行置换算子集杨盘t的所有的行置换算子组成的集合教学内容.ppt

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1、行置换算子集杨盘T的所有的行置换算子组成的集合引理引理2:设T是杨盘,p和q分别是T的任意行置换和列 置换,T 与 T 通过置换 pq 相联系,即T=pqT.则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现 在 T 的同一列.设两个杨盘由置换 r 相联系,即T=rT.如果 T 中 任意两个位于同一行的数字不出现在即T 的同 一列,则置换 r 必可表示为 r=pq.引理引理3:设 T 和 T 是属于不同杨图 和 的两 个杨盘,则总能找到两个数字同时出现在 T 的同一行和 T 的同一列.引理引理4:如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行 和杨盘 T 的同一列,则这两个杨盘的杨算子满足推论推论:属于不同杨图

2、的两个杨盘 T 和 T,必有引理引理5:设是置换群 Sn 的群代数中的一个向量.如果对于杨盘 T 的任意 行置换 p 和列置换 q,满足 则 x 与杨算子 E(T)差一个常数因子,即 引理引理6:对应于杨盘 T 的杨算子 E(T)是一个本质的本原幂等元.相应的不变子空间 RG 是对称群 Sn 的一个不可约表示空间,其维数是 n!的因子.引理引理7:同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的.不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的.5.2 对称群的不可约表示定理定理:杨算子E(T)是本质幂等元,相应的不变子空间 RG E(T)是对称群Sn 的一个不可约表示空间,给 出Sn 的一个不可约表示;由同一杨图的不

3、同杨盘 给出的表示是等价的,而不同杨图的杨盘给出的 表示是不等价的.标准杨盘标准杨盘:在杨图上,每一行数字按从左向右增大,每一列数字按从上到下增大的顺序来填充,得到的杨盘称为标准杨盘.记作定理定理:杨图对应的不可约表示的维数等于该杨图的标准杨盘的个数 f.杨图杨图的标准盘个数的计算公式的标准盘个数的计算公式:gij为杨图上位置(i,j)处的钩长.半正则表示半正则表示:标准盘系列:从 Sn 的一个标准杨盘Tr出发,作标准盘系列:相应杨算子为相应本原幂等元为半正规单位半正规单位(半正则母单位半正则母单位):定义算子为本原幂等元,且满足半正规单位半正规单位(半正则母单位半正则母单位)定义:设属于同一

4、杨图的标准盘 和 由置换 相联系,即 定义算子 .为杨算子.构造 Sn 群代数 RG 的一组基其中上述这组基矢称为 Sn 群代数的半正规单位,满足1)半正规单位共有n!个,在群代数空间是完备的.2)每一个杨图对应与对称群 Sn 的一个不等价不可约表示.3)Sn 群元s作用在半正规基矢上给出表示矩阵.4)在半正规基矢下,表示约化为5)Sn 任意群元可写为相邻数字对换的乘积.求表示矩阵元V(s)的规则,其中s=(k 1,k):1)当数字k 1和k在Tr的同一行时,对角元2)当数字k 1和k在Tr的同一列时,对角元3)当数字k 1和k不在Tr的同一行和同一列时,设 Tu=s Tr,则其中为Tr中数字

5、k 1到k 的轴距离的倒数.4)其它情况矩阵元为零.酉表示酉表示:定义对称群代数 RG 的新基矢其中是由杨图和r决定的数,称为盘函数.如果盘函数取为C是标准盘Tr中数字n与第行最后一个数字的轴距离的倒数,n是数字n所在行数.上述基矢给出对称群的酉表示.李代数李代数:设g是数域K上的线性空间,对于任意X,Yg,定义李积X,Yg,如果李积满足下述条件:1)双线性.即对任意a,bK,X,Y,Zg,有 2)反对称.即对任意X,Yg,有3)雅可比关系则称代数g为李代数.以李群的无限小生成元为基矢张开的线性空间g=X=aiXi|aiR中,若定义李积为对易关系X,Y=XY-YX,则构成一个李代数.第六章第六

