信号与线性系统分析第4章.ppt

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1、4 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 信号分解为正交函信号分解为正交函数数4.2 傅里傅里叶级数叶级数4.3 周期信号的周期信号的频谱频谱4.4 非周期信号的非周期信号的频谱频谱4.5 傅里叶变换的傅里叶变换的性质性质4.6能量谱和功能量谱和功率谱率谱4.7 周期信号的傅里叶变周期信号的傅里叶变换换4.8 LTI系统的频域分系统的频域分析析4.9 取取样定理样定理14.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数在线性空间中，任何矢量可用在线性空间中，任何矢量可用相互垂直相互垂直的单位矢量表的单位矢量表示。这组矢量称为示。这组矢量称为正交正交矢量集。矢量集。一一.正交函数集正交函数集 正

2、交函数正交函数：函数：函数 1(t)和和 2(t)在区间在区间(t1，t2)内正交，内正交，则则 正交函数集正交函数集：n个函数个函数 1(t)，n(t)在区间在区间(t1，t2)内构成的正交函数集内构成的正交函数集 i(t)满足满足 2Ki为常数，如果为常数，如果Ki1，则称该函数集为，则称该函数集为归一化正交归一化正交函数集函数集。完备正交函数集完备正交函数集：在正交函数集之外，不存在函数：在正交函数集之外，不存在函数与之正交。与之正交。一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。正交复函数的定义：正交复函数的定义：正交函数集例：（在区间正交函数集例

3、：（在区间t0，t0+T，且，且T=2）三角函数集：三角函数集：1，cos(n t)，sin(n t)；n1，2，3，复指数函数集：复指数函数集：ejn t；n0，1，2，3二二.信号分解为正交函数信号分解为正交函数 对任一函数对任一函数f(t)用用n个正交函数的线性组合来近似个正交函数的线性组合来近似选择选择Cj时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取均方误差均方误差要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极值得值得 4于是可得误差于是可得误差 均方误差总是大于等于均方误差总是大于等于0，增大，增大n可

4、使误差减小。可使误差减小。5当当n，误差为，误差为0，则有，则有帕斯瓦尔帕斯瓦尔(Parseval)方程方程帕斯瓦尔方程物理意义：如果帕斯瓦尔方程物理意义：如果f(t)是电压或电流信号，是电压或电流信号，则单位电阻上信号的总能量等于信号的各正交分量的则单位电阻上信号的总能量等于信号的各正交分量的能量之和。能量之和。因此因此f(t)在区间在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之可分解为无穷多项正交函数之和和 64.2 傅里叶级数傅里叶级数周期信号在区间周期信号在区间(t0，t0T)上可以展开成在完备正交上可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。信号空间中的无穷级数。三角函数集或复指数函数

5、集是完备的正交函数集，由三角函数集或复指数函数集是完备的正交函数集，由其展开的级数统称为其展开的级数统称为傅里叶级数傅里叶级数。一一.周期信号的分解周期信号的分解 设有周期信号设有周期信号f(t)，可分解为，可分解为 an、bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数。可由下式求得。可由下式求得7an是是n的偶函数，即的偶函数，即 anan；bn是是n的奇函数，即的奇函数，即 bnbn。f(t)分解式的另一种形式分解式的另一种形式式中式中 A0=a08例：将方波信号例：将方波信号展开为傅里叶展开为傅里叶级数。级数。1f(t)t-T-1T解：傅里叶系数为解：傅里叶系数为 9傅里叶级数的展开式为傅里叶级数的展

6、开式为 10图示方波信号分解图示方波信号分解吉布斯吉布斯(Gibbs)现象现象：当：当n时，在间断点处有时，在间断点处有9%的偏差。的偏差。如果方波信号如图所示如果方波信号如图所示1f(t)t-T-1T则傅里叶级数的展开式为则傅里叶级数的展开式为 11二二二二.奇、偶函数的傅里叶系数奇、偶函数的傅里叶系数奇、偶函数的傅里叶系数奇、偶函数的傅里叶系数 根据傅里叶系数计算式，根据傅里叶系数计算式，f(t)为偶函数，则系数为为偶函数，则系数为 f(t)为奇函数，则系数为为奇函数，则系数为 12任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分 f(t)fod(t)fev(t

