力的环境下工工作，因此当当机械臂运动动时，会对载载体产生反作作用力和力矩矩，从而改变变载体的位置和和姿态，即空空间机器人的的机械臂和载载体之间存在在着运动学和和动力学耦合合问题。如果果不考虑这种种力学耦合问题，而依依然采用地面面固定基座机

9、机器人的运动动控制技术，空间机器人就无法完成预定的操作任务。所以研究空间机器人，首先要解决的是如何考虑这种因素，建立相互作用的运动学、动力学模型及运动控制算法。另一个关键问题是在地面上模拟微重力条件的地面试验平台，用来验证空间机器人运动特殊性、卫星姿态、捕捉目标路径规划等各种运动控制算法的可行性。由于是高真空，液体无法附着在固体表面，而且极易挥发，无法采用地面上常规的液体润滑和密封技术，而必须考虑固体润滑和磁流体密封。对于舱内空间机机器人，要求求体积比较小小，重量比较较轻，抗干扰扰能力强。其其次，要求空间机器器人的智能程程度高，功能能全。空间机机器人消耗的的能量要尽可可能小，工作作寿命要尽可可

10、能长。由于是工作作在太空这一一特殊的环境境之下，对它它的安全性、可靠靠性和可维修修性要求也比比较高。从控控制的角度看看，由于空间间的遥操作距距离远大于地地面，时延成成为不可忽略略的因素，在在地面上成功功的控制策略略和控制方法法对于空间的的遥操作往往往行不通，必必须考虑空间间机器人的自自主性和智能能性，以及控控制和通信的的智能系统。总之，由于空间间活动的成本本高昂，空间间技术的研究究和发展需要要强大的经济济基础为后盾盾，这导致空空间飞行器的的设计需要采采取特殊的思思路，控制系系统需要采用用先进的策略略和软硬件装装备。由于空空间活动的未未知因素多，必必须具备一定定的自主工作作能力(智能能性和灵活性

11、性)，同时还还必须具有良良好的容错能能力和可靠性性。空间发射射成本高，减减轻发射重量量成为诸多考考虑因素的首首选因素，这这就使空间机机器人大多为为轻质柔性结结构，因此具具有较大的变变形。微重力力和载体不固固定，使得空空间机器人系系统为非完整整系统。因此此空间机器人人的基本特点点是：轻质柔柔性、灵活性性、容错性、非非完整约束、智智能性。此外外为了使空间间机器人具有有容错性，一一般都采用冗冗余自由度的的构形、欠驱动方式和柔性结结构。这些造造成空间机器器人系统的高高度复杂性和和综合性。空空间机器人的的研究涉及多多学科领域，它它集成了力学学、机械学、控控制工程、计计算机科学、测测试技术和通通信技术等多

12、多学科领域的的最新成就。(4) 空间机器人发展展现状加拿大臂(Caanadarrm)的空间间机械臂的正正式名称是SSRMS(tthe Shhuttlee Remoote Maanipullator Systeem)，长15.22m,重4110kg。已制造并交交付使用了55套完整机械械臂系统。每每套臂系统中中有2套手动动控制器，分别控制33个移动和33个转动等66个自由度。该该臂末端速度为6600mm/s(空载);有载荷的的情况下的速速度为60mmm/s。已已飞向太空执执行任务344次。在地面面上是用气浮浮方式模拟太太空微重力环环境，作二维水平平运动来试验验、维护的。加拿大为国际空间站提供一个移

13、动服务系统(MSS)及其有关地面设备。作为回报，加拿大将获得国际空间站3%的使用权。移动服务系统包括空间站遥控机械臂系统(SSRMS)、专用机械手(SPDM)两部分。SSRMS长17.6m，重936kg，负荷时移动速度为6mm/s，空载时移动速度为600mm/s，定位精度10mm/()，能搬动重量为19500kg、尺寸为18.3m4.6m的有效载荷。SSRMS可用于空间站的装配与服务、轨道器的对接与分离、有效载荷操作以及协助出舱活动等，在国际空间站的装配和维护中将发挥关键作用。SPDM是一个双臂机器人，每个臂长2m，有7个自由度，能承担目前由舱外活动航天员完成的许多维修和装配任务。从1981年

