层次分析法建模课件9488.docx

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1、层次分析法法建模课课件层次分析析法（AAHPAnaalyttic Hiieraachyy pproccesss）- 多目标标决策方方法70 年代代由美国国运筹学学家TLSattty提提出的，是是一种定定性与定定量分析析相结合合的多目目标决策策分析方方法论。吸吸收利用用行为科科学的特特点，是是将决策策者的经经验判断断给予量量化，对对目标（因因素）结结构复杂杂而且缺缺乏必要要的数据据情况下下，採用用此方法法较为实实用，是是一种系系统科学学中，常常用的一一种系统统分析方方法，因因而成为为系统分分析的数数学工具具之一。 传统的常常用的研研究自然然科学和和社会科科学的方方法有：机理分析方方法：利利用经典

2、典的数学学工具分分析观察察的因果果关系；统计分析方方法：利利用大量量观测数数据寻求求统计规规律，用用随机数数学方法法描述（自自然现象象、社会会现象）现现象的规规律。基本内容容：（11）多目目标决策策问题举举例AHHP建模模方法（2）AHHP建模模方法基基本步骤骤（33）AHHP建模模方法基基本算法法（3）AHHP建模模方法理理论算法法应用的的若干问问题。 参考书： 1、姜姜启源，数数学模型型（第二二版，第第9章；第三版版，第88章），高高等教育育出版社社 2、程程理民等等， 运运筹学模模型与方方法教程程，（第第10章章），清清华大学学出版社社 3、运运筹学编编写组，运运筹学（修修订版），第第1

3、1章章，第77节，清清华大学学出版社社一、问题举举例：A大学毕毕业生就就业选择择问题获得大学毕毕业学位位的毕业业生，“双向选选择”时，用用人单位位与毕业业生都有有各自的的选择标标准和要要求。就就毕业生生来说选选择单位位的标准准和要求求是多方方面的，例例如： 能发挥自己己的才干干为国家家作出较较好贡献献（即工工作岗位位适合发发挥专长长）； 工作收入较较好（待待遇好）； 生活环境好好（大城城市、气气候等工工作条件件等）； 单位名声好好（声誉誉-Reeputtatiion）； 工作环境好好（人际际关系和和谐等） 发展晋升（pprommotee, pprommotiion）机机会多（如如新单位位或单位

4、位发展有有后劲）等等。问题：现在在有多个个用人单单位可供供他选择择，因此此，他面面临多种种选择和和决策，问问题是他他将如何何作出决决策和选选择？或者者说他将将用什么么方法将将可供选选择的工工作单位位排序？工作选择生活环境工作环境声誉收入发展贡献 可供选择的单位P1 P2 - Pn .假期旅旅游地点点选择暑假有3个个旅游胜胜地可供供选择。例例如：苏州杭杭州，北北戴河，桂林林，到底底到哪个个地方去去旅游最最好？要要作出决决策和选选择。为为此，要要把三个个旅游地地的特点点，例如如：景色；费用；居住；环境；旅途条条件等作作一些比比较建立一一个决策策的准则则，最后后综合评评判确定定出一个个可选择择的最优

5、优方案。选择旅游地目标层居住旅途景色费用饮食准则层P1P2P3方案层C资源开开发的综综合判断断7种金属可可供开发发，开发发后对国国家贡献献可以通通过两两两比较得得到，决决定对哪哪种资源源先开发发，效用用最用。对经济发展、贡献U经济价值战略重要性交通条件要求量风险费开採费金Go铝Al钿Ur磷酸盐铁In铜Co二、问题分分析：例如旅游地地选择问问题：一一般说来来，此决决策问题题可按如如下步骤骤进行：（S1）将将决策解解分解为为三个层层次，即即：目标层：（选选择旅游游地）准则层：（景景色、费费用、居居住、饮饮食、旅旅途等55个准则则）方案层：（有有，三个选选择地点点）并用直线连连接各层层次。（S2）互