7、)由于由于 f(t)fod(t)fev(t)fod(t)fev(t)所以所以 例例f(t)=et(t)，则，则0tf(t)0.50.50tf(t)0.513Ff(t)t-TTFf(-t)t-TTFfod(t)t-TTFfev(t)t-TT半波整流波形半波整流波形14全波整流信号全波整流信号 f1(t)=E|sin 0t|Ef1(t)t-TT15求半波整流信号求半波整流信号f2(t)Esin(0t)(sin 0t)的傅立叶级数。的傅立叶级数。Ef2(t)t-TT半波整流信号是由奇函数和偶函数两部分组成的：半波整流信号是由奇函数和偶函数两部分组成的：16f(t)为奇谐函数：将为奇谐函数：将f(t)

8、移动移动 T/2后，与原波形反相，后，与原波形反相，即对称于横轴即对称于横轴 f(t)f(t T/2)1f(t)t-TT奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含偶次谐波。偶次谐波。17三三三三.傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式 因为因为cosx(ejxejx)/2，所以，所以 AnAn n n18Fn称为复傅里叶系数，计算式为称为复傅里叶系数，计算式为 19傅里叶级数小结：傅里叶级数小结：204.3 周期信号的频谱周期信号的频谱一一.周期信号的频谱周期信号的频谱 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅

9、里叶级数An、Fn、n与与n 有关，也即与频率有关，也即与频率 有关。有关。An或或|Fn|与与 之间的关系称为幅频特性，相应地可画出之间的关系称为幅频特性，相应地可画出频谱图，称为频谱图，称为幅度频谱幅度频谱。n与与 之间的关系称为之间的关系称为相位频谱相位频谱。周期信号的频谱只在周期信号的频谱只在 n 处取值，是离散频谱。处取值，是离散频谱。21Sa(x)二二.周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱01T/2-T-/2f(t)t定义定义取样函数取样函数为为Sa(x)为偶函数为偶函数22所以所以在频谱图上在频谱图上 n 处，存在谱线，谱线间隔为处，存在谱线，谱线间隔为 。T不变：不变：减小，幅

10、度减小，一周内谱线增加，间隔不变。减小，幅度减小，一周内谱线增加，间隔不变。不变：不变：T增加，幅度减小，谱线间隔变密。增加，幅度减小，谱线间隔变密。图示频谱图图示频谱图。信号能量集中在第一个零点内，信号能量集中在第一个零点内，2/2 f0。定义周期矩形脉冲信号的频带宽度为：定义周期矩形脉冲信号的频带宽度为：F=f0=1/。23三三.周期信号的功率周期信号的功率 周期信号的归一化平均功率周期信号的归一化平均功率这是功率形式的帕斯瓦尔恒等式。这是功率形式的帕斯瓦尔恒等式。例：幅度为例：幅度为1，脉冲宽度为，脉冲宽度为0.2，周期为，周期为1的矩形脉冲的矩形脉冲信号，信号功率为信号，信号功率为 2

11、4其傅里叶系数为其傅里叶系数为第一个零点为第一个零点为0.2n=，即，即n=5。在频谱第一个零点内各分量的功率和为在频谱第一个零点内各分量的功率和为第一个零点内分量所占总功率的比例为第一个零点内分量所占总功率的比例为 254.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱一一.傅里叶变换傅里叶变换 由傅里叶级数的指数形式及其系数可得由傅里叶级数的指数形式及其系数可得当当T时，时，d，1/Td/2，n，离散频率，离散频率变成连续频率，变成连续频率，Fn为无穷小。为无穷小。上式成为上式成为 26常用下面符号简记：常用下面符号简记：F(j)F F f(t)F F f(t)表示对函数表示对函数f(t)取傅里叶变

12、换，取傅里叶变换，F(j)称为称为f(t)的的频谱密度函数频谱密度函数或或频谱函数频谱函数；f(t)F F 1F(j)F F 1F(j)表示对函数表示对函数F(j)取逆变换取逆变换，f(t)称为称为F(j)的的原函数原函数。对应关系简记为：对应关系简记为：f(t)F(j)频谱函数是频谱函数是 的的复函数复函数 F(j)|F(j)|ej()R()jX()其中其中|F(j)|为幅度频谱，为幅度频谱，()为相位频谱。为相位频谱。27比较：实函数比较：实函数f(t)，复函数，复函数F(j)，复变函数，复变函数F(s)。傅里叶变换的三角函数形式傅里叶变换的三角函数形式物物理理意意义义：非非周周期期信信号

