关于跨期经济决策72法则的拓展研究论文19095.docx

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1、关于跨期经经济决策772法则的的拓展研究究复利终终值系数的的近似计算算孙得将（仰恩大学学 财政金融融学院，福建 泉州 3620014）摘要： 现现实经济生生活中充满满了跨期经经济决策问问题，这就就要计算货货币的时间间价值。货货币时间价价值甚至包包含风险溢溢价的总体体价值计算算是一个结结构完整的的体系，其其中复利终终值系数的的计算在此此体系中居居于核心地地位。对于于复利终值值系数的计计算尤其是是近似计算算，72法法则应用广广泛，尽管管使用时精精度较低且且难以控制制，但是根根据其思路路和运算习习惯可以开开发出更为为精确的近近似计算方方法。对于积累累期限为110年或110年的整整数倍，复复合利率在在

2、14%-34%情况下货货币时间价价值的计算算，有更为为简便特殊殊的方法。关键词： 72法则则；复利终终值系数；近似似计算；货货币时间价价值一、引 言当代市场经经济条件下下有很多经经济决策和和金融决策策都涉及到到资源的跨跨期配置问问题，这就就必然要考考虑到货币币的时间价价值，因此此要用到对对复利现值值和终值的的估算，事事实上由于于复利现值值系数和复复利终值系系数互为逆逆运算，所所以复利终终值系数的的估算在此此类计算中中更居于基础础性地位。尽尽管资源的的跨期配置置决策也要要考虑到未未来不确定定性环境下的的风险补偿偿问题，但但是风险补补偿一般都都可以采用用资本资产产定价模型型来对必要报酬酬率进行调整

3、，然后后用调整后后的必要报报酬率作为为复合利率率来计算现现金流的现现值或终值值。当然，复复利终值系系数也可直直接应用于于对复合增长长问题的计计算。对于公式（1r）t，式中，为终值系数，r为复合利率，t为积累期限。大多数金金融学专业业教材没有有做进一步步处理，只只有少数国国内外著作作在附录中中给出了复复利终值系系数表，【1】【22】只有极极个别国外外教材介绍绍了怎样使使用财务计计算器来计计算各类现现值或终值问题题。【3】考虑虑到在现实经济中中有不少经经济金融问问题的决策策是基于“模糊的正正确”而做出的的，因为未未来是难以以完全清晰晰准确地预预测的，况况且大多数数情况下人人们思考此此类问题时时手头

4、没有有现成的复复利现值和和终值系数数表，甚至至也没有或或者是懒得得用财务计计算器或其其它能计算算指数函数数值的计算算工具，当然然，人们也也没有必要要把复利终终值系数表表完整地背背下来，那那么能否提提供一个简简洁的处理理系统从而而使得人们们直接用心心算或者简简单动一下下纸和笔就就能够比较较正确地估估算出的数值从从而估算出出一笔现金金流的终值值数呢？事事实上，人人们可能都都接触过772法则。【4】但是72法则在利率大于8%时精度不高，何况翻倍也不符合我们平常计数和运算的习惯，更何况现实生活中恰巧翻倍的场合少而又少，且如果用翻倍法则去估计其它终值问题，毕竟显得太粗糙了，尤其是所要估计的数值较大时。其

5、实，利用72法则的计算思路和习惯，应用泰勒级数展开式就可以推导出对终值系数近似计算的方法。关键问题在于如何推导出此种近似计算方法，如何熟练地把这种方法应用于各种涉及到跨期决策问题的计算。人们习惯上多以10年或10年的整倍数为单位来衡量中长期，对于积累期限为10的金融计算，如果有简洁的估算方法将为决策带来极大便利，其实更为便捷的近似计算方法是有的。二、复利终终值系数近近似计算的的数学推导导及习惯处处理运用72法法则时，第一步是是用积累期期限乘以去掉百分分号后的复复合利率， 即利率的100倍，以下把它定义为利率特征值，把利率特征值与积累期限的乘积定义为总积累换算数。第二步是用所得出的乘积与72进行