6、互相比较较各准则则对目标标的权重重，各方方案对每每一个准准则的权权重。这这些权限限重在人人的思维维过程中中常是定定性的。例如：经济济好，身身体好的的人：会会将景色色好作为为第一选选择；中老年人：会将居居住、饮饮食好作作为第一一选择；经济不好的的人：会会把费用用低作为为第一选选择。而层次分析析方法则则应给出出确定权权重的定定量分析析方法。（S3）将将方案后后对准则则层的权权重，及及准则后后对目标标层的权权重进行行综合。（S4）最最终得出出方案层层对目标标层的权权重，从从而作出出决策。以上步骤和和方法即即是AHHP的决决策分析析方法。三、确定各各层次互互相比较较的方法法成对对比较矩矩阵和权权向量在

7、确定各层层次各因因素之间间的权重重时，如如果只是是定性的的结果，则则常常不不容易被被别人接接受，因因而Saantyy等人提提出：一一致矩阵阵法即：1. 不把所所有因素素放在一一起比较较，而是是两两相相互比较较2. 对此此时採用用相对尺尺度，以以尽可能能减少性性质不同同的诸因因素相互互比较的的困难，提提高准确确度。因素比较方方法 成对比比较矩阵阵法：目的是，要要比较某某一层个个因素对对上一层层因素OO的影响响（例如如：旅游游决策解解中，比比较景色色等5个个准则在在选择旅旅游地这这个目标标中的重重要性）。採用的方法法是：每每次取两两个因素素和比较其其对目标标因素OO的影响响，并用用表示，全全部比较

8、较的结果果用成对对比较矩矩阵表示示，即： （11）由于上述成成对比较较矩阵有有特点： 故可称为正正互反矩矩阵：显显然，由由 ，即即：，故故有：例如：在旅旅游决策策问题中中：= 表示：故：= 表表示：即：景色为为4，居居住为11。= 表表示：即：费用重重要性为为7，居居住重要要性为11。因此有成对对比较矩矩阵：？问题：稍加分分析就发发现上述述成对比比较矩阵阵的问题题： 即存在有各各元素的的不一致致性，例例如：既然：所以应该有有：而不应为矩矩阵中的的成对比较较矩阵比比较的次次数要求求太，因：个元素素比较次次数为：次，因此，问题题是：如如何改造造成对比比较矩阵阵，使由由其能确确定诸因因素对上上层因素

9、素O的权权重？对此Saooty提提出了：在成对对比较出出现不一一致情况况下，计计算各因因素对因因素（上上层因素素）O的的权重方方法，并并确定了了这种不不一致的的容许误误差范围围。为此，先看看成对比比较矩阵阵的完全全一致性性成对对比较完完全一致致性四：一致性性矩阵Def：设设有正互互反成对对比较矩矩阵： (4)除满足：（i）正互反性：即而且还满足足：（iii）一一致性：即则称满足上上述条件件的正互互反对称称矩阵AA为一致致性矩阵阵，简称称一致阵阵。一致性矩阵阵（一致致阵）性性质：性质1：的的秩RRankk(A)=1有唯一的非非0的最最大特征征根为nn性质2：的的任一列列（行）向向量都是是对应特特

10、征根的的特征向向量：即有(特征征向量、特特征值)：，则向量 满足：即：启发与思考考：既然然一致矩矩阵有以以上性质质，即nn个元素素W1, W2, W3 , Wn 构成成的向量量是一致矩阵阵的特征征向量，则则对一致致矩阵来来说，可可以把一一致矩阵阵的特征征向量求求出之后后，再把把一致矩矩阵的特特征向量量归一化化后得到到的向量量，看成是是诸元素素W1, WW2, W3 , Wn目标O的权权向量。因因此，可可以用求求一致矩矩阵的特特征根和和特征向向量的办办法，求求出元素素W1, WW2, W3 , Wn相对于于目标OO的权向量。解释：一致致矩阵即即：件物物体，它它们重量量分别为为，将他他们两比较重量

11、量，其比比值构成成一致矩矩阵，若若用重量量向量右右乘，则则：分析：若重量向量量未知时时，则可可由决策策者对物物体之间间两两相相比关系系，主观观作出比比值的判判断，或或用Deelphhi（调调查法）来来确定这这些比值值，使矩矩阵（不不一定有有一致性性）为已已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵，并且此（不一致）在不一致的容许范围内，再依据：的特征根或和特征向量连续地依赖于矩阵的元素，即当离一致性的要求不太远时，的特征根和特征值（向量）与一致矩阵的特征根和特征向量也相差不大的道理：由特征向量求权向量的方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。问题：Reemarrk以上讨论的的用求

