在自然科学和工程设计中的许多问题holx.docx

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1、高等教育出版社 教育电子音像出版社 作者：任玉杰 第五章 矩阵的特征值与特征向量的MATLAB程序第五章 矩阵的特征值与特征向量的计算 在自然然科学和和工程设设计中的的许多问问题，如如电磁振振荡、桥桥梁振动动、机械械振动等等，常归归结为求求矩阵的的特征值值和特征征向量.求矩阵阵的特征征值和特特征向量量的问题题是代数数计算中中的重要要课题.本章着着重介绍绍直接计计算矩阵阵的特征征值和特特征向量量的MAATLAAB程序序、间接接计算矩矩阵的特特征值和和特征向向量的幂幂法、反反幂法、雅雅可比方方法、豪豪斯霍尔尔德方法法和QRR方法及及其它们们的MAATLAAB计算算程序.最后我我们还讨讨论广义义特征

2、值值问题.5.1 直接接计算特特征值和和特征向向量的MMATLLAB程程序5.1.4 计算特特征值和和特征向向量的MMATLLAB程程序从以上的的讨论可可以看到到，有许许多问题题归结为为求矩阵阵的特征征值和特特征向量量，而用用手工计计算高阶阶矩阵的的特征值值与特征征向量的的难度较较大，但但是，计计算机软软件MAATLAAB提供供了直接接计算特特征值与与特征向向量的MMATLLAB函函数 （见见表51），下下面介绍绍这些函函数的使使用方法法.表511命 令功能b = eigg(A)输入方阵阵A，运行行后输出出b为由方方阵A的全部特特征值构构成的列列向量V,DD = eiig (A)输入对称称矩阵

3、AA，运行行后输出出D为由A的全部特特征值构构成的对对角矩阵阵，V的各列列为对应应于特征征值的特特征向量量构成的的矩阵，使使得AV= DVVV,DD = eiig (A,nnobaalannce)输入方阵阵A，运行行后输出出D为由A的全部特特征值构构成的对对角矩阵阵，V的各列列为对应应于特征征值的特特征向量量构成的的矩阵，使使得AV = DV；如如果A是对称矩矩阵，则则输出的的结果与与程序V,DD = eiig (A)的运行行结果相相同5.2 幂法法及其MMATLLAB程程序幂法是求求实矩阵阵的主特特征值（即即实矩阵阵按模最最大的特特征值）及及其对应应的特征征向量的的一种迭迭代方法法.5.2.

4、2 幂法的的MATTLABB程序设阶实矩矩阵的个特征征值为，且且满足，的主特特征值对对应的特特征向量量为，则则我们可可以用下下面的MMATLLAB程程序计算算和的近似似值和近近似向量量. 用幂法计计算矩阵阵的主特特征值和和对应的的特征向向量的MMATLLAB主主程序输入的量量：阶实实矩阵、维初始始实向量量V0、计算算要求的的精度jjd、迭迭代的最最大次数数maxx1；输出的量量：迭代代的次数数k、的主特特征值的的近似值值lammbdaa、对应的的特征向向量的近近似向量量Vk、相邻邻两次迭迭代的误误差Wc.如果迭迭代次数数已经达达到最大大的迭代代次数mmax11，则给给出提示示的相关关信息.根据

5、迭代代公式（55.200），现现提供用用幂法计计算矩阵阵的主特特征值和和对应的的特征向向量的MMATLLAB主主程序如如下：funcctioon k,llambbda,Vk,Wc=miifa(A,VV0,jjd,mmax11)lambbda=0;kk=1;Wc =1; ,jjd=jd*00.1;staate=1; V=VV0;whille(kjjd)statte=11;endk=k+1;WWc=WWc;endif(WWc AA=11 -11;2 4;V0=1,1;kk,laambdda,VVk,WWc=miffa(AA,V00,0.000001,1000), V,DD = eiig (A),