13、号含含有有所所有有连连续续频频率率分分量量，但但其其幅值为无穷小，用密度代替幅度来表示。幅值为无穷小，用密度代替幅度来表示。傅里叶积分由傅里叶级数推导而得，所以傅里叶积分由傅里叶级数推导而得，所以f(t)在无限区在无限区间上满足狄氏条件是傅里叶积分存在的条件。间上满足狄氏条件是傅里叶积分存在的条件。|F(j)|是偶函数是偶函数该项积分为该项积分为028一些特殊函数的傅里叶变换一些特殊函数的傅里叶变换(1)门函数的频谱函数门函数的频谱函数门函数门函数 g(t)(t/2)(t/2)频谱图频谱图 傅里叶积分存在的充分条件是傅里叶积分存在的充分条件是f(t)在无限区间上绝对可积在无限区间上绝对可积 f

14、(t)t/21029(2)单边指数函数的频谱函数单边指数函数的频谱函数单边指数函数单边指数函数f(t)e t(t)0 幅度谱和相位谱幅度谱和相位谱分别为分别为 0tf(t)30(3)双边指数函数的频谱函数双边指数函数的频谱函数双边指数函数双边指数函数f1(t)e|t|0(4)另一形式的双边指数函数的频谱函数另一形式的双边指数函数的频谱函数双边指数函数双边指数函数(0)31二二二二.奇异函数的傅里叶变换奇异函数的傅里叶变换奇异函数的傅里叶变换奇异函数的傅里叶变换 (1)冲激函数的频谱冲激函数的频谱 频谱密度恒为频谱密度恒为1，称为均匀谱或白色频谱。，称为均匀谱或白色频谱。冲激函数的频谱也可由门函

15、数推得冲激函数的频谱也可由门函数推得 (t)1 32(2)冲激函数导数的频谱冲激函数导数的频谱即即 (t)j 幅度谱幅度谱|F(j)|，相位谱，相位谱()/2。根据广义函数导数的定义可得根据广义函数导数的定义可得 F F (n)(t)(j)n。(3)单位直流信号的频谱单位直流信号的频谱单位直流信号可看作双边指数函数单位直流信号可看作双边指数函数f1(t)当当0时的时的极限极限 直流分量为有限值，频谱密度为无穷。直流分量为有限值，频谱密度为无穷。33 频谱函数是冲激函数，其强度为频谱函数是冲激函数，其强度为所以所以(4)符号函数的频谱符号函数的频谱 符号函数符号函数定义为定义为 1sgn(t)t

16、0-134sgn(t)可看作是双边指数函数可看作是双边指数函数f2(t)当当0时的极限，其时的极限，其频谱函数为频谱函数为通常表示为通常表示为 sgn(t)2/j (5)阶跃函数的频谱阶跃函数的频谱 35常用函数的傅里叶变换：常用函数的傅里叶变换：364.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质(1)线性线性 若若 fi(t)Fi(j)(i=1,2,n)则对任意常数则对任意常数ai(i=1,2,n)，有，有 傅里叶变换对傅里叶变换对傅立叶变换后线性性质不变。傅立叶变换后线性性质不变。37(2)(2)奇偶性奇偶性奇偶性奇偶性分析频谱函数的奇偶性，及其与时间函数之间的关系。分析频谱函数的奇偶性，及其与

17、时间函数之间的关系。频谱函数的实部和虚部分别为频谱函数的实部和虚部分别为 频谱函数的模和相角分别为频谱函数的模和相角分别为 38f(t)是时间是时间t的实函数：的实函数：R()=R(),X()=X()|F(j)|=|F(j)|,()=()若若f(t)是偶函数，则是偶函数，则X()0，F(j)R()；若若f(t)是奇函数，则是奇函数，则R()0，F(j)jX()。f(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为 F(j)R()jX()R()jX()F*(j)即即 F F f(t)F(j)F*(j)39f(t)是时间是时间t的虚函数，即的虚函数，即f(t)=jg(t)，则有，则有 R()=R(),X()=X(

18、)|F(j)|=|F(j)|,()=()F F f(t)F(j)=F*(j)类似可得类似可得f(t)为复函数的性质。为复函数的性质。无论无论f(t)为实函数或复函数，都有为实函数或复函数，都有F F f(t)=F(j)F F f*(t)=F*(j)F F f*(t)=F*(j)40(3)(3)对称性对称性对称性对称性若若f(t)F(j)则则 F(jt)2 f()傅里叶逆变换式傅里叶逆变换式将式中的自变量将式中的自变量t换为换为t得得 将上式中的将上式中的t换为换为，换为换为t，即得，即得41例：求取样函数例：求取样函数Sa(t)=sint/t的频谱函数。的频谱函数。门函数傅氏变换门函数傅氏变换