12、特特征根来来求权向向量的方方法和思思路，在在理论上上应解决决以下问问题：1 一致阵的性性质1是是说：一一致阵的的最大特特征根为为（即必必要条件件），但但用特征征根来求求特征向向量时，应应回答充充分条件件：即正正互反矩矩阵是否否存在正正的最大大特征根根和正的的特征向向量？且且如果正正互反矩矩阵的最最大特征征根时，是否否为一致致阵？2 用主观判断断矩阵的的特征根根和特征征向量连连续逼近近一致阵阵的特征征根和特特征向量量时，即即： 由 得到：即：是否在理论论上有依依据。3一般情情况下，主主观判断断矩阵在在逼近于于一致阵阵的过程程中，用用与接近近的来代代替，即即有，这这种近似似的替代代一致性性矩阵的的

13、作法，就就导致了了产生的的偏差估估计问题题，即一一致性检检验问题题，即要要确定一一种一致致性检验验判断指指标，由由此指标标来确定定在什么么样的允允许范围围内，主主观判断断矩阵是是可以接接受的，否否则，要要重新两两两比较较构造主主观判断断矩阵。此此问题即即一致性性检验问问题的内内容。以上三个问问题：前前两个问问题由数数学严格格比较可可获得（见见教材PP3255，定理理1、定定理2）。第第3个问问题：SSattty给出出一致性性指标（TTh1,Th22介绍如如下：）附：Th1：（教教材P3326，pperrronTTh 比隆19770）对对于正矩矩阵（的所有有元素为为正数）（1）的最最大特征征根是

14、正正单根；（2）对应应正特征征向量（的所有有分量为为正数）（3）其中：为半径径向量，是对应的归一化特征向量证明：（33）可以以通过将将化为标标准形证证明Th2：阶阶正互反反阵A的的最大特特征根；当时，是一一致阵五、一致性性检验一致致性指标标：1一致性性检验指指标的定定义和确确定的定义义：当人们对复复杂事件件的各因因素，采采用两两两比较时时，所得得到的主主观判断断矩阵，一一般不可可直接保保证正互互反矩阵阵就是一一致正互互反矩阵阵，因而而存在误误差（及及误差估估计问题题）。这这种误差差，必然然导致特特征值和和特征向向量之间间的误差差。此时时就导致致问题与与问题之之间的差差别。（上上述问题题中是主主

15、观判断断矩阵的的特征值值，是带带有偏差差的相对对权向量量）。这这是由判判断矩阵阵不一致致性所引引起的。因此，为了了避免误误差太大大，就要要给出衡衡量主观观判断矩矩阵的一一致性的的判别准准则。因为：当主观判判断矩阵阵为一致致阵时就就有： 为为一致阵阵时有：此时存在唯唯一的非非O特征征根（由一致阵阵性质11：Raark(4)=1，有有唯一非非O最大大特征根根且）当主观判判断矩阵阵不是一一致矩阵阵时，此此时一般般有：（TTh2）此时，应有有：即： 所以，可以以取其平平均值作作为检验验主观判判断矩阵阵的准则则，一致致性的指指标，即： 显然：（1） 当时，有：， 为完完全一致致性（2） 值越大，主主观判

16、断断矩阵的的完全一一致性越越差，即即：偏离离越远(用特征征向量作作为权向向量引起起的误差差越大)（3） 一般，认为为主观判判断矩阵阵的一致致性可以以接受，否否则应重重新进行行两两比比较，构构造主观观判断矩矩阵。2随机一一致性检检验指标标问题：实际际操作时时发现：主观判判断矩阵阵的维数数越大，判判断的一一致性越越差，故故应放宽宽对高维维矩阵的的一致性性要求。于于是引入入修正值值来校正正一致性性检验指指标：即即定义的的修正值值表为：的维数1 2 3 44 55 6 7 8 90.00 00.000 0.558 0.96 11.122 1.224 1.32 11.411 1.445并定义新的的一致性