6、Dzzd=mmax(diaag(DD), wuuD= abss(Dzzd- lammbdaa), wuVV=V(:,22)./Vk,运行后屏屏幕显示示结果请注意：迭代次次数k,主特征征值的近近似值llambbda,主特征征向量的的近似向向量Vkk,相邻邻两次迭迭代的误误差Wcc如下：k = lammbdaa = Wc = 33 33.0000000173383668044 8.69118622856612449999e-0007Vk =V =wuVV =-0.4499999944205544332 -0.707710667811186655 0.447721335955499996-0.889

7、44428222755629941.0000000000000000000 0.707710667811186655 -00.8994422719909999922-0.894442771900999992Dzd =wuuD = 3 1.73883688038840664355e-0006 由输出结结果可看看出，迭迭代333次，相相邻两次次迭代的的误差WWc8.669199e-0007，矩矩阵的主主特征值值的近似似值laambdda3.000000和对对应的特特征向量量的近似似向量VVk（-0.5000 000，1.000000, laambdda与例例5.11.1中中的最大大特征值值近似相相

8、等，绝绝对误差差约为11.733837e-0006，Vk与特征征向量的的第1个个分量的的绝对误误差约等等于0，第第2个分分量的绝绝对值相相同.由由wuVV可以看看出，的的特征向向量V(:,2)与与Vk的对对应分量量的比值值近似相相等.因因此，用用程序mmifaa.m计计算的结结果达到到预先给给定的精精度.(2)输输入MAATLAAB程序序B=1 2 33;2 1 33;3 3 66; V0=1,1,11; k,llambbda,Vk,Wc=miifa(B,VV0,00.0000011,1000), VV,D = eigg (BB), Dzd=maxx(diiag(D), wuuD= abss(

9、Dzzd- lammbdaa), wuVV=V(:,33)./Vk,运行后屏屏幕显示示结果请注意：迭代次次数k,主特征征值的近近似值llambbda,主特征征向量的的近似向向量Vkk,相邻邻两次迭迭代的误误差Wcc如下：k = lammbdaa = Wc = DDzd = wwuD = 33 9 0 9 0Vk = wuuV = 00.5000000000000000000 0.8816449655809927773 00.5000000000000000000 0.8816449655809927773 11.0000000000000000000 0.8816449655809927773

10、V = 00.7007100678811886555 0.5577335022691189663 0.408824882900463386 -00.7007100678811886555 0.5577335022691189663 0.408824882900463386 0 -0.577735002699189963 00.8116499658809227733由输出结结果可看看出，迭迭代3次次，相邻邻两次迭迭代的误误差Wc=0，实实对称矩矩阵B的主特特征值的的近似值值lammbdaa=9和对对应的特特征向量量的近似似向量VVk =（0.5000 000，00.5000 000，11.000

11、0000,lammbdaa与例55.1.1中的的最大特特征值相相同，VVk与特征征向量的的对应分分量成比比例.从从wuVV的每个个分量的的值也可可以看出出，的特特征向量量V(:,3)与Vk的对对应分量量的比值值相等.因此，用用程序mmifaa.m计算算的结果果达到预预先给定定的精度度.此例说明明，幂法法对实对对称矩阵阵的迭代代速度快快且计算算结果精精度高，(3)输输入MAATLAAB程序序 CC=11 2 2;11 -11 1;4 -12 1;V0=1,1,11; k,llambbda,Vk,Wc=miifa(C,VV0,00.0000011,1000), VV,D = eigg (CC),

12、Dzd=maxx(diiag(D), wuuD= abss(Dzzd- lammbdaa), Vzdd=V(:,11),wuVV=V(:,11)./Vk,运行后屏屏幕显示示请注意：迭代次次数k已已经达到到最大迭迭代次数数maxx1,主主特征值值的迭代代值laambdda,主主特征向向量的迭迭代向量量Vk,相邻两两次迭代代的误差差Wc如如下：k =llambbda =Wcc = 1000 0.090090990900909910 2.3377558122419931119Dzd = wwuD = 11.0000000000000000011 0.9909009099090090991Vk= Vz

