因式分解(高级篇)十字相乘.ppt

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1、边城高级中学边城高级中学 张秀洲张秀洲知识结构知识结构因式分解因式分解常用方法常用方法提公因式法提公因式法公式法公式法十字相乘法十字相乘法分组分解法分组分解法拆项添项法拆项添项法配方法配方法待定系数法待定系数法求根法求根法一、提公因式法一、提公因式法 只需只需找到找到多项式中的多项式中的公因式公因式，然后用，然后用原多原多项式除以公因式项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。可。往往与其他方法结合起来用。二、公式法二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再将符合其形式，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的

2、公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法的方法结合结合或多种公式或多种公式结合结合。接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。进行因式分解。常用公式常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)（立方和公式）（立方和公式）及及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方差公式）立方差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）（完

3、全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq三、十字相乘法三、十字相乘法前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）（适用于二次三项式）暂且称为暂且称为暂且称为暂且称为p、q型因式分解型因式分解一、计算：一、计算：(x+p)(x+q)=x+(p+q)x+pq下列各式是因式分解吗？观察左右两边下列各式是因式分解吗？观察左右两边你有什么发现？你

4、有什么发现？例例1：因式分解：因式分解或或或或步骤：步骤：竖分竖分竖分竖分二次项与常数项二次项与常数项二次项与常数项二次项与常数项交叉交叉交叉交叉相乘，积相加相乘，积相加相乘，积相加相乘，积相加检验确定检验确定检验确定检验确定，横写横写横写横写因式因式因式因式十字相乘法十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）（借助十字交叉线分解因式的方法）顺口溜：顺口溜：竖分竖分常数常数交叉交叉验，验，横写横写因式不能乱。因式不能乱。首尾分解，交叉乘，首尾分解，交叉乘，求和凑中，因式横。求和凑中，因式横。试一试：试一试：小结：小结：用十字相乘法把形如用十字相乘法把形如用十字相乘法把形如用十字相乘法把形如二次

5、三项式分解因式使二次三项式分解因式使二次三项式分解因式使二次三项式分解因式使（顺口溜：（顺口溜：竖分竖分常数常数交叉交叉验验，横写横写因式不能乱因式不能乱）x+(p+q)x+pqx+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)练一练：练一练：小结：小结：用十字相乘法把形如用十字相乘法把形如的二次三项式分解因式的二次三项式分解因式当当pq0时，时，pq分解的因数分解的因数p、q()当当pq00时，时，时，时，q q分解的因数分解的因数分解的因数分解的因数a a、b b(同号同号同号同号)且（且（且（且（a a、b b符号）与符号）与符号）与符号）与p p符符符符号相同号相同号相同号相同当当当当q q

6、00时，时，时，时，q q分解的因数分解的因数分解的因数分解的因数a a、b b(异号异号异号异号)（其中绝对值较大的其中绝对值较大的其中绝对值较大的其中绝对值较大的因数符号因数符号因数符号因数符号）与与与与p p符号相同符号相同符号相同符号相同将下列各式用十字相乘法进行因式分解将下列各式用十字相乘法进行因式分解（1）2x2+13x+15（2）3x215x18(3)6x2-3x18(4)8x2-14xy+6y2把下列各式分解因式把下列各式分解因式（1）4x2+11x+6（2）3x2+10 x+8(3)6x2-7xy5y2(4)4x2-18x+18(5)4（a+b）2+4(a+b)-15例例1：

7、因式分解：因式分解abac+bdcd。解：原式解：原式=(abac)+(bdcd)=a(bc)+d(bc)=(a+d)(bc)还有别还有别的解法的解法吗？吗？要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些添、去括号等一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。四、分组分解法四、分组分解法例例1：因式分解：因式分解abac+bdcd。解：原式解：原式=(ab+bd)(ac+cd)=b(a+d)c(a+d)=(a+d)(bc)四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去

8、括号等一些添、去括号等一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。例例2：因式分解：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=(x+1)(x2x+1)(x2+x+1)立方和公式立方和公式分组分解法分组分解法随堂练习：随堂练习：1 1）xyxy xzxz y y2 2+2+2yzyz z z2 22 2）a a2 2 b b2 2 c c2 222bcbc22a a+1+1回顾例题：回顾例题：因式分解因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)