17、性检验指指标为：随机一致性性检验指指标的解释释：为确定的不不一致程程度的容容许范围围，需要要确定衡衡量的一一致性指指示的标标准。于于是Saattyy又引入入所谓随随机一致致性指标标，其定定义和计计算过程程为： 对固定的，随随机构造造正互反反阵，其其元素从从199和1中随机机取值，且且满足与与的互反反性，即即：，且且. 然后再计算算的一致致性指标标，因此此是非常常不一致致的，此此时，值值相当大大. 如此构造相相当多的的，再用用它们的的平均值值作为随随机一致致性指标标。 Sattyy对于不不同的11)，用11005000个样本本计算出出上表所所列出的的随机一一致性指指标作为为修正值值表。3 一致性

18、检验验指标的的定义一致致性比率率。由随机性检检验指标标可知：当时，这这是因为为1, 2阶正正互反阵阵总是一一致阵。对于的成对对比较阵阵，将它它的一致致性指标标与同阶阶（指相相同）的的随机一一致性指指标之比比称为一一致性比比率简称一一致性指指标，即有： 一一致性检检验指标标的定义义一致致性比率率定义： 当：时，认认为主观观判断矩矩阵的不不一致程程度在容容许范围围之内，可可用其特特征向量量作为权权向量。否否则，对对主观判判断矩阵阵重新进进行成对对比较，构构重新的的主观判判断矩阵阵。注：上式的的选取是是带有一一定主观观信度的的。六、标度比较较尺度解解：在构造正互互反矩阵阵时，当当比较两两个可能能是有

19、不不同性质质的因素素和对于上上层因素素O的影影响时，採採用什么么样的相相对刻度度较好，即即的元素素的值在在（19）或或（1）或更更多的数数字，SSattty提出出用19尺度度最好，即即取值为为199或其互互反数11，心心理学家家也提出出：人们们区分信信息等级级的极限限解能力力为2。可可见对阶阶矩阵，只只需作出出个判断断值即可可标度定 义135792，4，66，8，倒数1，因素与因素素相同重重要因素比因素素稍重要要因素比因素素较重要要因素比因素素非常重重要因素比因素素绝对重重要因素与因素素的重要要性的比比较值介介于上述述两个相相邻等级级之间因素与因素素比较得得到判断断值为的的互反数数，注：以上比

20、比较的标标度Saattyy曾用过过多种标标度比较较层，得得到的结结论认为为：19尺度度不仅在在较简单单的尺度度中最好好，而且且比较的的结果并并不劣于于较为复复杂的尺尺度。SSattty曾用用的比较较尺度为为： 13, 15, 16，, 1111，以以及 ，其中 ，其中 等共27种种比较尺尺度，对对放在不不同距离离处的光光源亮度度进行比比较判断断，并构构造出成成对比较较矩阵，计计算出权权向量。同同时把计计算出来来的这些些权向量量与按照照物理学学中光强强度定律律和其他他物理知知识得到到的实际际权向量量进行对对比。结结果也发发现19的比比较标度度不仅简简单，而而效果也也较好（至至少不比比其他更更复杂

21、的的尺度差差）因而用19的标标度来构构造成对对比较矩矩阵的元元素较合合适。七、组合权权向量的的计算层次次总排序序的权向向量的计计算层次分析法法的基本本思想：（1） 计算出下一一层每个个元素对对上一层层每个元元素的权权向量def：层层次总排排序，计计算同一一层次所所有元素素对最高高层相对对重要性性的排序序权值。当然要先：构造下下一层每每个元素素对上一一次每个个元素的的成对比比较矩阵阵计算出出成对比比较矩阵阵的特征征向量（和和法，根根法，幂幂法）由特征征向量求求出最大大特征根根（由和和法，根根法，幂幂法求得得）用最大特特征根用用方式 及对成对对比较矩矩阵进行行一致性性检，并并通过。（2） 并把下层