6、比较，每含有一个72意味着要翻一番，第三部是把在第二步所得的数值相乘即可得出最终结果。复利终值系数的近似计算与72法则类似，也分三个步骤，现在分别介绍如下。 不妨暂时称这种近似计算方法为“拓展的72法则”。（一） 计算净积累累换算数此步主要根根据复合利利率和积累累期限，运运用简单的的四则运算算计算出复复利终值系系数近似计计算时所对对应的净积积累换算数数（A）。设终值系数数为，复合利率率为r，那么，当当0r1时，则则有： （1）对数函数(1r)的泰勒勒级数展开开式为： （2）把（2）代代入（1）得得： （33）设为的近近似估计， （4）定义利率特特征数：kk1000r；定义总总积累换算算数：Bt

7、kt(100r)，这是是适合连续续复利计算算的积累换换算数；定定义净积累累换算数：A，这是是与实际非非连续的复复利计算所所对应的积积累换算数数，那么则则有： （55）定义调整系系数：，那那么则有：ABc，即：净积累换算算数总积积累换算数数调整系数数 （6）0r1，c1，AB。可以证明，近近似计算的的精度取决决于净积累累换算数的的计算精度度，而后者者则直接取取决于调整整系数c的计算精度。一般般情况下，如如果计算精精度要求不不是太高时时，（5）式式完全能够够满足实际际计算的需需要。如果果对估算精精度要求较较高，那么么结合（33）、（44）式，可可以按要求求把调整系系数c修改为： (7)在进行实际际

8、计算时，根根据决策所所需的计算算精度，可可以结合（77）式来计计算调整系系数，且式中的通通项rn /（n1）可以作作为精度控控制指标，可可以证明计计算相对误误差小于所选取取rn /（n1）的值。 证明：如果令，记之后所有余项的和为：，那么则有：所以，调整系数c估算时的相对误差小于rn /（n1）。（二）查找找净积累换换算数中所所包含的对对应整数倍倍数值类似于722法则中22与72之之间的对应应关系，在终终值系数的的近似计算算中我们将将给出100倍以内与与整数倍相相对应的比比较精确的的换算数的的值。实质质上，如果果设整倍数数为M，则其对对应的换算算数的值为为100M，例如与与3对应的的积累换算算

9、数的值是是100M109.86，当当然，如果果所要求的的精度较高高，则对应应于每一数数值的换算算数所保留留的小数位位数也就较较多。以下下给出了与与常用的倍倍数相对应应的换算数数一览表。表1 常常见的终值值系数倍数数及与其所所对应换算算数值终值倍数MM 换算数100MM换算数整数数值换算数级差换算数级差差解释数解释误差（-）简记符号10230.226230NANANA102330.2669219.77222010.54410.533100/9.5-0.099%92199.728207.88420811.88811.7661000/8.55-1.011%82077.847194.55919513.

10、25513.3331000/7.550.60%71944.596179.11817915.41115.3881000/6.55-0.199%61799.185160.99416118.24418.1881000/5.55-0.333%51600.944138.66313922.31122.2221000/4.55-0.400%41388.633109.88611028.77728.5771000/3.55-0.700%31099.86269.3116940.55540.0001000/2.55-1.366%269.311.540.5554128.76629.41150/1.7552.26%1.

11、5440.555注：因为11.5在实实际计算中中运用得很广广，所以在此作作为整数处处理。表1只需记记住269.331，3109.86，55160.94和77194.59即可可，表中其其它数值都可以以根据指数数函数运算算性质由这这四个质数数分解组合合而成。第四、五五栏从另外外一个角度度说明了各各相邻终值值倍数的换换算值之间间的关系，第第六栏主要要证实了进进行近似计计算时运用用线性内插插法具有非非常高的精精度。（三）汇总总上述整数数倍数并妥妥善处理余余数得出最最终数值将上述第二二步所找出出的净积累累换算数中所包含的的整数倍数数相乘，把把净积累换换算系数扣扣除各个对对应的整数数倍数的换换算数之后后的

12、余数进进行如下处处理。设净积累换换算数的余余数为R，由于表表1对1.540.555作为特特殊的整数数看待，所所以R40.55。进进一步，如如果有R10，那么么则只需把把它看作是是一个单期期利率特征征数，其所所对应的终终值系数为为R添上百分分号后再加加上1，即即(1RR%)。如如果有100R40.555，那么么，用首先先要R除1000并对商数数做取整运运算，并定定义D1000/R，U1000/R1D1，由由定义可知知D1000/RU，并设整整数D与U所对应的的换算数分分别为X、Y，记U/DYX，这样就就从余数RR中分离出出了分数形形式的复利利终值系数数U/D，此时有有产生了新新的余数R(YX)，