9、=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1x2)=(x+1)(x2+1)2x2=(x+1)(x2+x+1)(x2x+1)*五、拆项、添项法五、拆项、添项法怎么结果怎么结果与刚才不与刚才不一样呢？一样呢？因为它还因为它还可以继续可以继续因式分解因式分解 拆项添项法对数学能力有着拆项添项法对数学能力有着更高的要求更高的要求，需要需要观察观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的续因式分解，要对结果有一定的预见性预见性，尝试较多，尝试较多，做题较繁琐。做题较繁琐。最好能根据现有多项式内的项最好能根据现有多项式内的项猜测猜

10、测可能需要使可能需要使用的公式，有时要根据形式用的公式，有时要根据形式猜测猜测可能的系数。可能的系数。五五*、拆项添项法、拆项添项法因式分解因式分解x4+4解：原式解：原式=x4+4x2+44x2=(x2+2)2(2x)2=(x2+2x+2)(x22x+2)都是平方项都是平方项猜测使用完全平方公式猜测使用完全平方公式完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式拆项添项法拆项添项法随堂练习：随堂练习：1 1）x x4 42323x x2 2y y2 2+y y4 42 2）(mm2 21)(1)(n n2 21)+41)+4mnmn六、配方法六、配方法 配方法是一种特殊的拆项添项配方法是一种特殊

11、的拆项添项法，将多项式法，将多项式配成完全平方式配成完全平方式，再，再用平方差公式进行分解。用平方差公式进行分解。因式分解因式分解a2b2+4a+2b+3。解：原式解：原式=(a2+4a+4)(b22b+1)=(a+2)2(b1)2=(a+b+1)(ab+3)配方法配方法 (拆项添项法拆项添项法)分组分解法分组分解法完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式七七*、待定系数法、待定系数法试因式分解试因式分解2x2+3xy9y2+14x3y+20。通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到(2(2x x33y y)()(x x+3+3y y)设原式等于设原式等于(

12、2x3y+a)(x+3y+b)通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：解得：解得：解得：解得：，原式原式原式原式=(2=(2x x33y y+4)(+4)(x x+3+3y y+5)+5)待定系数法，待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通

13、过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。问题的方法叫做待定系数法。=3=1410+42x2+3xy 9y2+14x 3y+20八、双十字相乘法八、双十字相乘法 双十字相乘法适用于双十字相乘法适用于二次六项式二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。个限制。因式分解因式分解2x2+3xy9y2+14x3y+20。21336 345=312 15原式原式原式原式=(=(2x x3y y+4)()(x x+3y y+5)你学会了吗你学会了吗?对

14、自己说，你有什么收获？对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么提示？对同学说，你有什么提示？对老师说，你有什么疑惑？对老师说，你有什么疑惑？人要是行，干一行，行一行，人要是行，干一行，行一行，一行行，行行行，一行行，行行行，要不是不行，干一行，不行一行，要不是不行，干一行，不行一行，一行不行，行行不行。一行不行，行行不行。综综合合训训练练(一一)4843综合训练综合训练(二二)综合训练综合训练(二二)2、x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xyz因式因式分解分解后的结果是后的结果是()()。A.(A.(y y z z)()(x x+y y)()(x x z z)B.()B.(y y

15、z z)()(x x y y)()(x x+z z)C.(C.(y y+z z)()(x x y y)()(x x+z z)D.()D.(y y+z z)()(x x+y y)()(x x z z)3、因式分解、因式分解x3+6x2+11x+6。A综合训练综合训练(三三)-126x2+x-2=(x+2)(x-1)，2x4-3x3+ax2+7x+b能被能被(x+2)(x-1)整除，整除，设商是设商是A则则2x4-3x3+ax2+7x+b=A(x+2)(x-1)，则则x=-2和和x=1时，右边都等于时，右边都等于0，所以左边也等于，所以左边也等于0当当x=-2时，时，2x4-3x3+ax2+7x+

16、b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0当当x=1时，时，2x4-3x3+ax2+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0a=-12，b=6综合训练综合训练(三三)064总结训练总结训练(一一)总结训练总结训练(一一)8总结训练总结训练(二二)总结训练总结训练(二二)解：解：x4+199x2+1996x+1997=（x2+ax+1)(x2+bx+1997)=x4+(a+b)x3+(ab+1998)x2+(1997a+b)x+1997所以所以a+b=0，ab+1998=1997，1997a+b=1996解得解得a=1b=-1所以所以x4+1997x2+1996x+1997=(x2+x+1)(x2-x+1997)总结训练总结训练(二二)解：解：原式原式=x4+1997x2+1997x-x+1997=(x4-x)+(1997x2+1997x+1997)=x(x3-1)+1997(x2+x+1)=x(x-1)(x2+x+1)+1997(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2-x+1997)