19、 g(t)Sa(/2)根据对称性根据对称性 Sa(t/2)2 g()令令 2，则得，则得 Sa(t)g2()例：求函数例：求函数f(t)=t的频谱函数。的频谱函数。(t)j jt 2()=2()t j2()42(4)(4)(4)(4)尺度变换尺度变换尺度变换尺度变换 若若 f(t)F(j)则则 如如a1，则表示在时域中信号对时间的压缩，对应其在，则表示在时域中信号对时间的压缩，对应其在频域中信号占有频带的扩展。频域中信号占有频带的扩展。证明：证明：令令x=at，则当，则当a0时时 43令令x=tt0(5)(5)时移特性时移特性时移特性时移特性 当当a0时时若若 f(t)F(j)则则 f(t t

20、0)e j t0F(j)，(t0为常数为常数)证明：证明：同理可得同理可得f(t+t0)的变换。的变换。44例：求图示五脉冲信号的频谱。例：求图示五脉冲信号的频谱。解：单脉冲信号的变换为解：单脉冲信号的变换为 g(t)Sa(/2)因为因为 f(t)g(t)+g(t+T)+g(tT)+g(t+2T)+g(t2T)所以所以 F(j)Sa(/2)(1+ej T+ej T+ej2 T+ej2 T)Sa(/2)1+2cos(T)+2cos(2 T)当当T4 时波形见图时波形见图4.5-4。f(t)t/2T10-T2T-2T脉冲数脉冲数n？45综合尺度变换和时移特性有综合尺度变换和时移特性有若若 f(t)

21、F(j)则则由尺度变换可得反转特性由尺度变换可得反转特性:F F f(t)F(j)例：求图示例：求图示f2(t)、f3(t)函数的傅里叶变换。函数的傅里叶变换。f1(t)t-1110f2(t)t-2210-1f3(t)t-1110-1 46解：解：f1(t)为门函数，其傅里叶变换为为门函数，其傅里叶变换为g2(t)2Sa()函数函数f2(t)可表示为可表示为 f2(t)=f1(t+1)f1(t1)其傅里叶变换其傅里叶变换又又f3(t)=f2(2t)，所以，所以47f3(t)也可直接由综合变换式求得也可直接由综合变换式求得 f3(t)=g2(2t+1)g2(2t1)g2(t)2Sa()48(6)

22、(6)频移特性频移特性频移特性频移特性 若若f(t)F(j)，且，且 0为常数为常数则则 应用频移特性实现频谱搬移，将信号应用频移特性实现频谱搬移，将信号f(t)乘以载频信乘以载频信号号cos 0t或或sin 0t得到。得到。因为因为 同理可得同理可得49例：例：矩形调幅信号矩形调幅信号50(7)(7)卷积定理卷积定理卷积定理卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理 若若 f1(t)F1(j)f2(t)F2(j)则则f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)证明：证明：51频域卷积定理频域卷积定理 若若f1(t)F1(j)f2(t)F2(j)则则 证明：证明：52例：求斜升函数例：求斜升函数r(t)

23、=t(t)的频谱。的频谱。解：根据函数解：根据函数t和和(t)的频谱，应用频域卷积定理的频谱，应用频域卷积定理 由此可得：由此可得：F F|t|=F F t(t)+(t)(t)53(8)(8)时域微分和积分时域微分和积分时域微分和积分时域微分和积分 时域微分定理时域微分定理 若若 f(t)F(j)则则 f(n)(t)(j)nF(j)根据卷积的微分运算和时域卷积定理，则有根据卷积的微分运算和时域卷积定理，则有 F F f(t)=F F f(t)*(t)=F F f(t)F F (t)=j F(j)重复应用以上结果得时域微分定理。重复应用以上结果得时域微分定理。在交流电路分析时：在交流电路分析时：

24、时域积分定理时域积分定理 若若 f(t)F(j)则则 f(1)(t)F(0)()+(j)1F(j)54根据时域卷积定理，可得根据时域卷积定理，可得 F F f(1)(t)=F F f(1)(t)*(t)=F F f(t)*(1)(t)=F F f(t)F F (t)=F(j)()+1/j =F(0)()+F(j)/j F(0)可以在频域中求，也可在时域中求：可以在频域中求，也可在时域中求：55例：求三角形脉冲的频谱函数。例：求三角形脉冲的频谱函数。f(t)t-/2/210f(t)t-/2/22/0-2/f(t)t-/2/20(2/)(2/)(-4/)对其求二次导数得冲激函数对其求二次导数得冲激

