彭珍瑞 控制工程基础 第二章拉普拉斯变换.ppt

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1、pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院1微分方程式是描述线性系统运动的一种基本微分方程式是描述线性系统运动的一种基本形式的数学模型。通过对它求解，就可以得形式的数学模型。通过对它求解，就可以得到系统在给定输入信号作用下的输出响应。到系统在给定输入信号作用下的输出响应。然而，用微分方程式表示系统的数学模型在然而，用微分方程式表示系统的数学模型在实际应用中一般会遇到一些困难。实际应用中一般会遇到一些困难。拉普拉斯变换（简称拉氏变换）拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究线是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将

2、时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院2在控制工程中在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的使用拉氏变换的主要目的:用它来研究系统动态特性用它来研究系统动态特性.因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。建立在拉氏变换的基础之上的。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院3主要内容主要内容第一节第一节拉

3、氏变换的定义拉氏变换的定义第二节第二节典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换第三节第三节拉氏变换的性质拉氏变换的性质第四节第四节拉氏反变换拉氏反变换第五节第五节用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院4第一节第一节 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义对时间函数对时间函数f(tf(t)，t0t0，f(tf(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换Lf(tLf(t)（简称拉氏变换）或（简称拉氏变换）或F(sF(s)定义为定义为(2-1-1)(2-1-1)原函数原函数象函数象函数pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工

4、程学院机电工程学院5一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：(1)(1)在在t0t0时，时，(2)(2)在在t0t0的任一有限区间内，的任一有限区间内，f(tf(t)是分段连续的；是分段连续的；(3)(3)pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院6加于控制系统的外作用一般事先是不完全知加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的道的,而且常常随着时间任意变化。为了便于对而且常常随着时间任意变化。为了便于对系统进行理论分析系统进行理论分析,工程实践中允许采用以下几工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数作为系统的典型输入种简单的时

5、间函数作为系统的典型输入,即即单位单位阶跃函数、单位斜坡函数、等加速函数、指数函阶跃函数、单位斜坡函数、等加速函数、指数函数、正玄函数、以及单位脉冲函数数、正玄函数、以及单位脉冲函数等。等。第二节第二节 典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院71 1、单位脉冲函数、单位脉冲函数性质性质其拉氏变换其拉氏变换 且且1图图2-2-1 2-2-1 单位脉冲函数单位脉冲函数pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院82 2、单位阶跃函数、单位阶跃函数 图图2-2-2 2-2-2 单位阶跃函数单位阶跃函

6、数 10t其拉氏变换其拉氏变换pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院93 3、单位斜坡函数、单位斜坡函数 图图2-2-3 2-2-3 单位斜坡函数单位斜坡函数其拉氏变换其拉氏变换pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院104 4、等加速函数、等加速函数其拉氏变换其拉氏变换 pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院115 5、指数函数、指数函数其拉氏变换其拉氏变换 pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院12其拉氏变换其拉氏变换 6 6、正弦函数、正弦函数pa

7、gepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院13其拉氏变换其拉氏变换 余弦函数余弦函数pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院14注注:欧拉公式欧拉公式pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院15 设设 则则1 1、线性性质齐次性和叠加性、线性性质齐次性和叠加性第三节第三节 拉氏变换的性质拉氏变换的性质pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院16时域位移定理时域位移定理复数域位移定理复数域位移定理2 2、位移定理、位移定理pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变

8、换 机电工程学院机电工程学院173 3、微分性质、微分性质pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院18推论推论 若若特别地，当特别地，当pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院194 4、积分性质、积分性质pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院20推论推论 若若特别地，当特别地，当pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院215 5、初值定理、初值定理pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院226 6、终值定理、终值定理且且F

9、(sF(s)在在s s平面的右半平面及除原点以外的平面的右半平面及除原点以外的虚轴上解析，则函数的终值为虚轴上解析，则函数的终值为pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院237 7、卷积定理、卷积定理则若卷积符号卷积符号pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院24第四节第四节 拉氏反变换拉氏反变换从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院25求拉氏反变换的方法有：求拉氏反变换的方法有：(1)(1)查表法查表法(2)(

10、2)部分分式法部分分式法(3)(3)有理分式法有理分式法pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院26一般象函数可以表示成如下的有理分式一般象函数可以表示成如下的有理分式分母进行因式分解 pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院271 1、当、当A(sA(s)=0)=0无重极点无重极点(n(n个不等根个不等根)时，时，F(sF(s)可表示为可表示为pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院28因此因此,原函数为原函数为pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院29例

11、例11已知 ,试求原函数.解：写成部分分式形式pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院30pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院31 课堂练习：求课堂练习：求F F（s s）的拉氏反变换的拉氏反变换pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院322 2、当、当A(sA(s)=0)=0有重根有重根时，时，F(sF(s)可表示为可表示为pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院33式中式中,为重极点对应的为重极点对应的待定系数待定系数pagepage控制工程基础第二章

12、 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院34其余系数其余系数的求法与第一的求法与第一种情况所述的方法相同种情况所述的方法相同pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院35因此，因此，的拉氏反变换为的拉氏反变换为pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院36例例2 2 已知已知 ，试求原函数，试求原函数f(tf(t)。解：解：pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院37pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院38第五节第五节 用拉氏变换解微分方程用拉氏变换解微分方程

13、(3)(3)取拉氏反变换，得微分方程解。取拉氏反变换，得微分方程解。利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：利用拉氏变换解微分方程，其步骤如下：(1)(1)对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；对方程两边取拉氏变换，得函数的代数方程；(2)(2)由代数方程解象函数；由代数方程解象函数；pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院39解：解：将初始条件代入得将初始条件代入得例例3 3 求微分方程求微分方程满足初始条件满足初始条件的解。的解。pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院40pagepage控制工程基础第二章 拉普拉斯变换 机电工程学院机电工程学院41