14、第第一次太空飞飞行，SRMMS就表现出出高可靠性、高高效性和万能能性，能够对对负载进行准准确、精细和和复杂的操作作。它是由加加拿大MDAA公司为美国国NASA设设计和制造的的。以后NAASA又订制制了4台SRRMS。加拿拿大臂能够无无缝地实现把把卫星放入轨轨道和回收有有故障的卫星星。19900年4月244日加拿大臂臂稳固地将HHubblee空间望远镜镜放入轨道。从1990年4月到2002年3月它在4次太空飞行中协助宇航员完成了18次太空行走，进行了总计129小时的EVA。Canadarrm 的非计计划性任务包包括清除阻塞塞的废水口的的冰块，它们们可能对航天天飞机返回时时收起天线和和激活失效卫卫

15、星重新放入入正确轨道造造成威胁。在 1998 年12月， Cannadarmm 在 国际空间站站的第一次装装配任务中发发挥了关键作作用, 实现了美美国单元与俄俄国空间站ZZarya的的对接。Caanadarrm 将会继继续在空间站站装配中发挥挥重大的作用用。加拿大臂由肩关关节(2个自自由度)、肘肘关节(1个个自由度)和和腕关节(33个自由度)，整个臂分分为上臂和下下臂。总质量量905磅(410kgg)。碳复合材料2数学力学基础础(1). 矩阵理论矩阵的四个基基本子空间线性方程组可以以用矩阵形式式写为(1)式中，A为mn系数矩阵阵，x为n维向量空间Rn的列向量，b为m维向量空间Rm的列向量。如果

16、方程的数目目小于未知数数的数目，即即mn。我们们假设A是行满秩的，即A的秩r等于m。由于方程程数m小于变量数数n，方程组为为欠定方程组组。由线性代代数可知，方方程组的解不不唯一，在所所有的解向量量中，有一个个解向量是最最小范数解。其其他的解可以以认为是由这这个解和线性性方程组对应应的齐次线性性方程组Axx = 0通解之和。齐次线线性方程的这这些解组成了了向量空间RRn中的一个子子空间，称为为矩阵A的零空间，或或者称为A的核。它的维数数是n - m。记作N(A)。如果矩阵阵A的秩r小于m，零空间的的维数则为nn-r。类似地，齐齐次线性方程程组ATx = 0的的全体解组成成了向量空间间Rm的一个子

17、空间，称为为矩阵A的左零空间。它的维数是是m - rr。记作N(AT)。如果矩阵行行满秩，即rr = m，N(AT)为零。A的r个线性无无关列在m维向量空间间中张成一个个r维子空间，记作R(A)，称为矩阵阵A的列空间。A的r个线性无关关行在n维向量空间间中张成一个个r维子空间，它它也可以看成成是矩阵AT的列空间。定理1任何mmn矩阵A，其左零空间N(AT)与列空间R(A)互为向量空空间Rm中的正交子子空间，并且且Rm= R(A)N(AT)，一般称称为它们互为为正交补空间间。定理2任何mmn矩阵A，其零空间间N(A)与行空间R(AT)互为向量空空间Rn中的正交子子空间，并且且Rn = R(AT)

18、N(A)，一般称为为它们互为正正交补空间。综如上述内容可可知，给出一一个mn实矩阵A，与之相联联系的有4个个重要的子空空间：A的列空间：它它由矩阵A的线性无关关的列生成，用用R(A)表示。A的行空间：它它由矩阵A的线性无关关的行生成，用用R(AT)表示。A的零空间：它它由满足齐次次方程组Axx = 0的的全体解组成成，用N(A)表示。A的左零空间：它由满足齐齐次方程组AATx = 0的的全体解组成成，用N(AT)表示。Rn中的两个子子空间R(AT)、N(A)；Rm中的两个子空空间R(A)、N(AT)。它们的的关系为 Rn = R(AT)N(A)， 且R(AT) = N(A)；Rm = R(A)

19、N(AT)， 且R(A) = N(AT)；(2)这里，上标“”表示是正交交补空间。矩阵的广义逆逆。由对线性方程组组Ax = b较完整的的讨论，可知知它可能无解解，或有唯一一的一组解，或或有无穷多组组解。初看起起来，无解的的矛盾方程组组没有任何意意义，但是在在实际工程问问题中，常常常会遇到矛盾盾方程组，或或者叫作超定定方程组。虽虽然不能求得得Ax = b精确解，但但是若能求得得x，使最小，也也是具有实际际意义的，这这就是矛盾方方程组的最小小二乘解。对对于欠定方程程组，在无穷穷多组解中常常常需要求最最小范数解。这这两个问题不不能用一般的的矩阵逆的概概念解决，这这促使人们把把矩阵逆的概概念推广到长长

20、矩阵和非满满秩的方阵，这这就是广义逆逆产生的背景景。1955年Peenrosee建立了下面面的命题：对对任一个矩阵阵，存在唯的矩阵G，同时满足足下面四个方方程：(i)AGA = A；(ii) GAG = G；(iiii) (AG)T = AG；(ivv)(GA) T= GA。(3)它是在Moorre在19222年发表的的论文基础上上提出的。一一般将同时满满足上面矩阵阵方程的矩阵阵G称为矩阵A的Moorre-Pennrose逆逆，或简称为为M-P逆，记记为A+。它来源于于线性方程组组求解，目的的是：线性方方程组Axb对下述问题题的解能用矩矩阵形式给出出。(i)相容方程程的解；(ii)相容方方程的

21、最小范范数解；(iii)矛盾盾方程的最优优近似解；(iv)矛盾方方程范数最小小最优近似解解。这里讨论的矩阵阵均为实矩阵阵。它确定一一个Rn至Rm的线性变换换y = Ax。A是mn矩阵，x是n维向量，y是m维向量。前前面已讲到，与与矩阵A相联系的有有四个重要子子空间。Rn的两个子空空间R(AT)和N(A)；Rm的两个子空空间R(A)和N(AT)。它们的的关系为Rn = R(AT)N(A)，且R(AT)N(A)； Rm = R(A)N(AT)，且R(A)N(AT)。换言之之，R(AT)与N(A)互为Rn中的正交补补空间，R(A)与 N(AT) 互为Rm中的正交补补空间。关于广义逆，需需要用很多时时

22、间讲清楚，这这里不准备详详细介绍。只只考虑最理想想的情况，即即矩阵A是满秩的(行满秩或列列满秩)。当m n，矩阵A是只可能列满秩秩。有必要研研究满秩矩阵阵的单边逆：左逆和右逆逆。它们是广广义逆的特例例。定义1设ARmn，若存在GRnm，使得AG = I（或GA = I），则称G为A的右逆（或或左逆），记记为（或）。可以证明，如果果矩阵ARmn行满秩，则则必存在下列列形式的右逆逆， (4)如果矩阵ARRmn列满秩，则则必存在下列列形式的左逆逆， (5)下面的两个定理理给出了左逆逆和右逆的存存在条件。定理3 设AARmn，则下列的的提法是等价价的：1) A是左可逆的；2) A的零空间N(A) =

23、0，A的行空间R(AT) = RRn；3) m n，Raank(A) = n ，即是列列满秩的。定理4 设AARmn，则下列的的提法是等价价的：1) A是右可逆的；2) A的左零空间NN(AT) = 0，A的列空间R(A) = Rm；3) m n，Raank(A) = m ，即是行行满秩的。矩阵的奇异值值分解矩阵的奇异值分分解是矩阵理理论的基本知知识，它对于于广义逆的计计算和冗余自自由度机器人人逆运动学的的求解都具有有重要的应用用价值。在线线性代数中曾曾把n阶对称矩阵阵A分解成如下下的乘积形式式 A = PDPT (6)其中D为对角矩矩阵，其对角角线元素为AA的实特征值值，P为正交矩阵阵，其第

24、j列为与D的第j个对角线元元素相应的特特征向量(jj = 1,2,n)。我们已已经看到，这这种分解式是是研究对称矩矩阵的有力工工具，由它可可以推出一系系列有用的结结论。只有对称矩阵才才有这种分解解式。对于非非对称矩阵,以至一般的的长方形矩阵阵是否可以建建立类似的分分解式?下面面的定理回答答了这个问题题。定理5 设AA为任意mn阶矩阵，其其秩数为r，则有m阶正交矩阵阵P和n阶正交矩阵阵Q，使得A = PDQTT 或 PTAQ=D(7)其中D为如下形式式的mn阶矩阵图1刚体的质量参数XYPiOZdmGi它的左上角的子子块Dr是r阶对角矩阵l1l2lr0其余几个子块是是各自具有适适当阶数的零矩阵，我