13、dd =wwuV =0.9999999999999999933 00.9004533403337333299 0.9044534403337333350.9999999999999999955 00.3001511134445777766 0.3011511134445777781.0000000000000000000 -0.3301551133445577776 -0.301151113444577776由输出结结果可见见，迭代代次数kk已经达达到最大大迭代次次数maax1=1000，并且且lammbdaa的相邻邻两次迭迭代的误误差Wcc2.33775582,由wuuV可以以看出，lamb

14、da的特征向量Vk与真值Dzd的特征向量Vzd对应分量的比值相差较大，所以迭代序列发散.实际上，实数矩阵C的特征值的近似值为，并且对应的特征向量的近似向量分别为=（0.90453403373329，0.30151134457776，-0.30151134457776），（-0.725547662500110001,-0.217764228755033300-0.0072554766250011000i, 0.5580338100000088001-0.2290119055000044000i），( -00.7225477625501110011, -00.2117644287750333000

15、 + 0.0072554766250011000i,0.5880388100000888011 + 0.2290119055000044000i),是常数数）.此例说明明，当阶实矩矩阵有复复数特征征值时，不宜用幂法计算它的主特征值对应的特征向量.（4）输输入MAATLAAB程序序 DD=-4 114 00;-55 133 0;-1 0 22; V0=1,1,11; k,llambbda,Vk,Wc=miifa(D,VV0,00.0000011,1000), VV,Dtt = eiig (D), Dtzdd=maax(ddiagg(Dt), wuuDt= aabs(Dtzd- laambdda)

16、, Vzzd=VV(:,2),wuVV=V(:,22)./Vk,运行后屏屏幕显示示结果请注意：迭代次次数k,主特征征值的近近似值llambbda,主特征征向量的的近似向向量Vkk,相邻邻两次迭迭代的误误差Wcc如下：k = lammbdaa =WWc = 199 66.0000000653394995288 6.53995233793359116844e-0006Dtzdd = wuDDt = 66.0000000000000000000 6.53994955284484007688e-0006Vk = Vzzd = wuuV =0.7997400048805335644 0.77974400

17、448055356640.797740004800535564 00.7114288594478338866 0.5569557177718811117 0.797740002199806618 -00.2449999918824771800 -00.1999355012201333911 0.7797440300881133770由输出结结果可见见，迭代代19次，相相邻两次次迭代的的误差WWc6.539952ee-0006，矩矩阵D的主特特征值的的近似值值lammbdaa6.0000001和对对应的特特征向量量的近似似向量为为Vk（0.7797440，0.7714229，-00.2550 0

18、00.用eiig(AA)计算算，laambdda与对对应的特特征值的的真值DDtzdd的绝对对误差wwuDtt，二者者的特征征向量VV(:,2)与与Vk的对对应分量量的比值值近似相相等（请请对比wwuV的的每个分分量的值值）.因因此，用用程序mmifaa.m计算算的结果果达到预预先给定定的精度度. 由例55.2.2的计计算结果果可见，用幂法计算实对称矩阵的主特征值对应的特征向量时，得到的迭代序列的收敛速度最快且计算结果精度也最高；非实对称矩阵对应的迭代序列的敛散性不定，有时发散（例如矩阵C）,有时收敛（例如矩阵A和D），且收敛速度较慢，比较（1）和（4）的计算结果可知，用幂法得到的迭代序列的收

19、敛速度与矩阵的阶数无关；当实矩阵有复数特征值时，不宜用幂法计算它的主特征值对应的特征向量.5.3 反幂幂法和位位移反幂幂法及其其MATTLABB程序反幂法是是求非奇奇异矩阵阵的按模模最小特特征值及及其对应应的特征征向量的的一种迭迭代方法法.5.3.3 原点位位移反幂幂法的MMATLLAB程程序设阶实矩矩阵的个特征征值都不不相同，且且满足，且且的按模模最小特特征值对对应的特特征向量量为，则则我们可可以根据据迭代公公式（55.277）和（55.288）编写写两种MMATLLAB程程序分别别计算和和的近似似值和近近似向量量.（一）原原点位移移反幂法法的MAATLAAB主程程序1根据原点点位移反反幂法

