用于约束多目标优化问题的双群体差分进化算法45780.docx

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1、用于约束多目标优化问题的双群体差分进化算法孟红云1 张小华2 刘三阳1(1.西安电子科技大学 应用数学系，西安，710071；2.西安电电子科技技大学 智能信信息处理理研究所所，西安安，71100771)摘 要：首先给给出一种种改进的的差分进进化算法法，然后后提出一一种基于于双群体体搜索机机制的求求解约束束多目标标优化问问题的差分进进化算法法该算法同时时使用两两个群体体，其中中一个用用于保存存搜索过过程中找找到的可可行解，另另一个用用于记录录在搜索索过程中中得到的的部分具具有某些些优良特特性的不不可行解解，避免免了构造造罚函数数和直接接删除不不可行解解此外，将将本文算算法、NSGGA-和SPP

2、EA的的时间复复杂度进进行比较较表明，NSGGA-最优，本本文算法法与SPPEA相相当.对经典典测试函函数的仿仿真结果果表明，与NSSGA-相比较较，本文文算法在在均匀性性及逼近近性方面面均具有一一定的优优势.关键字： 差分进进化算法法；约束束优化问问题；多多目标优优化问题题； 中图分类号号：TPP181 引言达尔文的自自然选择择机理和和个体的的学习能能力推动动进化算算法的出出现和发发展，用用进化算算法求解解优化问问题已成成为一个个研究的的热点1-33但目目前研究究最多的的却是无无约束优优化问题题然而而，在科科学研究究和工程程实践中中，许多多实际问问题最终终都归结结为求解解一个带带有约束束条件

3、的的函数优优化问题题，因此此研究基基于进化化算法求求解约束束优化问问题是非非常有必必要的不失一一般性，以以最小化化问题为为例，约约束优化化问题（Connstrrainned OOptiimizzatiion Proobleem，）可定义义如下： （1）其中为目标标函数，称为约束条件，称为维决策向量将满足所有约束条件的解空间称为(1)的可行域特别的，当时，(1)为单目标优化问题；当时，（1）为多目标优化问题为第个不等式约束，是第个等式约束另一方面，对于等式约束可通过容许误差（也称容忍度）将它转化为两个不等式约束： （2）故在以后讨讨论问题题时，仅仅考虑带带不等式式约束的的优化问问题进进一步，如如

4、果使得得不等式式约束，则则称约束束在处是积积极的在搜索索空间中中，满足足约束条条件的决决策变量量称为可可行解，否否则称为为不可行行解定义1（全全局最优优解）是的全局局最优解解，是指指且不劣于于可行域域内任意意解所对对应的目目标函数数，表示示为 对于单单目标优优化问题题，等价价为，而而对于多多目标优优化问题题是指不不存在，使使得Paaretto优于于 目前，进化化算法用用于无约约束优化化问题的的文献居居多，与之比比较，对对约束优优化问题题的研究相相对较少少4-66。文7对当前前基于进进化算法法的各种种约束处处理方法法进行了了较为详详细的综综述.对于约约束优化化问题的的约束处处理方法法基本上上分为

5、两两类：基基于罚函函数的约约束处理理技术和和基于多多目标优优化技术术的约束束处理技技术由由于罚函函数法在在使用中中不需要要约束函函数和目目标函数数的解析析性质，因因此经常常被应用用于约束束优化问问题，但该类方法法对罚因因子有很很强的依依赖性，需需要根据据具体问问题平衡衡罚函数数与目标标函数为了避避免复杂杂罚函数数的构造造，Veerdeegayy等8将进化化算法中中的竞争争选择用用于约束束处理，并在比较两个解的性能时提出了三个准则,但他的第三个准则可行解优于不可行解这一准则合理性不强 .然而该文的这一准则却为进化算法求解约束优化问题提供了新思路，获得了良好效果.因为在现实实中存在在一大类类约束优

6、优化问题题，其最最优解位位于约束束边界上上或附近近，对于于这类问问题，在在最优解解附近的的不可行行解的适适应值很很可能优优于位于于可行域域内部的的大部分分可行解解的适应应值，因因此无论论从适应应值本身身还是从从最优解解的相对对位置考考虑，这这样的不不可行解解对找到到最优解解都是很很有帮助助的，故故如何有有效利用用搜索过过程中的的部分具具有较好好性质的的不可行行解是解解决此类类问题的的难点之之一基基于以上上考虑，本本文拟给出一一种求解解约束多目目标优化化问题的的基于双双群体机机制的差差分进化化算法，并并对文中中算法的的时间复复杂度与与NSGGA-9和SPPEA10进行比比较，最最后用实实验仿真真