22、每每个元素素对上层层每个元元素的权权向量按按列排成成以下表表格形式式：例，假假定：上上层有个元素素，且且其层次次总排序序权向量量为，下下层有个元素素，则按按对 个元素素的单排排序权向向量的列列向量为为，即有有：层次层总是排序序权重（权权向量、列列向量） 计算出最大大特根（方方法：和和法、根根法、幂幂法）一致性检验验一致性检验验比率检验否？注：若下下层元素素与上层层元素无无关系时时，取总排排序权向向量各分分量的计计算公式式：(3) 对对层次总总排序进进行一致致性检验验：从高高层到低低层逐层层进行，如如果如果层次某某些元素素对单的的排序的的一致性性指标为为，相应应的平均均随机一一致性指指标为，则则

23、层总排排序随机机一致性性比率为为：当时，认为为层次总总排序里里有满意意的一致致性，否否则应重重新调整整判断矩矩阵的元元素取值值。八、层次分分析法的的基本步步骤：（S1）建建立层次次结构模模型将有关因素素按照属属性自上上而下地地分解成成若干层层次：同一层各因因素从属属于上一一层因素素，或对对上层因因素有影影响，同同时又支支配下一一层的因因素或受受到下层层因素的的影响。最上层为目目标层（一一般只有有一个因因素），最最下层为为方案层层或对象象层/决决策层，中中间可以以有1个个或几个个层次，通通常为准准则层或或指标层层。当准则层元元素过多多（例如如多于99个）时时，应进进一步分分解出子子准则层层。（S

24、2）构构造成对对比较矩矩阵，以以层次结结构模型型的第22层开始始，对于于从属于于（或影影响及）上上一层每每个因素素的同一一层诸因因素，用用成对比比较法和和199比较尺尺度构造造成对比比较矩阵阵，直到到最下层层。（S3）计计算（每每个成对对比较矩矩阵的）权权向量并并作一致致性检验验 对每一个成成对比较较矩阵计计算最大大特征根根及对应应的特征征向量（和和法、根根法、幂幂法等） 利用一致性性指标，随随机一致致性指标标和一致致性比率率作一致致性检验验 若通过检验验（即，或或）则将将上层出出权向量量归一化化之后作作为（到到）的权权向量（即即单排序序权向量量） 若不成立，则则需重新新构造成成对比较较矩阵（

25、S4）计计算组合合权向量量并作组组合一致致性检验验即层层次总排排序 利用单层权权向量的的权值构构组合权权向量表表：并计计算出特特征根，组组合特征征向量，一一致性上单 层层 重权 量量 向下层 量层次 计算组合权权向量其中 最大特征根根和法、根法法、幂法法一致性检验验 ?一致性随机机检验对照表 ？一致性比率率 若通过一致致性检验验，则可可按照组组合权向向量的表表示结果果进行决决策（中中中最大大者的最最优），即即： 若未能通过过检验，则则需重新新考虑模模型或重重新构造造那些一一致性比比率，较较大的成成对比较较矩阵九、特征根根的近似似求法（实实用算法法）层次分析法法的基本本思路是是计算上上层每个个元

26、素对对下一层层次各元元素的权权向量（即即最大特特征根对对应的特特征向量量），以以及组合合权向量量及一致致性检验验问题。计算判断矩矩阵最大大特征根根和对应应阵向量量，并不不需要追追求较高高的精确确度，这这是因为为判断矩矩阵本身身有相当当的误差差范围。而而且优先先排序的的数值也也是定性性概念的的表达，故故从应用用性来考考虑也希希望使用用较为简简单的近近似算法法。常用用的有以以下求特特征根的的近似求求法：“和法”、“根法”、“幂法”，具体体如下：1“和法法”求最大大特征根根和对应应特征向向量（近近似解）（S1）将将矩阵的的每一列列向量的的归一化化得：（S2）对对按行求求和得：（S3）将将归一化化，即