6、章 李代数基础李代数基础6.1 基本概念基本概念 子代数子代数:设g1是李代数g的一个子集,如果对任意X,Yg1,李积运算都满足则g1称为李代数g的一个子代数.群的乘法群的乘法:两个置换的乘积rs为先进行s置换,再进行r置换.理想子代数理想子代数:设g1是李代数g的一个子集,如果对任意Xg1,Yg,都有则g1在李积运算下是不变的,称为李代数g的一个理想子代数,或简称理想.中心中心:李代数g中所有与李代数对易的元素组成的集合,称为李代数g的极大可交换理想,或简称为李代数g的中心,即 直和直和:李代数g的两个理想g1和g2如果满足条件则称李代数g是理想g1和g2的直和.记为g=g1g2.半直和半直

7、和:李代数g的两个子代数g1和g2如果满足则称李代数g是g1和g2的半直和.记为g=g1Sg2.同构同构:设g1和g2是两个李代数,如果存在一个从g1到g2的一一对应的满映射P,且对任意a,bK和X,Yg 满足则称李代数g1和g2同态.同态同态:设g1和g2是两个李代数,如果存在一个从g1到g2的满映射P,且对任意a,bK和X,Yg 满足则称李代数g1和g2同构.单纯李代数单纯李代数:如果李代数g不具有非平庸理想,则称g为单纯李代数,或单李代数.半单李代数半单李代数:如果李代数g不具有非平庸可交换理想,则称g为半单李代数.半单李代数的判据半单李代数的判据:判据判据1 1 李代数g是半单李代数的

8、充要条件为:g可以写作其理想的直和,即且gi均为单李代数.李代数的内导子:李代数g上的内导子是李代数g上的线性变换,设Xg,则内导子ad(X)定义为半单李代数的嘉当判据:李代数g为半单李代数的充要条件是:李代数的基林型(基林度规张量):定义为下述对称张量其中是李代数g关于基矢 X1,X2,Xn 的结构常数,即即基林度规张量不退化,存在逆张量李代数的卡塞米尔算子:半单李代数g的卡塞米尔算子C与g的所有元素可对易.推广的卡塞米尔算子:李代数的内导子与基林度规张量的关系:李代数的导出代数-子代数链:1.a)李代数g的导出链 b)可解李代数:如果存在一个正整数 k,使得则g称为可解李代数.c)可解李代

9、数的每一个子代数都是可解李代数.d)可解李代数不含任何单纯李代数.b)幂零李代数:如果存在一个正整数 k,使得则g称为幂零李代数.2.a)李代数g的降中心链c)幂零李代数的每一个子代数都是幂零李代数.d)幂零李代数不含任何单纯李代数.e)幂零李代数必为可解李代数定理:任意一个李代数g都可以表示为一个可解李代数与一个半单李代数的直和.例:so(3)李代数 b)卡塞米尔算子a)基林度规张量6.2 复半单李代数的正则形式复半单李代数的正则形式 李代数基底李代数基底(线性变换线性变换)-)-另一组基底另一组基底1.李代数上的本征值问题李代数 g 是 r 维复李代数,X 是 g 的一组基底,满足因 X

10、是李代数 g 的一组基底,是 g 上一组线性无关的向量是关于 x 的本征方程,有非平凡解条件为在复数域上有 r 个非平凡解,每个解称为李代数的一个根.2.李代数的嘉当子代数如果(1)选择选择 A A,使 A 的不同根的数目最大;(2)李代数 g 是半单李代数.则(a)只有=0 的根是简并的,而其余的非零根都是单的;(b)半单李代数的秩:零根=0 的简并度 l 称为 g 的秩;(c)嘉当子代数:对零根=0,有 l 个线性无关的本征向量与之对应,记为 Hi(其中 i=1,2,l),则 l 向量 Hi 张开 r 维李代数 g 的一个 l 维子代数,称为嘉当子代数(d)其余的(r l)个非零根对应的本