7、说明文文中算法法的可行行性及有有效性2 用于约约束优化化的双群群体差分分进化算算法2.1 差差分进化化算法差分进化算算法是一一类简单单而有效效的进化化算法，已已被成功功应用于于求解无约约束单目目标和多多目标优优化问题题 11-14该算算法在整整个运行行过程中中保持群群体的规规模不变变，它也也有类似似于遗传传算法的的变异、交交叉和选选择等操操作，其其中变异异操作定定义如下下： (3)其中,为从从进化群群体中随随机选取取的互不不相同的的三个个个体，为为位于区区间中的的参数(3)式表表示从种种群中随随机取出出的两个个个体的的差，经经参数放放大或缩缩小后被被加到第第三个个个体上，以以构成新新的个体体为

8、了了增加群群体的多多样性，交交叉操作作被引入入差分进进化算法法，具体体操作如如下：针对父代个个体的每每一分量量，产生生位于区区间中的的随机数数，根据据与参数数的大小小关系确确定是否否用替换换，以得到新新的个体体，其中如果果新个体体优于父代代个体，则则用来替替换，否否则保持持不变在差分分进化算算法中，选选择操作作采取的的是贪婪婪策略，即即只有当当产生的的子代个个体优于于父代个个体时才才被保留留，否则则，父代个个体被保保留至下下一代 大大量研究究与实验验发现差差分进化化算法在在维护群群体的多多样性及及搜索能能力方面面功能较较强，但但收敛速速度相对对较慢，因因此本文文拟给出一一种改进进的差分分进化算

9、算法用于于多目标标优化问问题，仿真实验表明明，改进进的差分分进化算算法在不不破坏原有算算法维护护群体多多样性的的前提下下，可改改善差分分进化算算法的收收敛速度度2.2 基基于双群群体的差差分进化化算法2.2.11 基本概概念以下仅讨论论带不等等式约束束的多目目标优化化问题 （44）定义2.11 称为（44）的不不可行解解，是指指至少存存在一个个，满足足定义2.22 违反约约束的强强度，即即约束违违反度函函数定义义为，本本文取定义2.33 违反约约束的数数目，其其中定义2.44 不可行行解优于于不可行行解，是是指的约约束向量量Parretoo优于的的约束向向量2.2.22 基本思思想由上一节分分

10、析可知知，在搜搜索过程程中遇到到的不可可行解不不能简单单丢掉因此，在在设计算算法时不不但要考考虑算法法的收敛敛速度，而而且还必必须保证证群体中中可行解解的优势势地位；另一方方面，对对于多目目标优化化问题，维持搜索群体的多样性与考虑群体的收敛速度是同等重要的基于此考虑，本节采用基于双群体的差分进化算法求解约束多目标优化问题，其中群体用来保存搜索过程中遇到的可行解，用来保存搜索过程中遇到的占优不可行解，同时具有较强的记忆功能，可记忆中每一个体搜索到的最优可行解和整个群体到目前为止搜索到的最优可行解，分别记为和，其中表示个体对自身的思考和认知，表示个体间的信息交流，这一点和PSO算法类似与此同时，我

11、们还通过一种改进的差分进化算法产生新的群体，在产生新群体的过程中，群体中的部分个体参与了个体再生，并通过新生成的个体更新、和为了避免性性能较优优的不可可行解被被删除，本本文拟采用双群群体搜索索机制，其中群体用于记录可行解，群体 记录不可行解，分别为群体与的规模，满足，和分别为群体中每一个个体搜索到最优可行解和群体迄今为止搜索到最优可行解2.2.33 改进的的差分进进化算法法为了维护群群体的多多样性和和收敛性性，同时时有效的的利用已已搜索到到的不可可行解的的某些优优良特性性，下面面给出一一种改进进的差分分进化算算法，并并通过以以下两种种方式产产生新的的个体方法1： 其中，方法2：其中，方法1的目

