线性代数线性代数线性代数 (7).pdf

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1、7 向量空间向量空间 7.1 7.1 引言引言 我们在前几节讨论了矩阵和向量，一个线性方程组可以写成矩阵形式：，它的解是向量的集合。正如微积分研究点的集合关于开集、闭集和极限等性质，线性代数将考虑解向量的集合关于加法、数乘的运算性质，满足这种运算性质的集合称为向量空间。线性代数 主要运算：向量的线性组合 主要问题：的解 问题：一个方程组有多于一个的有限个解吗？7.1 7.1 引言引言 设 有两个互异的解 则 即 均是 的解.即 是 的解.因此 若超过一个解，则有无穷解.若有解 则任意解 均满足 其中 7.1 7.1 引言引言 的解的情况：只有零解 有无穷解 为了描述解集，我们引入一个概念向量空

2、间.7.2 7.2 向量空间和子空间向量空间和子空间 定义：设 是一些 维列向量的集合，且 关于向量加法和数乘封闭，即 则称 为一个向量空间(vector space).性质：零向量属于一向量空间 7.2 7.2 向量空间和子空间向量空间和子空间 例：则 是一个向量空间，例如 则 例：不是一个向量空间.例：不是向量空间.7.2 7.2 向量空间和子空间向量空间和子空间 更一般的定义：一个实向量空间(real vector space)是“向量”的集合，其关于加法和(实数的)数乘封闭(即线性组合封闭)且满足1.7节的八条性质.例：阶实矩阵 例：和 垂直的 维向量全体,例：7.2 7.2 向量空间

3、和子空间向量空间和子空间 子空间：设 是一个向量空间，若 关于 的加法、数乘封闭，则 是一个子空间(subspace).例：的子空间 1.2.3.是一过原点平面.4.是一过原点直线.7.3 7.3 列空间和零空间列空间和零空间 关于 相关联的有两类(子)空间.设 则 和 的全部线性组合是一个 的子空间,称为 的列空间(column space),记作 几何上，它是一张平面(过原点).7.3 7.3 列空间和零空间列空间和零空间 例：几何上，它是 上一个“超”平面.7.3 7.3 列空间和零空间列空间和零空间 定理：有解 例如,总有解,因为 例：问：设 则 7.3 7.3 列空间和零空间列空间和

4、零空间 另一类子空间：零空间 验证：它是一个空间！(的解集不是一个空间)定理：有无穷解 的列向量线性相关.7.4 7.4 阶梯形阶梯形 问题：求解 或 例：是一个阶梯形式(echelon form).主元所在列(列)称为主列(pivot column)，主元对应变量 称为主变量(pivot variable).7.4 7.4 阶梯形阶梯形 检查：两列是 列的线性组合，称为自由列(free column).是自由变量,对应方程组为 目标：保证每个方程只有一个主变量.7.4 7.4 阶梯形阶梯形 即 即 7.4 7.4 阶梯形阶梯形 注：1.则 2.这说明 3.的每一列是 的列向量的线性组合.4.设 有一个解 则 的解集为 例：比较 和 其中 例：设 是 中两子空间，则 是一个子空间，而 一般不是子空间.行变换