20、的的迭代公公式（55.288），现现提供用用原点位位移反幂幂法计算算矩阵的的按模最最小特征征值和对对应的特特征向量量的MAATLAAB主程程序如下下：用原点位位移反幂幂法计算算矩阵的的特征值值和对应应的特征征向量的的MATTLABB主程序序1输入的量量：阶实实矩阵、维初始始实向量量V0、特征值值的近似似值jllambb、计算算的精度度jd、迭迭代的最最大次数数maxx1；输出的量量：迭代代的次数数k、的特征征值的近近似值llambbdann、与对应应的特征征向量的的近似向向量Vk、相邻邻两次迭迭代的误误差Wcc.如果果迭代次次数已经经达到最最大的迭迭代次数数maxx1，则则给出提提示的相相关信

21、息息.funcctioon k,llambbdann,Vkk,Wcc=yydwyyfmff(A,V0,jlaamb,jd,maxx1)n,nn=ssizee(A); AA1=A-jlaamb*eyee(n); jjd= jdd*0.1;RRA1=dett(A11); if RRA1=0dispp(请注意意：因为为A-aaE的n阶行列列式hll等于零零，所以以A-aaE不能能进行LLu分解解.)retuurnendlambbda=0;if RRA1=0for p=11:nh(p)=deet(AA1(1:p, 1:pp);endhl=hh(1:n);for i=11:nif hh(1,i)=0di

22、spp(请注意意：因为为A-aaE的r阶主子子式等于于零，所所以A-aE不不能进行行Lu分分解.) retuurnendendif hh(1,i)=0 dispp(请注意意：因为为A-aaE的各各阶主子子式都不不等于零零，所以以A-aaE能进进行Luu分解.)k=1;Wc =1;staate=1; Vk=V0;whille(kjjd)statte=11;endk=k+1;%Vk=Vk22,mkk=mkk1,endif(WWc AA=11 -11 0;-2 4 -2;00 -11 2;V00=11,1,1;k,llambbda,Vk,Wc=yddwyffmf(A,VV0,00.2,0.00001

23、,1100000)运行后屏屏幕显示示结果请注意：因为AA-aEE的各阶阶主子式式都不等等于零，所所以A-aE能能进行LLu分解解.A-aEE的秩RR(A-aE)和各阶阶顺序主主子式值值hl、迭迭代次数数k,按按模最小小特征值值的近似似值laambdda,特特征向量量的近似似向量VVk,相相邻两次次迭代的的误差WWc如下下：k =llambbda = WWc =hl = 33 0.223844 1.002133e-0007 0.880000 1.04000 00.27720Vk =V = D = 1.00000 -0.24224 -1.00000 -00.57707 5.112499 00 00

24、 0.76116 1.000000 -0.76116 0.36333 0 00.23384 0 0.43223 -0.32000 -0.43223 1.00000 00 00 1.663677（2）输输入MAATLAAB程序序 AA=11 -11;2 4;V0=200,1;k,llambbda,Vk,Wc=yddwyffmf(A,VV0,22.0001,00.00001,1100)运行后屏屏幕显示示结果请注意：因为AA-aEE的各阶阶主子式式都不等等于零，所所以A-aE能能进行LLu分解解.A-aEE的秩RR(A-aE)和各阶阶顺序主主子式值值hl、迭迭代次数数k,按按模最小小特征值值的近似似

25、值laambdda,特特征向量量的近似似向量VVk,相相邻两次次迭代的的误差WWc如下下：k = lammbdaa = Wc = hhl = 2 2.000200 55.15528ee-0007 -11.00010 -0.000100Vk =V = D = 1.000000 -1.00000 00.50000 2 0 -1.000000 1.00000 -11.00000 0 3（3）输输入MAATLAAB程序序 AA=-11 2 115;22 588 3;15 3 -3;V0=1,1,-1;k,llambbdann,Vkk,Wcc=yydwyyfmff(A,V00,8.26, 0.00001