27、有有：，则则有特征征向量：（S4）计计算与特特征向量量对应的的最大特特征根的的近似值值：此方法：实实际上是是将的列列向量归归一化后后取平均均值作为为的特征征向量。解释：当为为一致矩矩阵时，它它的每一一列向量量都是特特征向量量可以在的不不一致性性不严重重时，取取的列向向量（归归一化后后）的平平均值作作为近似似特征向向量是合合理的（有有依据的的）。2“根法法”求最大大特征根根特征向向量近似似值：步骤与“和和法”相同，只只是在（SS2）时时：对归归一化后后的列向向量按行行“求和”改为按按行“求积”再取次方方根，即即：。即有具体步步骤：(S1)将将矩阵的的每一列列向量归归一化得得：（S2）对对归一化化

28、以后的的列向量量各元素素： 按行“求和和”并开次方方根得：（S3）再再将归一一化得：得到特征向向量近似似值：（S4）计计算最大大特征根根：作作为最大大特征根根的近似似值。注：“根法法”是将“和法”中求列列向量的的算术平平均值改改为求几几何平均均值。3“幂法法”求最大大特征根根：（S1）任任取维归归一化初初始向量量（S2）计计算（S3）归归一化，即即令：（S4）对对预先给给定的，当当时，即为为所求的的特征向向量；否否则返回回（S22）（S5）计计算最大大特征根根，以上用幂法法求最大大特征根根对应特特征向量量的迭代代方法，其其收敛性性由THH1（教教材P3325）中中的3），其中，是对应的归一化向

29、量特征。（证明：可可以将化化为标准准形证明明）保证证。任意意选取，也也可以取取由“根法”、“和法”得到的的注：在以上上求特征征根和特特向量的的方法中中“和法”最简单单。例：在旅游游问题中中，求目目标层到到准则层层的成对对比较矩矩阵为的的特征向向量和最最大特征征根：选择旅游地 居住旅途景色费用饮食准则层：P1P2P3方案层：利用“和法法”求的特征向向量和特特征根（S1）将将的元素素按列归归一化得得：（S2）将将中元素素按行求求和得各各行元素素之和：（S3）再再将上述述矩阵向向量归一一化得到到特征向向量近似似值， 特征向向量其中 （S4）计计算与特特征向量量相对应应最大特特征根（的的近似值值）故有

30、最大特特征根对一致性检检验指标标：故通过检验验。十、应用实实例对前面旅游游问题进进行决策策选择旅游地点 目目标层： 0.2622 0.4744 0.0099 00.1002 0.0555旅途B5饮食B4居住B3费用B2景色B1准则层： 0.5955 00.1229 0.1129 0.2777P1P2P3决策层：已知：目目标对准准则的权权重向量量为：（由前面已已算出），并并已通过过一致性性检验。准则相对对于的成成对比较较矩阵为为对作用的成成对比较较矩阵为为：同样对作用用的成对对比较矩矩阵为： 解：对以上每个个比较矩矩阵都可可计算出出最大特特征根及及对象的的特征向向量（即即权重向向量），并并进行一

31、一致性检检验：以为例用“和法”求出的特特征根及及对立的的特征向向量（S1）对对按列归归一化得得：（S2）对对按列归归一化反反向量再再按行求求和：（S3）对对按行归归一化得得到特征征向量（S4）计计算特征征根一致性检验验：故通过检验验，既成成对矩阵阵可以接接受。同样步骤对对，对的影影响用特征向量量表示最大特征根根用：表表示并分别计算算一致性性检验指指标：列表如下：权 准则层层值决策层B1 BB2 B3 B44 B55组合权向量量0.2622 0.4474 00.0555 0.0999 0.11020.5955 0.0082 00.4229 0.6333 0.11660.2777 0.2236 0

32、0.4229 0.1933 0.11660.1299 0.6682 00.1442 0.1755 0.66683.0077 3.0002 3 3.0099 30.00335 0.0011 0 0.0055 00.58 0.58 0.558 00.588 0.5580.0066其中的计算算公式为为：因此层次总总排序：组合权权向量为为：故最终决策策为首选选，次之之，最后后。组合一致性性检验：由可知：组合一一致性检检验结果果为层次总总排序的的一致性性检验：故一致性性检验通通过。最层次总排排序为最决策为：首选，次次之，最最后。11.20.202223:4423:44:4822.11.2011时44分11时44分48秒11月. 20, 2220 十一月 202211:44:48 下午23:44:482022年11月20日星期日23:44:48