25、们一律记记为Q。l1，l2，lr称为矩阵A奇异值。关于矩阵的其他他概念，如向向量和矩阵的的范数，向量量空间的基底底与坐标，线线性相关与线线性无关等不不介绍了。(2). 力学基础 刚体的质量量参数刚体的质量参数数除了刚体的的质量m，还包括与与刚体质量分分布有关的量量，即刚体质质心G在刚体体上的位置和和刚体的惯性性张量(惯性性并矢)。在在这里我们由刚刚体的动能引引出刚体惯性性张量的概念念。如图1所示，刚刚体坐标系(即连杆坐标标系)的原点点为Oi，它在参考考系中的位置置可由其向径径确定，刚体体上任一元质质量dm在刚体上的的位置由给定定。而它在参参考系中的位位置由确定。刚刚体的质心为为Gi，质心在刚刚

26、体上的位置置向径是，在在参考系中的的向径是。质质心应满足(8)因此，(9)刚体上元质量ddm的动能dT = 。由于于，故，其中是刚体体的角速度向向量。整个刚刚体的动能应应将元质量的的动能dT对整个刚体体质量进行积积分，即，利用矢量数学可可得其中积分项是仅仅与刚体质量量分布有关的的量，给出如如下定义定义2 刚体对对点Oi的惯性张量量(10)这样刚体的动能能为(111)若刚体作定点转转动，因为= 0，刚体体动能为(11-1)若取质心G为连连杆坐标系原原点，因为= 0，刚刚体动能为(11-2)这是一般理论力力学教科书中中的刚体动能能公式。在连杆坐标系中中，的分量是是个33矩阵阵，称为刚体体在该连杆坐

27、坐标系中对OOi点的惯性矩矩阵，记为(12)式中，将它代代入(17)式，可得的的各元素为(13)刚体动能的矩阵阵形式为(14)刚体对参考系系原点O的角角动量和角动量定理理质点对参考系原原点O的角动动量为，同样样，刚体上元元质量dm对O点的角角动量为，将将元质量的角角动量遍及整整个刚体积分分，可得刚体体的角动量为为上式中第3项积积分,用惯性张量量概念，可化简简为(155)若P点不动，即即= 0，则则(15-1)若取质心G为连连杆坐标系原原点，即= 0和，则(15-2)下面我们引出一一个刚体动力力学的重要定定理角动量定定理，它在刚刚体力学中的的地位相当于于质点力学中中的动量定理理。角动量定定理可以

28、叙述述为：对惯性性参考系原点点O的绝对角角动量的绝对对时间导数等等于所有外力力对同一点的的合力矩，即即(16)由此式和角动量量的定义可得得(这里略去去整个推导过过程)(17)这就是向量形式式的 Euller方程，是作用在刚体i上的所有外力对Oi点的主矩。Euler方程和Newton定律构成了刚体系Newton-Euler力学的基础，是机器人动力学的主要力学工具之一。在刚体连杆坐标系Oixiyizi中，(17)式的分量矩阵形式为(18)式中，。现在考虑几种特特殊情况：如果连杆坐标标系的原点OOi取刚体的质质心Gi，即= 0，则则(18-1)连杆坐标系原原点加速度为为零，或者指指向质心，则则(18

29、-2)若略去式(188-1)和式式(18-22)中的下角角标，可以写写成统一的公公式，在刚体体连杆坐标系系Oixiyizi中，此式的的矩阵分量形形式为。如果果坐标系Oiixiyizi的3个坐标标轴为主轴，上上式可以进一一步简化为(19)在大多数力学专专著中，Euuler方程程都采用式(1.10.28)的形形式，读者在在使用时需注注意其特殊的的使用条件。广义坐标和自自由度、位形空间q空间描述一个力学系系统或机电系系统的位形要要用到一组坐坐标，这组坐坐标称为广义义坐标，用qq1，q2，qn表示，简称称为q坐标。一个个系统的重要要特性是它的的自由度，对于于非自由系统统，系统的状状态会受到某某些强加的

30、限限制，这些限限制称为约束束，约束的数数学表达式就就是约束方程程。系统的自由由度等于系统统的广义坐标标数减去这些些坐标间的独独立约束数。各种坐标都可以以用作广义坐坐标，完全描描述一个系统统的位形。对对于同一个系系统，描述其其位形不一定定要有相同数数目的广义坐坐标，也不一一定要求有相相同数目的约约束。只要广广义坐标数减减去约束数一一样，即等于于系统的自由由度。例如，对对于定点转动动的刚体，如如果广义坐标标采用Euller角，只只要3个坐标，没没有约束。如如果采用Euuler参数数，有4个坐坐标，这4个个坐标之间存存在一个约束束，即4个EEuler参参数的平方和和等于1。无无论采用Euuler角，

31、还还是Euleer参数，坐坐标数减去约约束数都等于于3。一般广广义坐标都具具有显而易见见的几何意义义，当所选的的广义坐标相相互独立而不不违背约束时时，广义坐标标数就是系统统自由度数，这这就是为什么么有时人们把独独立的坐标定定义为广义坐坐标的原因。实际上，“广义坐标”本身与“独立坐标”并没有必然联系。很自然地，我们们可以把系统统的位形看成成是这个坐标标构成的n维空间中的的一个点。这这n维空间称为为位形空间，简简称q空间。这个个点是系统的的位形点。当当系统随时间间改变其位形形时，系统位位形点在q空间中描出出一条曲线。如如果所有的qq坐标是独立立的，这条曲曲线是连续的的和不受任何何约束的。但但是如果

32、存在在对q的约束，这这些约束是qq空间中的一一个超曲面，位位形点将在这这个超曲面上上运动。约束的分类对于一个系统，可可以用这n个广义坐标标来描述其位位形，任一时时刻系统位形形及其速度是是该系统在该该时刻的状态态。假设对有有m个约束，约约束方程可以以一般地表示示为，(20)当约束方程中不不显含时间tt时，称为定常常约束，否则则称为非定常常约束。若约约束方程中仅仅含运动变量量，即，(21)或，(22)这样的约束称为为几何约束。几几何约束的约约束方程可以以写成微分形形式，只要将将上式求微分分，可以得到到微分形式的的几何约束方方程，(23)或，(24)系统的速度也会会受到约束，其其约束方程如如式(23

33、)或(24)，在此此式中仅含运运动变量、速速度和时间，而而不含加速度度，这样的约约束称为一阶阶约束。根据据约束方程是是速度的线性性关系式或非非线性关系式式，可以把它它们分为一阶阶线性约束或或一阶非线性性约束。在机机器人或大多多数机械系统统中，普遍存存在一阶线性性约束，只有欠驱动动机器人存在在二阶线性约约束。一阶线线性约束可以以表示为，(25)式中，Aij和和Ai0是坐标qj及时间t的函数，这这种约束称为为普法夫(PPfaff)约束。如果果方程左边不不可积分，即即不是全微分分时，这类约约束称为非完完整约束(一一阶非完整约约束)。如果果方程左边可可积分，即是是全微分时，这这类约束为完完整约束。几几

34、何约束都是是完整约束，能能够表示成普普法夫(Pffaff)形形式。因此普普法夫(Pffaff)约约束方程是完完整约束和非非完整约束的的统一形式。具有非完整约束束的系统是非非完整系统，全全部约束为完完整约束的系系统是完整系系统。大多数数地面机器人人系统是完整整系统，非完完整的机器人人系统的例子子是机器人多多指灵巧手、轮轮式移动机器器人等。而用用于太空的空空间机器人多多数是非完整整系统。图2无质量刚性杆连接的两个质点作为完整系统的的一个例子，考考虑图1.111.1所示示的在x-y平面上运动动的两个质点点，这两个质质点被一个长长度为l的无质量的的刚性杆连接接。对应的约约束方程为，这个约束方方程只含有

35、坐坐标，因此是是完整约束。在在这种情况下下，有4个坐坐标和1个约约束方程，因因此自由度为为3。为了得得到独立的广广义坐标，可可以利用这个个约束方程从从运动方程中中消去一个坐坐标。这个消消去过程常常常会遇到代数数运算的困难难，因此很少少采用。我们们可以另外寻寻找独立的广广义坐标。例例如可以取杆杆中点的直角角坐标x，y和杆与x轴的夹角这3个坐标标，它们是独独立的。我们们已经假设杆杆长l是不变的，约约束方程不显显含时间，这这样的约束是是定常约束。若若长度l是时间的函函数，这样的的约束为非定定常约束。在在一般意义下下，非定常约约束是时变约约束。现在我们考虑一一个非完整约约束和系统，一一个系统有mm个约