11、征向量 E 满足 A,E =E,张开 一个(r l)维子空间,称为嘉当子代数的补空间.3.李代数的根的性质(1)(1)设 Hi 是半单李代数 g 的嘉当子代数的基,满足 Hi,Hj =0;E 是 A=i Hi 的非零本征值(g的 非零根对应的本征矢,满足 A,E =E,则i 可看作 l 向量空间中向量 的协变分量.根 则表示 l 向量空间中分量为i 的向量,称为根向量.对李代数的根进行分类证明:Hi,E 是A的属于同一本征值的本征向量,是非简并的(2)(2)如果 E 和 E是g的两个非零根,则证明:半单李代数非零根是单根(3)(3)根的对称性质根的对称性质 定理定理:对于半单李代数的每一个非零

12、根 ,必有一个根 存在.证明:考虑基林度规张量根据根的性质(1)和(2),有所以,如果 不是根,则基林度规张量的本征值 对应的行中所有元素为零,故 det(g)=0.与半单李代数前提相矛盾.(1)规定 E的归一化因子,使(2)gik 看作向量 张开的 l 维空间的度规张量,且有(3)全反对称张量4.嘉当-韦尔基则基林度规张量为i 为 的逆变分量.(4)半单李代数 g 的嘉当-韦尔基底(正则形式)正则形式下对易关系(结构常数)卡塞米尔算子:(1)如果 和 是半单李代数的非零根,则(2)如果 是半单李代数的根,则 的整数倍m 中,只有 ,0,才是根.5.关于根的几个定理且存在一个 的根链 或(3)

13、如果 和 是半单李代数的非零根,则6.N 的确定设半单李代数的根链为则7.根向量的图形表示(1)半单李代数根向量的性质a)如果 是根向量,则 也是根向量;b)如果 和 是根向量(非零根),则c)如果 和 是根向量(非零根),则d)定义两个根向量 和 之间的夹角和长度比分别为取 为长度较长根向量;考虑到 和 均为根向量,只需取锐角.可得下述几种情况(3)秩 l 2的单李代数:典型李代数的根系典型李代数的根系 l 维根空间中,引进 l 个相互正交的单位向量根向量的图形表示(1)1秩单李代数:李代数 A1,l=1.(2)2秩半单李代数:(4)例外李代数及其根系8.素根和邓金图对于给定的半单李代数,有

14、关其根向量的信息,可以从所有根向量集合的一个子集合得到.(1)正根:在某个任意选定的基底下,如果根+的第一个 不为零的坐标是正的,则称+为正根.通常,组成根图 的一半非零根是正根.所有正根和的一半记为素根的概念(2)素根(单纯根):如果一个正根不能分解为另外两个正根 之和,则称这个正根是素根.上述B2 的4个正根中,只有(0,1)和(1,1)是素根.例:李代数B2 的8个非零根:中,(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)是正根.(3)素根系:所有素根组成的集合,用 来表示.(4)对于秩为 l 的半单李代数,共有 l 个素根,它们是线性无关的,构成根空间一组基,每一个正根都表示为关于素根

15、的定理(1)如果 和 是半单李代数的两个素根,则(2)如果 和 是半单李代数的两个素根,则这两个素根的夹角只能取 90,120,135 和 150,设 是长根,则典型李代数的素根系:素根与基底选取有关邓金图:用图形表示半单李代数的素根系:一个小圆圈代表一个素根;夹角为120,135,150的两个素根分别用单线、双线和三线连结;正交的两个素根不连;连线箭头由长根指向短根.典型李代数的邓金图:(a)李代数Bl(b)李代数Cl(c)李代数Dl嘉当矩阵:设=1,2,l 是半单李代数的素根系,则称 为元素构成的矩阵为嘉当矩阵.嘉当矩阵对角元恒为2,非对角元只能取0,1,2,3例:9.典型李代数的根系单李