26、,1000)运行后屏屏幕显示示结果请注意：因为AA-aEE的各阶阶主子式式都不等等于零，所所以A-aE能能进行LLu分解解.A-aEE的秩RR(A-aE)和各阶阶顺序主主子式值值hl、迭迭代次数数k,按按模最小小特征值值的近似似值laambdda,特特征向量量的近似似向量VVk,相相邻两次次迭代的的误差WWc如下下：k = lammbdaan=WWc =hl = 2 8.26440 6.993044e-0008 -199.26600 -9661.999244 -6.12556Vk =V = D = -0.776922 0.779288 0.660811 00.04416 -222.52249

27、00 0 0.009122 00.00030 -00.07721 0.99774 00 8.26440 0 -1.000000 -0.660955 00.79906 0.05990 00 0 588.26609例 5.3.33 用用原点位位移反幂幂法的迭迭代公式式（5.28），计算的分别对应于特征值，的特征向量，的近似向量，相邻迭代误差为0.001.将计算结果与精确特征向量比较，其中0.9999999999999999977，1.9999999999999999999，4.0000000000000000002，分别别对应特特征向量量为0.5000000000000000000，0.55000

28、00000000000000，1.0000000000000000000，-0.2249999999999999999，-0.500000000000000000，-1.000000000000000000，-0.4400000000000000000，-0.600000000000000000，-1.000000000000000000.解（1）计计算特征征值对应应的特征征向量的的近似向向量.输输入MAATLAAB程序序 AA=00 111 -55;-22 177 -77;-44 266 -110;V0=1,1,11;k,llambbda,Vk,Wc= yydwyyfmff(A,V0,1.0

29、001, 0.0011,1000),V,D=eigg(A);Dzd=minn(diiag(D), wuuD= abss(Dzzd- lammbdaa),VVD=VV(:,1),wuVV=V(:,11)./Vk,运行后屏屏幕显示示结果请注意：因为AA-aEE的各阶阶主子式式都不等等于零，所所以A-aE能能进行LLu分解解.A-aEE的秩RR(A-aE)和各阶阶顺序主主子式值值hl、迭迭代次数数k,按按模最小小特征值值的近似似值laambdda,特特征向量量的近似似向量VVk,相相邻两次次迭代的的误差WWc如下下：hl = -11.0001000000000000000 5.99850001000

30、00000000 -0.002299660011000000k =llambbda =RAA1 =5 11.0002000000000000000 -0.002299660011000000Vk = VDD = wuVV = -00.5000000000000000000 -0.408824882900463386 0.816649665800927773 -00.5000000000000000000 -0.4408224822904463886 0.816649665800927773 -11.0000000000000000000 -0.8816449655809927773 0.816

31、649665800927773Wc =Dzdd =wwuD = 1.33787794776366955562ee-0009 1.000000000000000000 0.0002000000000000000 从输出的的结果可可见，迭迭代5次次，特征征向量的的近似向向量的相相邻两次次迭代的的误差WWc1.3799 e-0099，由wuuV可以以看出，=Vk与VD 的对应分量的比值相等.特征值的近似值lambda1.002与初始值1.001的绝对误差为0.001，而与的绝对误差为0.002，其中,.（2）计计算特征征值对应应特征向向量的近近似向量量.输入MAATLAAB程序序 A=0 111 -

32、5;-2 117 -7;-4 226 -10;V00=11,1,1;k,llambbda,Vk,Wc=yddwyffmf(A,VV0,22.0001, 0.0001,1000) ,V,DD=eeig(A); WDD=laambdda-DD(2,2),VD=V(:,2),wuuV=VV(:,2)./Vkk,运行后屏屏幕显示示结果请注意：因为AA-aEE的各阶阶主子式式都不等等于零，所所以A-aE能能进行LLu分解解.A-aEE的秩RR(A-aE)和各阶阶顺序主主子式值值hl、迭迭代次数数k,按按模最小小特征值值的近似似值laambdda,特特征向量量的近似似向量VVk,相相邻两次次迭代的的误差W