25、函数56f(t)的频谱函数为的频谱函数为因为因为F(0)=0，F(j)/j|=0=0，所以，所以f(t)的频谱函数为的频谱函数为则三角形脉冲可表示为则三角形脉冲可表示为 57则频谱函数应为则频谱函数应为在时域积分定理中认为在时域积分定理中认为实际上实际上例：例：(t)与与sgn(t)/2的导数都是的导数都是(t)，但，但 时值时值不同不同58(9)(9)频域微分和积分频域微分和积分频域微分和积分频域微分和积分 频域微分频域微分若若f(t)F(j)则则 (jt)nf(t)F(n)(j)或或 tnf(t)jnF(n)(j)证：证：F F 1F(j)=F F 1F(j)*()=2 F F 1F(j)

26、F F 1()即即 (jt)1f(t)F(1)(j)类推可得类推可得n次微分。次微分。时域函数有时域函数有tn因子时，变换可考虑用频域微分性质。因子时，变换可考虑用频域微分性质。59频域积分频域积分若若f(t)F(j)则则 式中式中f(0)可以在时域中求，也可在频域中求可以在时域中求，也可在频域中求证明：证明：F F 1F(1)(j)=F F 1F(j)*(1)()=2 F F 1F(j)F F 1()=2 f(t)F F 1()60时域函数有时域函数有t1因子时，且因子时，且f(0)=0，可考虑用如下频域，可考虑用如下频域积分性质积分性质因为因为根据对称性根据对称性取反转取反转61例：求例：

27、求r(t)=t(t)的频谱函数。的频谱函数。例：求例：求Sa(t)=sint/t的频谱函数。的频谱函数。应用频域微分应用频域微分应用频域积分应用频域积分62若若 f1(t)F1()，f2(t)F2()则有相关定理则有相关定理 F F R12()=F1(j)F2*(j)F F R21()=F1*(j)F2(j)这是因为这是因为 F F R12()=F F f1()*f2()=F1(j)F2(j)=F1(j)F2*(j)相关定理中相关定理中f1(t)、f2(t)应该是实函数。应该是实函数。对于自相关函数则有对于自相关函数则有 F F R()=F(j)F*(j)=|F(j)|2(10)(10)相关定

28、理相关定理相关定理相关定理 63傅里叶变换性质小结傅里叶变换性质小结 线性线性 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(j)+a2F2(j)奇偶性奇偶性 f(t)为实函数：为实函数：R()、|F(j)|偶函数；偶函数；X()、()奇函数。奇函数。F F f(t)=F(j)=F*(j)对称性对称性 F(jt)2 f()时移特性时移特性 尺度变换尺度变换64时域卷积定理时域卷积定理 f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j)频域卷积定理频域卷积定理 时域微分时域微分f(n)(t)(j)nF(j)时域积分时域积分 频域微分频域微分(jt)nf(t)F(n)(j)频域积分频域积分 频移特性频移特性65

29、若若E、P有界，则有界，则f(t)称为称为能量信号能量信号或或功率信号功率信号。能量谱能量谱 若若f(t)为实函数，信号能量与频谱函数的关系为实函数，信号能量与频谱函数的关系 4.6 能量谱和功率谱能量谱和功率谱66即即 上式也是能量形式的帕斯瓦尔方程。上式也是能量形式的帕斯瓦尔方程。可将上式改写为可将上式改写为物理意义：在物理意义：在df频带范围内，信号具有的能量为无穷小频带范围内，信号具有的能量为无穷小量量|F(j)|2df。定义定义能量密度谱能量密度谱 E E ()=|F(j)|2信号的能量谱是其自相关函数的信号的能量谱是其自相关函数的频谱函数频谱函数 E E ()=F F R()=|F