36、束，它它们形如，(26)但是是不可积分分的，式中，Aij和Ai0是坐标qj及时间t的函数。这种约束是非完整约束。由于它们不可积，由(26)不能得到形如(21)或(22)的约束方程，这样也就无法消去不独立的变量，也就无法找到一组独立的广义坐标。因此，非完整系统总是要求比自由度更多的广义坐标数来描述其位形。图3无质量刚性杆连接的两个刀口支撑的质点作为非完整系统统的例子，我我们再次考虑虑图2所示的用无无质量的刚性性杆连接的两两个质点，不不同的地方在在于在两个质质点上各附加加一个刀口支支撑(图3)，这种支支撑只允许质质点沿垂至于于杆的方向运运动，因此杆杆中心的速度度必须垂直于于杆的方向，这这导致下列约

37、约束方程或者(27)这个式子左边不不是恰当微分分(全微分)，即没有一一个函数f(x, y, )存在，能能使(27)式左边边成为 进一步说，方程程(27)也不能能被任何整数数因子相乘，得得到恰当微分分，因此是不不可积的。由由数学分析理理论可知微分分方程可积的充要条件件是(228)式中ax，ayy，a是x，y和的函数。应应用这个准则则检查方程(27)，我们们可知它是不不可积的。用用无质量杆连连接的两个质质点组成的系系统可以说明明完整系统和和非完整系统统的重要区别别。对于在平平面上运动的的两个质点组组成的系统(图2)，自由度度是4，对应应于4个独立立坐标的位形形空间是4维维的。加上一一个刚性杆约约束

38、，使系统统的自由度减减少为3，系系统只有3个个独立坐标，对对应的位形空空间是3维的的。在位形空空间中的任何何位形点都是是可达的。现在考虑非完整整约束的影响响，在各质点点上附加的刀刀口约束，使使质点只能沿沿垂直于刚性性杆的方向运运动。系统的的自由度减少少为2，但是是所需要的最最少的广义坐坐标数仍然为为3。从位形形空间的角度度来看，3维维的位形空间间中的任一位位形点都可以以由任何其他他位形点到达达。非完整约约束的作用在在于限制了在在位形空间任任一点允许运运动的方向，但但是这并不能能减少位形空空间的的维数数。 虚功和虚功功原理在分析力学中虚虚功是一个重重要的概念，它它与用能量方方法推导系统统的运动方

39、程程直接相关，并并且是研究系系统稳定性的的一个重要概概念。因为虚虚功的概念与与虚位移的概概念密切相关关，所以我们们首先研究虚虚位移的本质质。为了引出虚位移移的概念，我我们考虑一个个由N个质点组成成的系统，其其位形由系统统在惯性系中中的3N个直角坐标标x1，x2，x3N给定，这些些坐标可能受受有一些约束束。在任一给给定时刻，设设诸坐标产生生无限小的位位移x1，x2，x3N，它们是一一些虚拟和假假想的位移，因为我们假定这些位移不是发生在一个时间过程中，并且不一定要与这些约束相一致系统位形的这一微小改变x叫做虚位移。通常情况下，一一个虚位移服服从瞬时约束束，即假定所所有的动约束束(时变约束束)在虚位

40、移移过程中部停停滞下来。例例设这个系统统受到m个完整约束束，(j = 11, 2, , m)(29)取fj的全微分，可可得，(j = 1, 2, , m)(30)一个服从这些约约束的虚位移移的各个x由下面k个方程关联联，即，(j = 11, 2, , k)(31)这里我们用xx代替了在方方程(30)中的dx，并且略略去dt项，因为为在虚位移期期间时间约束束保持“固定”。类似的，假设系系统受到m个非完整约约束，约束方方程为，(j = 11, 2, , m)(32)各x由下列mm个方程相关关联，即，(j = 11, 2, , m)(33)这就出现一个问问题，虚位移移能否是实位位移，实位移移是由一组