13、且且一般有-10R(YX)10，此此时只需按按照余数小小于或等于于10时的的处理方法法，把新的的余数看作作单期利率率的特征值值进行处理理即可。以下用一个个例子来说说明上述三三个计算步步骤并对其其估算的精精度进行验验证。例1：求rr12%，t46时的的终值系数数。解：要计算算（1+12%）46第一步：计计算净积累累换算数。k1000r12，BBtk466125552，cc111/2r1/33r211/20.1221/330.12220.99448。ABcc55220.944485521.55296521.53第二步：查查找净积累累换算数所所包含的对对应整数倍倍数值。521.5532230.266

14、61.011 1022230.2661.01140.55220.466 1.5540.555净积累换算算数的余数数为：R20.46第三步：汇汇总所得的的整数倍数数并妥善处处理余数得得出最终数数值。首先处理RR20.46。100/RR1000/20.464.899，D4.894，UD155，且4138.63，55160.94，5/4(1500.94138.63)22.331，新的的余数为：（20.46222.311）-11.85；-10-1.885100，把新的余余数-1.85看作作利率特征征数并进行行单期化处处理得：11（-11.85%）10.0118500.98115。把以上所分分离出的所所

15、有终值系系数相乘得得：1021.55/40.988151184.003。事实上，如如果利用指指数计算器器计算（1+12%）46可得1183.667，计算算误差为：（184.031183.667）/1183.667100%0.220%，46年年计算误差差为0.220%，精度相当当高。注意，如果果计算精度度要求不是是很高时，可可以利用表表1中第三三栏的整数数积累换算算数值进行行计算，并并且把任何何余数R41作为利率率特征数做做单期化终终值运算，这这样将会更更为简单快快捷。另外，很很容易把上述近似似计算原理理推广到只只要知道式式子（1r）tt中的任意意两个变量量而求另外外一个变量量的计算中中去， 其

16、中，已知、r求t比较简单。已知和t求r时，可用两步法：仍设k100r，W，则有tkcW，kW/tc,设，。 也很很容易推广广到其它有有关货币时时间价值计计算的场合合中去。三、适用于于积累期间间为10年年的近似估估算因为现实经经济生活中中人们习惯惯用10来来计算中长长期时间，所所以提供一一套专门适适用于积累累期限为110年或110年的整整倍数的终终值、现值值和复合利利率的近似似计算方法法就具有特特别意义，尽尽管目前还还不能给出出数学证明明， 笔者试图进行过证明，但是都不够严密，恳请对此有兴趣的同仁能够协助给出证明。但是表2给出了实证结论。尤其是是计算中要要用到的数数字5.22，暂时只能能称之为“

17、神奇数字字5.2”，暂时称称以下的运运算系统为为“5.2法法则”，但是在在积累期间间为10年年的实际金融计计算中此种种方法显得得格外快捷捷、便利和和准确，如下表22所示，该该运算系统统特别适合合复合收益益率在144%至34%之间的计计算，计算算误差能够够控制在11%以内，加加之14%-34%的年复合合收益率恰恰巧很符合合实际投资资决策中人人们所追求求且可能达到到的长期复复合收益率率的范围，所所以这一运运算系统将将为长期价价值投资问问题的计算算和决策提供极极大的便利利。仍然设利率率特征值kk为100r，为终值系系数，p为现值系系数，速算算系数为qq，那么有有：1.已知利利率特征值值k，求100年

18、后的终终值系数。规则：q0.1kk5.22，q5.220.11k，k/q例如：k17时，q5.20.1173.5，k/q17/3.54.86；k25时时，q5.220.112522.7，k/q25/2.79.3。对于10k45时的的所有终值值系数的估估算值、实实际值和误误差参见下下表2。表2 积积累期限为为10年的的复利终值值系数的实实际值与估估计值k101112131415161718192021实际值【22】2.592.843.113.403.714.054.414.815.235.706.196.73估计值 数字根据公式kqk（5.20.1k）计算得出，结果四舍五入保留两位小数。2.38