30、(j)|2E E ()反映了信号的能量在频域中的分布。反映了信号的能量在频域中的分布。67功率谱功率谱 定义函数定义函数 fT(t)=f(t)(t+T/2)(tT/2)FT(j)=F F fT(t)如果如果f(t)是实函数，则信号平均功率为是实函数，则信号平均功率为当当T时，时，fT(t)f(t)。定义。定义功率密度谱功率密度谱为为功率谱功率谱P P ()反映信号功率在频域中分布。反映信号功率在频域中分布。68若若f1(t)和和f2(t)是功率信号，定义互相关函数为是功率信号，定义互相关函数为若若f(t)是功率信号，定义自相关函数为是功率信号，定义自相关函数为其傅立叶变换为其傅立叶变换为69即

31、即 R()P P ()此即此即维纳维纳-欣钦关系欣钦关系，据此可用功率谱描述随机信号的，据此可用功率谱描述随机信号的频率特性。频率特性。例：求信号例：求信号f(t)=Sa(t)的能量。的能量。解：已知变换对解：已知变换对根据信号的能量与频谱函数关系式，根据信号的能量与频谱函数关系式，Sa(t)的能量为的能量为704.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换一一.正、余弦函数的傅里叶变换正、余弦函数的傅里叶变换二二.一般周期函数的傅里叶变换一般周期函数的傅里叶变换 周期函数展开成傅里叶级数周期函数展开成傅里叶级数 式中式中=2/T。71周期函数的傅里叶变换周期函数的傅里叶变换 上式表明周期函

32、数的上式表明周期函数的F(j)和和Fn之间关系。之间关系。傅里叶变换得到的是频谱密度傅里叶变换得到的是频谱密度F(j)，傅里叶级数得，傅里叶级数得到的是傅里叶系数到的是傅里叶系数Fn。周期性单位冲激函数系列称为梳状函数周期性单位冲激函数系列称为梳状函数 72所以所以 T(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为 梳状函数的傅里叶系数为梳状函数的傅里叶系数为0-2T-TT2T T(t)t0-2-2 ()73周期信号周期信号fT(t)在一个周期内在一个周期内(T/2T/2)函数令为函数令为f0(t)，则则 fT(t)=f0(t)*T(t)(见见P71)其傅里叶变换为其傅里叶变换为 比较比较可得可得傅里叶变

33、换中的一些性质、定理也可用于傅里叶级数。傅里叶变换中的一些性质、定理也可用于傅里叶级数。主周期信号主周期信号f0(t)包含了周期信号包含了周期信号fT(t)的全部信息。的全部信息。74则其傅里叶变换为则其傅里叶变换为 例：周期矩形脉冲信号例：周期矩形脉冲信号其傅里叶系数为其傅里叶系数为7576例：将图示周期信号展开成指数型傅里叶级数。例：将图示周期信号展开成指数型傅里叶级数。fT(t)0t1T-T解：解：f1(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为f0(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为 f0(t)0t1Tf1(t)0t1T/277fT(t)的傅里叶系数为的傅里叶系数为 fT(t)的傅里叶级数为的傅里

34、叶级数为 实际上实际上784.8 LTI系统的频域分析系统的频域分析一一.频率响应频率响应 系统的时域分析法用系统的时域分析法用(t)或或(t)作为基本信号，系统作为基本信号，系统的频域分析法可用虚指数函数的频域分析法可用虚指数函数ej t作为基本信号。作为基本信号。在时域分析中，系统的零状态响应为在时域分析中，系统的零状态响应为 yzs(t)=h(t)*f(t)应用傅里叶变换的时域卷积性质应用傅里叶变换的时域卷积性质，上式成为，上式成为 yzs(t)=F F 1H(j)F(j)频域分析法就是应用频域函数分析系统的响应，将频域分析法就是应用频域函数分析系统的响应，将时域中的卷积运算变换为频域中

35、的相乘运算。时域中的卷积运算变换为频域中的相乘运算。由于在频域分析时，只能求系统的零状态响应，因由于在频域分析时，只能求系统的零状态响应，因此以下此以下yzs(t)简写为简写为y(t)。79LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，设激励为虚指数函数，设激励为虚指数函数f(t)=ej t(t)，则系统的零状态响应，则系统的零状态响应 y(t)=h(t)*f(t)式中式中H(j)是是h(t)的傅里叶变换，称为的傅里叶变换，称为系统频率响应函系统频率响应函数数或或系统函数系统函数。H(j)反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位变化。的幅度和相位变化。任意信号任意信号f(t)可以看作无穷多个

36、虚指数信号可以看作无穷多个虚指数信号ej t之和，即之和，即 80任意信号激励下的零状态响应的推导：任意信号激励下的零状态响应的推导：H(j)也可定义为也可定义为|H(j)|称为称为幅频特性幅频特性，()称为称为相频特性相频特性。81例：求系统例：求系统y(t)+2y(t)=f(t)的零状态响应，的零状态响应，f(t)=et(t)。解：对微分方程取傅里叶变换得解：对微分方程取傅里叶变换得 j Y(j)+2Y(j)=F(j)由此得由此得激励的傅里叶变换激励的傅里叶变换 响应的傅里叶变换响应的傅里叶变换 取傅里叶逆变换得系统响应取傅里叶逆变换得系统响应 y(t)=(ete2t)(t)82例：电路如

37、图所示，激励为例：电路如图所示，激励为us(t)=(t)，求零状态，求零状态响应响应uC(t)。+CR_+us(t)_uC(t)解：电路频率响应函数为解：电路频率响应函数为激励的傅里叶变换激励的傅里叶变换 83电路零状态响应电路零状态响应uC(t)的频谱函数的频谱函数为为 取傅里叶逆变换得取傅里叶逆变换得 uC(t)=F F 1UC(j)=(1 et)(t)根据交流电路建立电路方程的方式，得到频率响应函根据交流电路建立电路方程的方式，得到频率响应函数，由数，由H(j)可求得系统的零状态响应。可求得系统的零状态响应。84例：求图示系统的输出例：求图示系统的输出y(t)。已知。已知f(t)s(t)

38、x(t)y(t)H(j)解：门函数的频谱函数为解：门函数的频谱函数为取取 4，根据对称性可得，根据对称性可得 4Sa(2t)2 g4()=2 g4()即即 F F sin(2t)/t=g4()s(t)的频谱函数为的频谱函数为 F F cos(3t)=(+3)+(3)85根据系统图得根据系统图得y(t)=h(t)*x(t)=h(t)*f(t)s(t)取傅里叶变换得取傅里叶变换得 86取逆变换可得取逆变换可得-11X(j)5-5g4(+3)+g4(3)H(j)3-3g6()Y(j)-113-3g2(+2)+g2(2)87二二二二.无失真传输无失真传输无失真传输无失真传输无失真传输的输出信号定义为：

39、无失真传输的输出信号定义为：y(t)=Kf(ttd)对上式取傅里叶变换得：对上式取傅里叶变换得：Y(j)=Kej tdF(j)系统的频率响应函数为：系统的频率响应函数为：H(j)=Kej td 所以无失真传输的条件为所以无失真传输的条件为|H(j)|=K ()=td|H(j)|0 K()0 88无失真传输系统的冲激响应为无失真传输系统的冲激响应为 h(t)=K(ttd)无失真传输系统的冲激响应还是冲激函数，但有强度变无失真传输系统的冲激响应还是冲激函数，但有强度变化和延时。化和延时。三三.理想低通滤波器的响应理想低通滤波器的响应理想低通滤波器可看作频域中宽度为理想低通滤波器可看作频域中宽度为2

40、 c的门函数的门函数根据对称性，由根据对称性，由得得|H(j)|0 1 c-c()89令令=2 c，得，得 所以所以 理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应 冲激响应在输入冲激之前就已出现，因而是非因果系冲激响应在输入冲激之前就已出现，因而是非因果系统，这是由于理想化的结果，实际不可实现。统，这是由于理想化的结果，实际不可实现。90理想低通滤波器的阶跃响应为理想低通滤波器的阶跃响应为式中式中Sa(x)为偶函数，其积分为偶函数，其积分定义定义正弦积分正弦积分 所以所以令令 c(td)=x xc=c(ttd)91物理可实现系统应满足的条件：物理可实现系统应满足的条件：时域（因果条件）时域

41、（因果条件）h(t)0,t0 g(t)0，t2 m时，不发生混叠现象，可以从取样信号中恢时，不发生混叠现象，可以从取样信号中恢复原信号。否则就不能恢复原信号。复原信号。否则就不能恢复原信号。例：对信号例：对信号f(t)=2sin 0t+sin3 0t进行冲激取样，取样频进行冲激取样，取样频率应为多少？率应为多少？因为因为 m=3 0，所以，所以 s6 0。矩形脉冲取样矩形脉冲取样 取样脉冲序列是幅度为取样脉冲序列是幅度为1，脉宽为，脉宽为(Ts)的矩形脉冲序的矩形脉冲序列列 s(t)=pTs(t)其频谱函数其频谱函数(见见P168)为为96则取样信号的频谱函数则取样信号的频谱函数f(t)0tF

