222函数的单调性与奇偶性.doc

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1、高中数学专题教学研习讲稿高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客： 邮箱：anson_top专题：函数的单调性与奇偶性& 基本知识点（Level A）【1】函数的单调性的定义及初步判定方法性质定义图象判定方法：单独列出函数的单调性如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时，恒有，那么就说在这个区间上是增函数yOx如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、

2、，当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数yOx函数的单调性的初步判定方法S注意：先求函数的定义域，单调区间是定义域的子集定义法：利用定义判断单调性；Step 1: （取值）设；Step 2: （作差）；Step 3: （化简）将的结果分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；Step 4: （定号）判断所化简的解析式的正负号；Step 5: （下结论）根据定号的结果得出正确结论【2】函数的最值（最大（小）值定义）函数的最大值定义：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我们称是函数的最大值，记作同理，函数的最小值定义：一

3、般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我们称是函数的最小值，记作【3】函数的奇偶性定义及初步判定性质定义图象判定方法：单独列出函数的奇偶性如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数叫做奇函数yOx如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数叫做偶函数yxOS注意：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，故先求函数的定义域定义法：用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性Step 1: 求出定义域并判断定义域是否关于原点对称；Step 2: 若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形；Step 3: 求；Step 4: 比较或的关系& 拓展知

4、识点（Level B）【1】函数的单调性的判定方法（1）定义法设，那么：在上是增函数；在上是减函数（2）等价定义法设那么：上是增函数；上是减函数（3）利用已知函数的单调性（略）（4）图像法利用函数图象（在某个区间内图象升为增降则为减）；（5）导数法（导数单元专门研究）用求函数导数的方法验证函数的单调性，一般用于多项式函数，具体步骤为：若在某个区间内有导数，则 在内为增函数； 在内为减函数在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在（6）复合函数法利用复合函数（根据同增异减判断）S 说明：具体在“复合函数”小节有所研究复合函数在公共定义域上的单调性：若与的单调

5、性相同，则为增函数； 若与的单调性相反，则为减函数例如：对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减（7）一些有用的结论：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；一个重要的函数：对勾函数在或上单调递增；在或上是单调递减_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（导数法）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是 答案：（2）（图像法）若函数 在区间上是减函数，那么实数的取值范围是 答案：（3）（分离常数或导数法）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围 答案：（4）（不等式法）若函数的值域为，则实数的取值范

6、围是 答案：且（5）（复合函数法）函数的单调递增区间是 答案：【2】求函数的单调区间的注意点求单调区间时，一是勿忘定义域；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示_ 经典案例 有疑问随时mail例：函数在区间上为减函数，求的取值范围 答案：【3】函数的奇偶性的判定方法定义域的特征：定义域必须关于原点对称（1）定义法：对于定义域内任意的，都有，则是偶函数；对于定义域内任意的，都有，则是奇函数S 说明：这是最最基础的方法，是实践的首选（2）等价定义法：是奇函数；是偶函数S 说明：一般用于对数函数（3）利用已知函数判断函数的奇偶性：在公共

7、定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 S 拓展：推广：多项式函数的奇偶性：，多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零 多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零（4）图象法：作出函数的图像判断函数的奇偶性，是最直观的方法奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称S 说明：一般用于分段函数_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（定义域）若函数，为奇函数，其中，则的值是 答案：（2）（定义法）判断函数的奇偶性 答案：奇函数（3）（等价定义）判断的奇偶性

8、答案：偶函数【4】函数的奇偶性的性质20080515S 注意：判断函数的奇偶性，要注意定义域是否关于原点对称 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 奇函数在处有定义，则.故是为奇函数的既不充分也不必要条件； 对于偶函数的定义常可用到下面的形式： 奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于轴对称，那么这个函数是偶函数 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关

9、于原点对称的任意一个数集）. 任何一个定义域关于原点对称的函数，总可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，其中， 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数._ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）（偶函数变形）若定义在上的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为 答案：（2）（奇函数）若为奇函数，则实数 答案：（3）（奇偶构造）若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则 答案：【5】单调性与奇偶性的逆用比较大小；解不等式（这类不等式就称为抽象不等式）；求参数范围_ 经典案例 有疑问随时mail例：已知奇函数是定义在上的减函数,若，求实数的取值范围答案：【6】常见的奇函数与偶函数（1）奇函数：如：；（2）偶函数：如：；（3）非奇非偶函数：如：；（4）既是奇函数又是偶函数：仅有一类：在定义域关于原点的对称区间上恒有& 深化知识点（Level C）交流、素材提供 博客： 邮箱：anson_top& 高阶阅读交流、素材提供 博客： 邮箱：anson_top第 5 页 共 6 页