33、Wc如下下：hl = -22.0001000000000000000 -8.0012999900000000000 0.002200009999000000k = Wc =laambdda =WD = 2 3.11313363116233021120ee-0007 2.002200000000000016 0.002200000000000016Vk = VDD =wwuV = -00.2449999999999999999 0.2218221788902235999 -0.872287115600944401 -00.4999999999999999999 0.443644357780447

34、1998 -0.872287115600943398 -11.0000000000000000000 0.8872887155609943997 -0.872287115600943397从输出的的结果可可见，迭迭代2次次，特征征向量的的近似向向量的相邻两两次迭代代的误差差Wc3.1311e-0007，与的对应应分量的的比值近近似相等等.特征征值的近近似值llambbda22.0002与初初始值22.0001的绝对对误差约约为0.0011，而laambdda与的绝对对误差约约为0.0022，其中,.（3）计计算特征征值对应应特征向向量的近近似向量量.输入MMATLLAB程程序 A=0 111

35、-5;-2 117 -7;-4 226 -10;V00=11,1,1;k,llambbda,Vk,Wc=yddwyffmf(A,VV0,44.0001, 0.0001,1000)V,DD=eeig(A); WDD=laambdda-mmax(diaag(DD),VVD=VV(:,3),wuVV=V(:,33)./Vk,运行后屏屏幕显示示结果请注意：因为AA-aEE的各阶阶主子式式都不等等于零，所所以A-aE能能进行LLu分解解.A-aEE的秩RR(A-aE)和各阶阶顺序主主子式值值hl、迭迭代次数数k,按按模最小小特征值值的近似似值laambdda,特特征向量量的近似似向量VVk,相相邻两次次

36、迭代的的误差WWc如下下：hl =-4.0001000000000000000 -330.0008999900000000000 -0.006600550000999999k = laambdda = Wcc = WD = 2 4.0001999999999999990 1.99660844182291448422e-0007 0.0001999999999999990Vk = VDD = wuVV = 00.4000000000000000011 -0.3324444288422261553 -0.811110771055653380 00.6000000000000000011 -0.44

37、86666422633392229 -0.811110771055653381 11.0000000000000000000 -0.8811110711056653881 -0.811110771055653381从输出的的结果可可见，迭迭代2次次，特征征向量的的近似向向量的相相邻两次次迭代的的误差WWc1.9966e-0007，与的对应应分量的的比值近近似相等等.特征征值的近近似值的的绝对误误差近似似为，而而lammbdaa与的绝对对误差约约为0.0022，其中中-0.4400000000000000000，-0.600000000000000000，-1.00000000000000000

38、0,.综上所述述，用原原点位移移反幂法法的迭代代公式（55.288）求矩矩阵的全全部特征征值分别别对应特特征向量量的收敛敛速度快快，且精精确度高高.但是是求矩阵阵的全部部特征值值的结果果不理想想.（二）、原点位移反幂法的MATLAB主程序2根据迭代代公式（55.277），我我编写用用原点位位移反幂幂法计算算矩阵的的按模最最小特征征值和对对应的特特征向量量的MAATLAAB主程程序如下下：用原点位位移反幂幂法计算算矩阵的的特征值值和对应应的特征征向量的的MATTLABB主程序序2输入的量量：阶实实矩阵、维初始始实向量量V0、特征值值的近似似值jllambbn、计计算的精精度jdd、迭代代的最大大次数mmax11.输出的量量：迭代代的次数数k、的特征征值的近近似值llambbdann、对应的的特征向向量的近近似向量量Vk、相邻两两次迭代代的误差差Wc.如如果迭代代次数已已经达到到最大的的迭代次次数maax1，则则给出提提示的相相关信息息.funcctioon k,llambbdann,Vkk,Wcc=wwfmiifa11(A,V0,jlaamb,jd,maxx1)n,nn=ssizee(A); jjd= jdd*0.1;AA1=A-jlaamb*eyee(n);nAA1=innv(AA1); lambbda11=0;k=11;Wcc =11;sttatee=1; U=V0;whi