42、(j)0 m-mP(j)0 spTs(t)0tTs1fs(t)0tTsFs()0 s m97二二二二.时域取样定理时域取样定理时域取样定理时域取样定理f(t)s(t)fs(t)h(t)f(t)为了从为了从Fs(j)中无失真地恢复中无失真地恢复F(j)，选择一个理想低通，选择一个理想低通滤波器滤波器(时延为时延为0，幅度为，幅度为Ts)输出信号频谱输出信号频谱F(j)=Fs(j)H(j)F(j)0 s m c98低通滤波器是幅值为低通滤波器是幅值为Ts的门函数，其冲激响应为的门函数，其冲激响应为由此得由此得 令令 c=s/299100f(t)0tfs(t)0tTs-Tsh(t)0tTs-TsFs

43、(j)0 s m-s0 cH(j)-c0 F(j)m-mF(j)S(j)Fs(j)H(j)F(j)101时域取样定理时域取样定理：一个频谱在区间：一个频谱在区间(m，m)以外为以外为零的带限信号零的带限信号f(t)，可唯一地由其在均匀间隔，可唯一地由其在均匀间隔Ts(Ts2 m)上的样点值上的样点值f(nTs)确定。确定。奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist)频率频率：取样频率的下限：取样频率的下限fs2fm；奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔：取样间隔的上限：取样间隔的上限TsTm/2。例例1：求信号：求信号f(t)2+4cos(5t)+cos(10t)的取样频率。的取样频率。解：因为解：因为 m2 fm

44、10 rad/sf(t)最高频率最高频率 fm5/Hz奈奎斯特频率奈奎斯特频率 fs2fm10/Hz奈奎斯特间隔奈奎斯特间隔 Ts 1/fs/10 s 102例例2：求信号：求信号f(t)Sa(100t)的取样频率。的取样频率。解：因为解：因为 Sa(t/2)2 g()取取 200，其，其 m100 rad/s，fm50/Hz所以所以 fs100/Hz，Ts/100 s频域取样定理频域取样定理：一个在时域区间：一个在时域区间(tm，tm)以外为零以外为零的有限时间信号的有限时间信号f(t)的频谱函数为的频谱函数为F(j)，可唯一地由，可唯一地由其在均匀频率间隔其在均匀频率间隔fs(fs600

45、Hz(2)f2(t)的频谱函数为的频谱函数为F(j)*F(j)0 m-2 m|F()|F()|2 m115卷积的频率范围为卷积的频率范围为(2 m 400 Hz(3)时域卷积对应频域相乘，两频谱函数的最高频率分时域卷积对应频域相乘，两频谱函数的最高频率分别为别为100Hz和和200Hz，取小，取小fm=100Hz，所以，所以 fs200Hz(4)f(t)+f2(t)，两频谱函数相加，取大，两频谱函数相加，取大fm=200Hz，所以，所以 fs400Hz116题题4.49解：解：(1)F(j)=10()+2 (+1)+(1)+(+2 1)+(2 1)(1=2 f1)0f(103 Hz)2F(j)

46、-2-11 s2 fs2 5f15 1117f(103Hz)02Fs(j)-2-115-510-10(2)低通滤波器的截止角频率为低通滤波器的截止角频率为2kHz fc 3kHz118题题4.50f(103Hz)02Fs(j)-2-11解：解：(1)因为因为 s=2 0.8f1=0.8 1，取样信号频谱函数取样信号频谱函数(2)滤波滤波(0.5f1f0.5f1)后频谱函数后频谱函数 Y(j)=10()+2 (+0.2 1)+(0.2 1)+2 (+0.4 1)+(0.4 1)y(t)=5+2cos(0.2 1t)+2cos(0.4 1t)119题题4.52解：先分别求出解：先分别求出X1(t)和和X2(t)的频谱函数的频谱函数f(t)cos(0t)H(j)x2(t)y(t)x1(t)sin(0t)+120输出信号的频谱函数输出信号的频谱函数121Y(j)的频谱图的频谱图0 Y(j)0-0 m0 F(j)m-m122习习 题题 4.6(4);4.9;4.10;4.12 4.13(a),(b);4.15;4.17(1),(2);4.18(1),(2);4.18(5);4.19(a);4.20(3),(7),(9);4.21(3),(5);4.22(a);4.25;4.27;4.28;4.30(2);4.31;4.34;4.37;4.38;4.42;4.45;4.51123