19、2.683.003.333.684.054.444.865.295.766.256.77误差% 数字根据公式：（估计值实际值）实际值100%计算得出，结果四舍五入只保留1%。参考文献：1李秀芳，傅安平.寿险精算M.北京：中国人民大学出版社，2002.p694-7072Arthur J. Keown, John D. Martin, J. William Petty, David F. Scott, Jr. Foundations of Finance: The Logic and Practice of Financial Management. Prentice Hall 2004.p535

20、-5363兹维博迪，罗伯特C莫顿.金融学M.北京：中国人民大学出版社，2000.p1064李秀芳，傅安平.寿险精算M.北京：中国人民大学出版社，2002.p25Elaboration on the Rule of 72 for the Inter-temporal Economic Decision-makingthe Approximate Estimation of the Coefficient of Future Value Based on Compound Interest RateSUN De-jiangAbstract: In the real world there are

21、a lot of inter-temporal decision-makings which are based on the calculation of the time value of money (TVM). The calculation of TVM even the total value including risk premium is an integrated system under which the computation of the coefficient of the future value is the focus. The rule of 72 is

22、widely used to estimate the coefficient of the future value though it is not very precise. More perfect techniques for approximate estimation can be developed according to the convention and thought of the rule of 72. There is one more convenient and simpler approximate estimation approach for TVM g

23、iven the accumulation period is decade or multiple decades and the compound interest rate is among 14% and 34%. Keywords: Rule of 72, Coefficient of the Future Value, Approximate Estimation, the Time Value of Money 孙得将2009年元月14日-8-6-4-2-10111111k222324252627282930313233实际值7.317.938.599.3110.09910.92

24、211.81112.76613.79914.88816.06617.322估计值7.337.938.579.2610.00010.80011.67712.61113.64414.76616.00017.377误差%000-1-1-1-1-1-1-100k343536373839404142434445实际值18.67720.11121.65523.29925.05526.92228.93331.06633.33335.76638.33341.088估计值18.89920.59922.50024.67727.14430.00033.33337.27742.00047.78855.00064.29

25、9误差%12468111520263443562.已知110年后的的终值系数数，求利率特特征值k规则：k/qk/(5.20.1k)，k5.22/(10.1)5.22/(1/0.11)5.2/(pp0.11)例：88时，k5.2/(1/0.11)5.2/(11/ 80.1)55.2/00.225523.1；9时，kk5.22/(1/ 90.1)55.2/00.211124.6。3.已知利利率特征值值k,求100年初的现现值系数pp规则：p1/ q/k(5.20.1k)/k例：k118时，qq5.220.11k5.221.883.44，p3.44/1800.19；k24时时，q5.220.11k5

26、.222.442.88，p2.88/2400.1166。4.已知110年前的的现值系数数p，求利率特特征值k规则：k5.2/(p0.11)例：p00.4时，k=5.2/(p+0.1)5.2/(0.40.1)17.3。四、结 论现实中有不不少资源配配置决策是是跨期决策策，进行跨跨期决策需需要一定的的金融计算算，货币时时间价值计计算是金融融计算中最最基本最主主要的内容容，而复利利终值系数数则是货币币时间价值值计算的核核心。虽然然复利终值值系数的计计算公式（1r）t并不复杂杂，但是它它却是指数数运算，人人们一般不不太擅长于于这种高级级运算。其其实此种指指数函数可可以通过泰泰勒级数展展开，并且且在保持

27、一一定精度的的条件下转转化为人们们非常熟悉悉的算术四四则运算。此此类运算的的思路和运运算习惯与与72法则则非常相似似，不妨暂暂时称之为为“拓展的772法则”。针对积积累期限为为10或110的整倍倍数的金融融计算问题题，有更为为简便的计计算方法，暂暂时可称之之为“5.2法法则”。不论是“拓拓展的722法则”还是“5.2”法则，其其近似计算算的思路和和原则很容容易由已知知复合利率率和积累期期限计算复复利终值系系数扩展到到已知利率、期期限和终值值系数中的的任意两个个变量而求求另一变量量的场合，也也很容易推推广到其它它涉及货币币时间价值值问题的计计算场合中中去。对于于不少金融融计算问题题，可以根根据实际需需要从722法则、“拓展的772法则”和“5.2法法则”中选取一一种或几种种相结合或或几种相对对照来进行行近似计算算，以便能能够作出最最为简洁、高高效和明智智的跨期经济金金融决策。注释：9