12、目的在于于通过向向最优个个体学习习，改善善算法的的收敛速速度方方法2的的主要目目的在于于和不可可行个体体进行信信息交流流，共享享不可行行解的一一些优良良特性，增加群体的多样性在具体操作过程中，首先用改进的差分进化算法产生新的个体，然后针对父代个体的每一个分量，产生位于区间中的随机数，根据与参数的大小关系确定是否用来替换，得到新的个体如果是可行行解，而而且的规规模小于于给定规规模，则则可直接接将插入入；如果果插入后后的群体体的规模模大于给给定规模模，首先先两两比比较中的的个体，如如果存在在两个个个体，满满足Paaretto优于于，则将将个体删删除，如如果不存存在，也也就是说说集合中中任意两两个个

13、体体所对应应的目标标向量都都不可比比较，则则计算中中任意两两个个体体间的距距离，随随机删除除距离最最小的两两个个体体中的一一个如果是不可可行解，而而且的规规模小于于给定规规模，则则可直接接将插入入群体中中；如果果等于给给定规模模阈值，计计算插入入后的群群体中任任意两个个个体的的约束向向量，如如果存在在两个个个体，满满足约束束向量PPareeto优优于约束束向量，则则删除；如果不不存在，则则删除满满足的个个体经过以上操操作，群群体和的规模模不会大大于给定定规模阈阈值最最后利用用新生成成的群体体更新最最优个体体集合和和，群体体的更新新方法和和SPEEA算法法中外部部群体的的更新方方法相同同，而的的

14、更新方方法如下下：如果果新生成成的可行行解Paaretto优于于对应的的局部最最优解，则则用替换换，否则则不予替替换2.3算法法的基本本流程综上所述，基基于双群群体的差差分进化化算法的的约束处处理技术术的流程程可表示示如下：step1. 随机生成个个个体，判判断每一一个体的的可行性性，然后后根据个个体可行行性将其插入入到对应应的群体体或中；并并初始化化和及参数数和step2. 判断搜索是是否结束束，如果果结束，转转向sttep55，否则则转向sstepp3.step3. 生成随机数数，如果果，根据据方法11，生成成新的个个体；否否则，根根据方法法2生成新的个个体，如如果是可可行解，将将插入到到

15、中；否否则插入入到中，反反复执行行直到生生成个可行解step4. 根据新生成成的群体体更新最最优个体体集和，转向向stepp2step55. 输出最最优解集集3 算法分分析3.1 算算法的性性能衡量量约束优化问问题的算法性性能的衡衡量可分分为两部部分，一一部分为为最终获获得的最最优解的的性能的的衡量，如如通过GGD15来度量量最优群群体的逼逼近性，SP16来衡量最优解的分布均匀性，或通过计算目标函数的次数衡量算法的复杂度和算法的收敛速度另一部分是针对约束优化问题来衡量群体的多样性，Koziel & Michalewicz17给出一种多样性度量准则，其定义如下： （5） 其中表示每每一次搜搜索过

16、程程中生成成的可行行解的数数目，为为所生成成的所有有个体的的数目相应地地，为了了衡量群群体中的的不可行行解违反反约束的的强度，可可采用约约束违反反度函数数的均值值来度量量： （6）其中表示集集合所包包含元素素的数目目然而而在实际际问题中中，决策策者往往往只对某某一范围围的最优优解感兴兴趣，故故下边只只评价本本文算法法对标准准测试函函数最终终获得的的最优解解集的逼逼近性与与均匀性性，并与与NSGGA-进行比比较3.2 算算法的时时间复杂杂性分析析我们仅考虑虑种群规规模对算算法时间间复杂度度的影响响，设可可行群体体的规模模为，不不可行群群体的规规模为，群群体的规规模为，群群体的最最大规模模为，则则

17、文中算法法迭代一一次的时时间复杂杂度可计计算如下下：算法法中重组组和变异异操作的的时间复复杂度为为；判断断进化群群体中个个体可行行性所需需时间复复杂度为；更新新群体、和的时间间复杂度度分别为为、和；计算群群体和的适应应度所需需时间复复杂度为为；用于更新新最优群群体的时时间复杂杂度最差差为；保持持最优群体体和进化化群体多多样性的的时间复复杂度最最差为； 则算法迭代代一次所所需的时时间复杂杂度最差差为+ （7）上述复杂度度可简化化为 （88）设为所有种种群的规规模，令令，则本本文算法法的时间间复杂度度 （99）NSGA- 9和SPPEA 10是多多目标进进化算中中两个最最具有代代表性的的优秀算算法

