线性代数练习题（有答案）.docx

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1、线性代数练习题一、选择题1、设43是阶方阵，那么必有A AB=BAA AB=BAB、(A + B)2 =A2 +2AB + B2C、（A + B）（A 区）=4一炉D、AB=BA2、设A是奇数阶反对称矩阵，那么必有（B(A)、 A=1、（D）、的值不确定3、向量组（1。），（3,0-9） , （123）, （1,6）的秩为 24、向量组(2,L3J)，(4-2,5,4) , (2,1,4,1)的秩为5、设A是根x 阶矩阵，A） = j那么齐次线性方程组AX = O的基础解系中包含解向量的个数为（C ）(A)、r(B)、n(C)、n-r(D)、m- r二、计算与证明题6、设 A =6、设 A =

2、2-2、0-21-20-2010-2(1)3AB 2A, (2) ArB.6、解（1）.3 Ab-2A =32-20二321-228-4-260-272-2、02-2-21-2-2 01-2-2 00-20-21-2/0-2021-110-222-2-21-20-202101 -266 83 -12 02 -26220-10-221228-4-2607、7、解、(A E)7=B E8、设方阵A满足3A 35=0,证明：A可逆，并求Al8、解、由3A 3石=。有 a (a3) =3E,于是，A(A 3) = E，所以 A可逆，且 A- =-(A-3E).239、计算行列式:。=12242301-

3、210011319、。= 69.10、计算行列式。二050-23223-250-2000410、解：D=050-23223-250-20004-2- 50=-8-25= 8011、计算n阶行列式Q11、12、计算n阶行列式Z)=D = a + (n-I)b(a-b)n o12、13、13、矩阵人=200、3,利用初等行变换法求A的逆矩阵A，13、解:对(4初施行初等行变换:14、矩阵A14、1OOI o 1 o looOOI o 1 o loo 0 3 0 2 11 112 2 0 7 - 11 11 - 3 o 0 1-3 1-201-3 / I一一 nA-o 0 1-3 -20134 3-

4、5 -36 4,利用初等行变换法求A的逆矩A-1.解:对(A, E)施行初等行变换：-456-3 1-3 04 00、0 b3、 0 bA-11 -215、设4= -1 2k、k -23k、-3，问女为何值时,可使矩阵的秩分别为(2)H(A)=2;(3)R(A)=3.15、解:对A施行初等行变换:1 -2 3k、-1 2k -3k 2 3 , -10 k-100k 、 k (J)/+ 2),所以，(1)当 hl 时，K(A)=1；(2)所以，(1)当 hl 时，K(A)=1；(2)当左二2时，R(A)=2; (3)当左wl且左w2时,16、设 A = 116、设 A = 1R(A)=3.k1

5、b勺 10 k-10 1 kk、 -k l-kk 、 k(左 1)(%+ 2),所以，(1) R(A)=3.当 kl 时，R(A)=1 (2)当 时，R(A)=2; (3)当Zwl且左w2时,芭 + 2%2 + 当-= 017、求齐次线性方程组32+6-3-3乙=0的通求5m +10x2 + x3 - 5x4= 017、解：对系数矩阵A施行初等行变换：1 23 65 101 -p1 31 工-ro ,所以此方程组的基础解系为,2、1010010-2、10,kvk2 g R.%, + 2x2 + 2x3 + X4 = 018、求齐次线性方程组12七+超22 - 2为=0的通解%)- %2 _ 4

6、x2 - 3元4 018、18、解：对系数矩阵A作作初等行变换A二2211 -2 -21 4 312210 3 -6 -40 3 6 41430-2_53430由于RA) = 2 4,故该方程组有非零解,且基础解系含有4-2=2个解向量。令工3/，得方程的一个基础解系为q= ，% =所有解为元=醇+痴2=42-210534-3 0534-301，所以方程组的，其中，匕,&为任意实数。2 1 1、19、求矩阵A= 0 2 0的特征值与特征向量1 3,19、解：（1）矩阵A的特征值为4 =-1,4=4 =2. （2）当特征值为4=-1时，A的 1、所有特征向量为左0 ,4cR,且女产0;当特征值为=2时，A的所有特征向量为攵2&2+忆3&3 =k2 0 +%3 1，攵2，& R.4-1310、20、求矩阵A= -4 -1 0的特征值与特征向量.、4 -8 -2,20、解：（1）矩阵A的特征值为4 =-2,4=4二1.（2）当特征值为4=-2时，A的,0、所有特征向量为匕跖=0 ,占eR,且女产0；当特征值为4 = 4=1时，a的所有特征向量为Z2M =幺r 2110,k2 g凡且42 w 0.设人,8是阶方阵满足24 + 3 = 43,证明：A-E可逆.1 Qk 1 ,问%分别为何值时，可使矩阵的秩分别为1 (2)A)=2;(3)心)=3.16、解:对A施行初等行变换: