计算机数学15讲课稿.ppt

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1、第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页计算机数学15第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页基本要求基本要求掌握集合、子集、全集、空集和幂集等概念。熟悉常用的表示集合的方掌握集合、子集、全集、空集和幂集等概念。熟悉常用的表示集合的方法。能够判定元素与集合、集合与集合之间的关系；熟练掌握两个集合相法。能够判定元素与集合、集合与集合之间的关系；熟练掌握两个集合相等关系和包含关系的定义和性质，能够利用定义证明两个集合相等。等关系和包含关系的定义和性质，能够利用定义证明两个集合相等。熟练掌握集合之间的各种运算以及集合运算的基本等式，能够利用它们熟练掌握集合之间的各种运算以

2、及集合运算的基本等式，能够利用它们来证明更复杂的集合等式。来证明更复杂的集合等式。掌握余集与集合笛卡儿乘积的概念以及掌握余集与集合笛卡儿乘积的概念以及DeMorgan公式。公式。第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页重点难点重点难点重点：重点：证明两个集合相等的方法；证明两个集合相等的方法；运用集合之间的各种运算以及集合运算的基本等式来证明更复杂运用集合之间的各种运算以及集合运算的基本等式来证明更复杂的集合等式。的集合等式。第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页15.1 15.1 集合集合 集合概念是数学中最基本的概念之一，它不具有严格精确的定义，只能给出描述性

3、定义。一般地，把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来研究时，这个整体便称为一个集合.组成这个集合的个别事物，称为集合的元素。例如：15.1.1 15.1.1 集合的概念与表示方程方程x210的实数解集合；的实数解集合；26个英文字母的集合；个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；坐标平面上所有点的集合；表示一个集合的方法通常有两种：表示一个集合的方法通常有两种：列举法列举法和和描述法描述法。列举法是列出集合的所有元素、或其规律。例如：列举法是列出集合的所有元素、或其规律。例如：A=a,b,c,d,B=1,2,3,4 描述法是将集合中元素的共同属性描述出来，其一般形式为：描述法是将集合中元

4、素的共同属性描述出来，其一般形式为：M=xx所具有的特征所具有的特征第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页例如：A=yy=sinx，xRB=(x，y)x2+y2=R2C=(x，y，z)z=x2-y2常见的几个数集用特定的符号表示：常见的几个数集用特定的符号表示：N=xx为自然数为自然数Z=xx为整数为整数Q=xx为有理数为有理数R=xx为实数为实数如果集合A的元素都是集合B的元素，即若xA，则有xB，则称A是B的子集，B包含A，记为A B，或B A。例如N Z，Z Q，Q R。若A A，且B A，则称集合A与A相等，记为A=B。例如：如果：如果：A=xx2-1=0，B=1，-1

5、，C=xx=1则有：则有：A=B=C不含任何元素的集合称为空集，记为不含任何元素的集合称为空集，记为.例如：例如：xx2+1=0，xR=第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集全集，记为E。全集是一个相对性概念。由于研究的问题不同，所取的全集也不同，而且并非是惟一的，一般总是取一个比较方便的集合作为全集全集。例如：在研究函数定义域时，我们取全集E=R。显然对任一集合A有 A E设A是一个集合，由A的所有子集组成的集合，称为集合A的幂集幂集，记为(A)或2A。例15.1.1设设:A=，B=1，C=a，b，c求求

6、:A、B、C的幂集解解:(A)=(B)=，1(C)=，a，b，c，a，ba，c，b，c，a，b，c第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页定理定理15.1 如果有限集合如果有限集合A中元素的个数中元素的个数(称为集合称为集合A的元数的元数 )为为n，则幂集，则幂集(A)的元数为的元数为2 n。证证：n元集合元集合A，它的，它的0 0元子集有元子集有C0n个个(即即 )，1 1元子集有元子集有C1n 个，个，m元子集有元子集有C mn个，个，n元子集有元子集有C nn个，全部子集共有个，全部子集共有Cn0+Cn1+C nm+C nn=2 n即：幂集即：幂集(A)的元数为的元数为2n

7、第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页 15.1.2 15.1.2 集合的运算集合的运算定义定义17.1 设有全集设有全集E，A和和B是其中两个任意集合。是其中两个任意集合。(1)(1)所有属于所有属于A A或属于或属于B B的元素组成的集合称为集合的元素组成的集合称为集合A A与与B B的并集，记为的并集，记为AB。即即 AB=xxA 或或xB(2)(2)属于属于A同时又属于同时又属于B的所有元素组成的集合，称为的所有元素组成的集合，称为A与与B的交集，记为的交集，记为AB。即。即 AB=xxA 且且xB(3)(3)属于属于A而不属于而不属于B的所有元素组成的集合，称为的所有

8、元素组成的集合，称为A与与B的差集，的差集，记为记为A-B。即。即 A-B=xxA 且且x B(4)(4)由由E E中所有不属于中所有不属于A A的元素组成的集合称为的元素组成的集合称为A A的补集，记为的补集，记为 。即。即 =xxE 且且x A第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页例 15.1.1设:E=R，A=xx3，B=x0 x5则：AB=x-3x5AB=x0 x3A-B=x-3x0 例15.1.2 若：AB则：AB=B，AB=A，A-B=为了直观，有时我们用文氏图(Venn)来表示集合，即用矩形圈起来的平面上的点表示E，用封闭曲线圈起来的圆表示集。则集合的四种运算的文

9、氏图表示即为图所示。=xx-3或或x3ABABA-B第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页 图与实数运算满足一些运算律类似，集合的运算也具有许多运算律.设A，B，C为任意集合，则有恒等式如下：l(1)交换律AB=BA，AB=BAl(2)结合律A(BC)=(AB)C，A(BC)=(AB)Cl(3)分配律A(BC)=(AB)(AC)，A(BC)=(AB)(AC)l(4)等幂律AA=A，AA=Al(5)同一律A=A，AE=Al(6)零一律A=，AE=El(7)互补律A=E，A=l(8)吸收律A(AB)=A，A(AB)=Al(9)摩根律 l(10)对合律 =A例15.1.3有：有：A-

10、B=A试证：试证：A-(B-C)=(A-B)(AC)证：证：A-(B-C)=A(BC)=A(C)=A(C)(A-B)(AC)=(A)(AC)=A(C)故：故：A-(B-C)=(A-B)(AC)第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页15.2关系关系定义定义15.2 两元素按给定顺序排列组成的二元组合称为一个有序对，记为x，y。其中x是它的第一元素，y是它的第二元素.对于有序对a，b和c，d，当且仅当a=c且b=d 时，才称a，b与c，d相等，记为a，b=c，d。当ab时，有序对a，bb，a。例如，平面上的点(x，y)就是一个有序对。定义定义15.3 设A、B是两个集合，xA，yB

11、，则所有有序对x，y的集合，称为A和B的笛卡尔乘积，记为AB。15.2.1 15.2.1 笛卡尔乘积第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页例例15.2.1设:A=1，2，B=a，b，c，则则:AB=1，a，1，b，1，c，2，a，2，b，2，cBA=a，1，b，1，c，1，a，2，b，2，c，2AA=1，1，2，2，1，2，2，1BB=a，a，a，b，a，c，b，a，b，b，b，c，c，a，c，b，c，c第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页关系是使用非常广泛的一个词，例如人与人之间有朋友关系，夫妻关系，同学关系，师生关系等；两个数之间有大小关系，相等关系，整除

12、关系，运算关系等；计算机的程序之间有调用关系等。现在我们将这些关系抽象，用有序对来刻画。15.2.2关系的概念关系的概念定义定义15.4若若A和和B是两个集合，则是两个集合，则AB的任何子集都定义了一个二元关系，简称的任何子集都定义了一个二元关系，简称关系。记关系。记R，即即R AB若若a，bR，可记为，可记为aRb；否则，则记为；否则，则记为ab.例如：例如：自然数之间的大于关系自然数之间的大于关系=x，yx，yN，且，且xy；人群中人群中的父子关系的父子关系=x，yx，y是人，并且是人，并且x是是y的父亲。的父亲。第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页定义定义15.5设设R

13、 为集合为集合A上的关系上的关系.若若R=，则称，则称R为为空关系空关系，记为，记为A.若若R=AA，则称则称R为为全关系全关系，记为，记为EA；若；若R=a，aaA，则称则称R为为恒等关系恒等关系，记为记为IA。例例15.2.2若若:A=1，2，3则则:EA=1，1，1，2，1，3，2，1，2，2，2，3，3，1，3，2，3，3，IA=1，1，2，2，3，3第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页15.2.3关系的性质关系的性质定义定义15.6设R是集合A上的关系(1)若对于每一个aA，均有aRa，则称关系R是自反的自反的(2)对于任意的a，bA，若有aRb，就有bRa，则称R

14、是对称的对称的(3)对于任意的a，bA，若有aRb且bRa，必有a=b，则称R是反对称的反对称的(4)对于任意的a，b，cA，若有aRb且bRc，就有aRc，则称R是传递的传递的例例15.2.5设:A=1，2，3，4，5，R是A上的关系，定义为R=x，yx整除y，x，yA.试判断R的性质。解:R=1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，1，2，1，3，1，4，1，5，2，4.由定义可知，R是自反的，反对称的，传递的。第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页 注意：注意：(1)不是对称的，并非就是反对称的。也就是说，对于某个关系，可能既不是对称关系，也不是反对称关系。例如，集合A=

15、1，2，3上的关系R=1，2，2，3，3，2，R既不是对称的，也不是反对称的。(2)对于某种关系，可能既是对称的，又是反对称的.例如，集合A=1，2，3上的恒等关系IA=1，1，2，2，3，3，就是既是对称的，也是反对称的。第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页定义定义15.7 设R是集合A上的关系，如果关系R同时具有自反性、对称性、传递性，则称R是等价关系等价关系.此时的aRb，又称为a等价于b，记为a b。定义定义15.8设设是是A上的等价关系，上的等价关系，M是是A的一个非空子集，若满足条件：的一个非空子集，若满足条件：(1)若若aM，bM，则，则ab；(2)若若aM，b

16、M，则，则a与与b不等价。不等价。则称子集则称子集M为为A在关系在关系R上的一个等价类。上的一个等价类。第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页例例15.2.8整数集整数集Z 上关系上关系 Rx，yx，yZ，xy被被3整除。整除。试判断试判断R是否为等价关系；若是，求出所有等价类。是否为等价关系；若是，求出所有等价类。解解R是自反的，对称的，传递的，所以是自反的，对称的，传递的，所以R为等价关系。等价类为为等价关系。等价类为，6，3，0，3，6，5，2，1，4，7，4，1，2，5，8，。后页后页首页首页前页前页第十五章集合论第十五章集合论 后页后页首页首页前页前页此此课课件下件下载载可自行可自行编辑编辑修改，修改，仅仅供参考！供参考！感感谢谢您的支持，我您的支持，我们们努力做得更好！努力做得更好！谢谢谢谢