18、，这两个个算法的的时间复复杂度最最差分别别为和，其中中分别为为进化种群群规模和和外部种种群集的的规模因而，SSPEAA和本文文算法的的时间复复杂度最最差为，这这比NSSGA-的时间间复杂度度稍高一一些，但但接下来来的实验验结果告告诉我们们，本文文算法的的均匀性性及逼近近性却明明显优于于NSGGA-事实上上，SPPEA和和本文算算法的时时间复杂杂度主要要用于环环境选择择（Ennvirronmmenttal sellecttionn）上，如如果文中中对采取取NSGGA-中的多多样性保保持策略略，则本本文算法法的复杂杂度将降至4 实验结结果与分分析（1） 测测试函数数与参数数设置为了验证本本文给出算

19、算法的可可行性，我我们采用用Debb18建议的的用来测测试约束束多目标标优化算算法性能能的四个个常见的的测试函函数来检检验本文文算法的的性能可行解解集合的的规模，不不可行解解集合的的规模初始化化时，随随机生成成个体的的数目，参参数，为位于于区间中中的一致致随机数数Deeb给出出的测试试函数可可用统一一的解析析表示，即即其中， 测试函函数选取取不同的的参数时时，所构构造的测测试函数数性质不不同，可可行解和和不可行行解的分分布也不不同，最最终导致致全局PPareeto最最优解集集的不同同其中中通过控控制参数数的大小小，可以以控制PPareeto前前端不连连续的段段数，越越大段数数越多；而较小小参数

20、可可以使得得每一不不连续PPareeto前前端仅包包含一个个Parretoo点；参参数调节节连续可可行域到到Parretoo前端的的点的距距离，越越大距离离越远，其其作用在在于调节节问题求求解的难难度；参参数的作作用在于于改变分分段Paaretto前端端之间的的分布特特性，当当=1时时，Paaretto前端端为均匀匀分布；当时， Parretoo前端向向较大的的方向移移动；当当时，则则Parretoo前端向向较大的的方向移移动基基于以上上分析我我们选取取不同的的参数构构造4个个常用的的测试函函数检验验本节算算法的性性能，这这些测试试函数的的参数取取值具体体如下图4.1测测试函数数 CTTP1在

21、在目标空空间示意意图 图4.2测测试函数数CTPP2在目目标空间间示意图图图4.3测测试函数数 CTTP3在在目标空空间示意意图 图44.4测测试函数数CTPP4在目目标空间间示意图图测试函数CCTP11：，可行行解、不不可行解解、全局局Parretoo前端分分布如图图4.1所所示测试函数CCTP22： ，可行行解、不不可行解解、全局局Parretoo前端分分布如图图4.2所所示测试函数CCTP33：，可行行解、不不可行解解、全局局Parretoo前端分分布如图图4.3所所示测试函数CCTP44：，可行行解、不不可行解解、全局局Parretoo前端分分布如图图4.4所所示（2）实验验结果与与分

22、析在相同的测测试函数数和目标标函数计计算次数数下，将将本文算算法和经经典的NNSGAA-III算法进进行比较较，并将将各自算算法独立立运行330次，然然后统计计两种算算法所得得Parretoo最优解解集的均均匀性（Spacing，SP）与逼近性（Generational distance, GD）的最好、最差、均值、方差和中间值，以此作为衡量算法性能的标准由于真实Pareto最优集是未知的，故我们将两种算法所得的60个近似Pareto最优解集之并集的Pareto滤集作为真实Pareto最优解集的逼近，其中测试函数CTP1，CTP2，CTP3的函数值计算次数为10200，而CTP4的函数值计算次

23、数为610014这里，集合的Pareto滤集定义为. 图4.5、4.6、4.7、4.8为从30次运行中随机选择的一次运行结果，从实验曲线可以看到本文算法求出的Pareto Front在逼近性方面要优于NSGA-II图4.5测测试函数数CTPP1的Parretoo Frrontt 图 4.6 测试函函数CTTP2的的Parretoo Frrontt 图4.7测测试函数数CTPP3的Parretoo Frrontt 图图4.8测试试函数CCTP44的Parretoo Frrontt为了进一步步定量的的评价两两种算法法的逼近近性与均均匀性，表4.1，4.2，4.3，4.4给出了两种算法对上述述四个测

24、测试函数数的SPP，GDD的统计计结果，从表中数据容易看出，在解集的逼近性和均匀性方面本文算法对四个测试函数的标准方差都明显小于经典的NSGA-II算法，这说表4.1 测试函函数CTTP1评评价准则则的统计计结果bestworsttavgmediaanStd.DDev.SPNSGA-II0.428850.717790. 577490.569940.18442Propoosedd0.518870.613380. 577050.568840.10443GDNSGA-II0.000050.002210. 000170.001150.00113Propoosedd9.8211e-0055.3677e-