16、代数根向量的完全集由其素根系和嘉当矩阵确定.(1)如果 是正根,则(2)如果已知m级正根和所有m级以下正根,则m+1级正根都具有(3)问题:对于已知的m级正根,确定出素根j,使得 是根.根据假设(1),是已知的.且10.舍瓦累基底设g是秩为 l 的单李代数,(m)是其第 m 个素根,定义下列 3l 个元素满足下述对易关系:3l 个元素并不一定生成整个李代数g,舍瓦累基底中的其它元素由下式得到11.N 的确定(1)考虑 的根链12.例:李代数A2邓金图:(1)嘉当矩阵:由邓金图知,李代数A2 有两个素根 和,长度相等,夹角为 120,即由此得到:嘉当矩阵:(2)根系:a.考虑 的根链由于和均为素

17、根,故不是根,得到=0.考虑 的根链,同理可得+是根.b.考虑+的根链由于是根,不是根,得到=1.c.考虑+的根链由于是根,不是根,得到=1.d.所以,李代数A2 共有3个正根:,=+6个非零根:,2个零根.(3)根图(4)嘉当-韦尔基底取基底的规范化,使得:故可得再由 的根链知(5)嘉当-韦尔基的对易关系(6)舍瓦累基对易关系定义定义:设g是李代数,V是复数域C上的线性空间,gl(n,C)是V上的 一般线性李代数.如果存在一个从g到gl(n,C)的同态线性映 射A,对于任意X,Yg,使得 A:XA(X)gl(n,C),且映射A保持g的运算规律不变,即则称映射A是李代数g的一个表示,V称为这一

18、表示的表示空间.关于李群表示的几个定理:1.可解李群的每一个有限维不可约表示都是一维的.2.连通单纯紧致李群的不可约酉表示都是有限维的.3.连通单纯非紧致李群的不可约酉表示,除恒等表示外,都 是无限维的.第七章第七章 李代数表示基础李代数表示基础设g是半单李代数,g的嘉当-韦尔基底为李代数g的表示A可用基底的表示得到,即7.1 半单李代数的表示则李代数g可表示为的表示矩阵保持g的李积运算规律不变,即权:权的概念:关于权的一些性质和定理:2.定理:半单李代数的任意表示空间V至少有一个权.推论:具有不同的权的本征向量相互之间线性无关.在 n 维表示空间中,最多有 n 个权.5.定理:半单李代数的一

19、个不可约表示空间VA可以分解为 其中VA 是由权为的本征向量所张开的VA的子空间.4.对于表示空间VA 中一个权,如果有m个线性独立的本征向量 与之对应,则该权在表示A中出现m次,称该权是m重权.如果对应于一个权的本征向量只有一个,则称该权为单权.在权空间选定一组基底后,如果一个权的第一个非零分量是 正的,则称该权为正.如果两个权的差为正,则称第一个权比第二个权高.如果一个权比其它的权都高,则称这个权为最高权.7.正则基:在表示空间中选取权为i 的本征向量|i 为基底,如果权i 按下列次序排列,其中N 为表示的维数,则上述基底称为一组正则基底.6.设 是半单李代数 g 的表示 A 的任意一个权

20、,是 g 的任意 一个根,则1.如果半单李代数的表示A是不可约的,则它的最高权是单的.关于表示的几个基本定理:半单李代数的最高权与不等价不可约表示一一对应.2.如果半单李代数的两个不可约表示等价,则它们的最高权相等.3.是半单李代数g的不可约表示A的最高权的充要条件为所 有由下式定义的数都为非负整数.半单李代数的不可约表示的标记半单李代数的不可约表示的标记:在邓金图上,将上述 l 个非负整数标在 l 个相应的单纯根的小圆圈上.李代数 A2设最高权为半单李代数的不可约表示的维数公式半单李代数的不可约表示的维数公式:利用嘉当矩阵,可得李代数 A2上述表示的维数此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