41、ddx描述的，并并且是在时间间增量dt内发生的的。换句话说说，在什么条条件下，各x可以用相应应的dx替代？比比较方程式(30)和(31)表明任任何完整约束束同时必须是是时不变的，即即条件，(j = 11, 2, , k)(34)必须适用。同样样地，任何非非完整约束必必须满足条件件，(j = 11, 2, , m)(35)至此，对虚位移移的讨论所采采用的是直角角坐标。现在在来考察一个个系统，其位位形是由最少少数目的广义义坐标给定的的。这样，任任何约束都可可以是非完整整的，并且可可以表示为，(j = 11, 2, , m)(1.111.17)或者以另一种形形式表示为，(j = 11, 2, , m

42、)(1.111.18)其中各个a都是是q和t的函数。任何与约束相容容的虚位移必必须符合条件件，(j = 11, 2, , m)(1.111.19)现在我们在讨论论虚功的概念念。让我们再再回到由N个质点组成成的系统，其其位形由系统统在直角坐标标系中的3NN个直角坐标标x1，x2，x3N给定。假定定力的分量FF1，F2，F3N作用在对应应坐标的正向向。这些力在在虚位移x上的虚功W为 (1.111.20)虚功表达式的另另一种形式为为 (1.111.21)其中Fi是作月月于第i个质点上的的力，ri是该质点的的位置向量，由由向量表达式式可以看出，虚虚功与所采用用任何特定的的坐标系无关关，当然，这这是假定

43、运动动是相对于惯惯性参考系来来度量的。在虚功的表达式式中，重要的的是要认识到到在虚位移过过程中假定各各力都保持不不变，即使是是实际的力由由于无限小位位移而发生急急剧变化时亦亦如此。力随随位置而发生生突变是可能能的，比如在在某些非线性性系统中就是是这样。值得得注意的另一一点是，虚功功表达式被定定义为对虚位位移是线性的的，换言之，虚虚功类似于一一次变分。现在来考察有约约束系统，我我们把作用于于第i个质点的合合力分为主动动力Fi和约束力Ri，约束力的的虚功为(1.111.22)经常存在的多数数约束隶属于于所谓无功约约束。可以这这样来定义无无功约束：无无功约束是这这样的双面约约束，对于与与约束相一致致

44、的任意虚位移，相应应约束力的虚虚功为零。可可以看出，对对于只受有无无功约束的系系统，虚功Wc等于零，即即(1.111.23)式中的虚位移ri与瞬时约束相一致致。无功约束的例子子有(1)质质点间相互的的刚性连接，(2)在无摩摩擦表面上的的滑动，和(3)无滑动动的滚动接触触，即纯滚动动。下面详细细地来考察第第一个例子。首首先假定两质质点由无质量量的刚杆相连连，如图1.11.1所所示，按照牛牛顿第三定律律刚杆作用用于质点ml和m2上的力是大大小相等、方方向相反而且且共线的。因因而R2 = R22er = -R1(1.111.24)式中，er是沿沿着刚性杆方方向的单位向向量。进一步步讲，由于杆杆是刚性

45、的，二二质点的位移移在杆的方向向的分量必定定相等，或err1 = err2(1.111.25)因此约束力的虚虚功为零。对对于在无摩擦擦表面上的滑滑动的物体，和和无滑动的滚滚动接触的园园盘，也可得得到相同的结结论。除非作出相反的的说明，在以以后凡是讨论论约束时我们们对约束力一一词应解释为为无功约束力力。在诸如有有摩擦的滑动动约束情况，切切向摩擦力归归并到主动力力Fi一类，而法法向分量则按按通常的方式式作为无功约约束力来处理理。单面约束不归入入无功约束一一类，因为可可以找到这样样一组许可的的虚位移，单单面约束力在在这组虚位移移中的虚功不不是零。在讨讨论虚功原理理时，将进一一步对此加以以分析。虚功原理 虚功功概念的重要要应用之一是是在力学系统统的静平衡研研究方面，假假设所考察的的是具有N个质点的平平稳系统，如如果该系统处处于静平衡，则则对于每个质质点，有Fi + Rii = 0(1.111.26)因此，所有的力力在与约束相相一致的任意意虚位移中所所作的功是零零，即(11.11.227)如果我们假定所所有的约束力力是无功的，而而且ri是与约束相相一致的可逆逆虚位移，于于是(1.111.28)由式(1.111.27)和和(1.111.28)可得到如下的的结果：(1.111.29)这就证明了下述述结论：如果果受有无功约约束的质点系系处于静平衡衡，则对于