25、0042.06225e-00442.6366e-0040.00003表4.2 测试函函数CTTP2评评价准则则的统计计结果bestworsttavgmediaanStd.DDev.SPNSGA-II0.327750.412210. 399240.373320.21557Propoosedd0.268890.335510.296650.297740.08113GDNSGA-II0.000080.001170.00110.001130.00111Propoosedd1.5477e-0051.7844e-0042.3066e-778.0333e-0050.00001表4.3 测试函函数CTTP3评评

26、价准则则的统计计结果bestworsttavgmediaanStd.DDev.SPNSGA-II0.521190.745510.369990.379910.23112Propoosedd0.518870.613380.296650.283340.18113GDNSGA-II0.000050.002210.001120.001130.00113Propoosedd9.8211e-0055.3677e-0048.03225e-00552.6366e-0040.00002表4.4 测试函函数CTTP4评评价准则则的统计计结果bestworsttavgmediaanStd.DDev.SPNSGA-II

27、0.275530.563340.349900.357760.12778Propoosedd0.224450.528860.342260.338810.11338GDNSGA-II0.001110.003360.002230.002230.00330Propoosedd1.32332e-83.3711e-774.64552e-85.1733e-80.00001明本文的算算法性能能更稳定定另一方方面，上上述定量量的度量量结果也也表明在搜搜索过程程中适当当的运用用性能较较优的不不可行解解的信息息不仅有有助于保保持群体体的多样样性，而而且增强强了算法法的搜索索功能，并并在一定定程度上上起到了了维持解解

28、集的均均匀性的的作用5 结论本文借助粒粒子群算算法的基基本思想想给出了了一种改改进的差差分进化化算法，在适当的利用部分优良不可行个体的基础上，提出了用于约束多目标优化问题的双群体差分进化算法该算法中的两个群体分别用于记录进化过程中的可行解及部分性能较优的不可行解，其优点在于可以充分利用每次迭代产生的子代个体的信息此外，还对文中算法的时间复杂度与NSGA-和SPEA进行比较.经典测试函数的数值仿真结果表明，本文算法无论在解集的逼近性及均匀性方面都优于NSGA-II算法，这表明文中提出的基于双群体的差分进化算法可用于求解带约束的多目标优化问题方面有一定的优势正如“没有有免费的的午餐定定理”19所指

29、出出的，任何何一种算算法不可可能在所所有的性性能方面面占尽优优势，虽虽然本文文算法在在求解约约束多目目标优化化问题方方面具有有一定的的优势，但但计算量量要稍高高于NSSGA-II。接接下来我我们的研研究将致致力于如何降降低算法法的时间间复杂度度及本文文算法的的实际应用用。参考文献1. Mitsuuo GGen andd Ruunweei CChenng, Gennetiic aalgooritthmss & Enggineeeriing Dessignn. Joohn Willey & SSonss, Incc, Neww Yoork,19997.2. Fred Glooverr, HHeur

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42、searrch : AA hiistoory andd annalyysiss. DDeptt. EElecc.Coompuut.EEng.,Grraduuatee Scchoool oof EEng., AAir Forrce Insst.TTechhnoll.,WWrigght-Pattterrsonn AFFB, OH.Tecch.RRep.TR-98-03,19998.16. J. Scchottt. Faaultt toolerrantt deesiggn uusinng ssinggle andd muultiicriiterria gennetiic aalgooritthm o

43、pttimiizattionn. MMastters tthessis, Deeparrtmeent of Aerronaautiics andd Asstroonauuticcs, Masssacchussettts IInsttituute of Tecchnoologgy,19995.17. S.Kozziell annd MMichhaleewiccz. Evooluttionnaryy allgorrithhms, hoomommorpphouus MMapppingg, aand connstrrainned parrameeterr opptimmizaatioon. Evooluttionnaryy Coompuutattionn, 19996,7(11):119-444. 18. Kalyaanmooy DDeb, Ammritt Prrataap, andd T. Meeyarrivaan. Connstrrainned Tesst PProbblemms ffor Mullti-objjecttivee Evvoluutioonarry OOptiimizzatiion. In: Prroceeediingss off thhe 11st Intternnatiionaal CConffereencee onn Evv