(12.1.1)--第一部分第12讲粘性流体运动微分方程组（第4章）.pdf

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1、动力学基础(Fundamentals of Aerodynamics)空气1粘性流体运动的应力状态2广义牛顿内摩擦定理（本构关系）3粘性流体运动微分方程组-Navier-Stokes方程组粘性流体运动微分方程组（Navier-Stokes方程组）第12讲一粘性流体运动的应力状态流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上的力只有正向力，无切向力。理想流体和粘性流体作用面受力是不一样的。一粘性流体运动的应力状态粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在

2、相对运动，流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力。一粘性流体运动的应力状态在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。一粘性流体运动的应力状态如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，其中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相切为切应力，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。一粘性流体运动的应力状态由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表

3、示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。一粘性流体运动的应力状态对于x面的合应力可表示为：y面的合应力表达式为：如：z面的合应力表达式为：=+=+ijkxxxxyxz=+=+ijkyyxyyyz=+=+ijkzzxzyzz一粘性流体运动的应力状态如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。因此，我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力张量）。一粘性流体运动的应力状态根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩阵如同变形率

4、矩阵一样，是个对称矩阵。=zxxx xyyxxzzxyzzyzyzzyxyyyzxyxz 一粘性流体运动的应力状态1在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点压强的负值。即=ppxxyyzz0 0 1 0 1 01 0 0 2在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即=+pxxyyzz3一粘性流体运动的应力状态3在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。=xyxz0二广义牛顿内摩擦定理（本构关系）牛顿内摩擦定理得到，粘性流体作直线层状流动时，流层之间的切应力与速度梯度成正比。即=dydu如果用变形率矩阵和应

5、力矩阵表示，有=+=+=yxdyuvduyxyx2二广义牛顿内摩擦定理（本构关系）说明应力矩阵与变形率矩阵成正比。对于一般的三维流动，Stokes（1845年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理。二广义牛顿内摩擦定理（本构关系）Stokes假设（1845年）1流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与流体的平动和转动无关。二广义牛顿内摩擦定理（本构关系）2流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系的选择和位置无关。3当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正应力，无切应力。即=pxxyyz

6、z 0二广义牛顿内摩擦定理（本构关系）因此，在静止状态下，流体的应力状态为=ppI0 0 1 0 1 01 0 000 根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵与变形率矩阵写成如下线性关系式（本构关系）。=+=+ab I 式中，系数a、b是与坐标选择无关的标量。参照牛顿内摩擦定理，系数a只取决于流体的物理性质，可取=a2二广义牛顿内摩擦定理（本构关系）由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持应力与变形率成线性关系，系数b只能由应力矩阵与变形率矩阵中的那些线性不变量构成。即令式中，为待定系数。将a、b代入，有b b b123取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出=+=

7、+=+=+bbbVbbbbbxxyyzzxxyyzzxxyyzz()()()123123=+=+bbVbIxxyyzz2()123 +=+=+VbbVbxxyyzzxxyyzz()23()33123二广义牛顿内摩擦定理（本构关系）在静止状态下，速度的散度为零，且有由于b1和b2均为常数，且要求p0在静止状态的任何情况下均成立。则归并同类项，得到：+=+=+bbVbxxyyzz(13)()(23)3123=+=+=Vpxxyyzz0 ()30=pbb(13)013=b30 b131然后代入第一式中，有=b322二广义牛顿内摩擦定理（本构关系）称为流体压强。则本构关系为如果令=+pxxyyzz3=

8、+=+pVI322 上式即为广义牛顿内摩擦定理（为牛顿流体的本构方程）。用指标形式，上式可表示为 +=+=+xVuxxuuiiijijij3-p2 ij2 ij二广义牛顿内摩擦定理（本构关系）对于不可压缩流体，有=u0 +=+=+xuxxuuiiijijij-p2 ij ij二广义牛顿内摩擦定理（本构关系）如果用坐标系表示，有=+=+xyvuxyxy2=+=+yzwvyzyz2=+=+zxuwzxzx2粘性切应力：法向应力：=+=+=+=+xppuxxxx22=+=+=+=+yppvyyyy22=+=+=+=+zppwzzzz22三粘性流体运动微分方程组-Navier-Stokes方程组利用牛

9、顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方程组。(在流场中取一个微分六面体流体微团进行分析，以x方向为例，建立运动方程）。=dtFmdux+=+=+zdtdz dydxdyxdxdzdtduxyXdxdydzdx dzdydzdydy dzdxdzdxzxzxzxxxxxyxyxxxyx()()()三粘性流体运动微分方程组-Navier-Stokes方程组整理后，得到+=+=+=+=+=+=xyzdtZdwxyzdtYdvxyzdtXduxzzzyzxyyyzyxxzxyx()1()1()1三粘性流体运动微分方程组-Navier-Stokes方程组这是以应力形式表示的流体运动微分方程组，具有

10、 普遍意义，既适应于理想流体，也适应于粘性流体。这是一组不封闭的方程，在质量力已知的情况下，方程中多了6个应力分量，要想得到封闭形式，必须引入本构关系，如粘性流体的广义牛顿内摩擦定律。三粘性流体运动微分方程组-Navier-Stokes方程组人类对流体运动的描述历史是：1500年以前1755年1822年1829年1843年Da Vinci（1452-1519，意大利科学家）定性描述。Euler（瑞士科学家，1707-1783）推导出理想流体运动方程组。Navier（1785-1836，法国科学家）开始考虑流体粘性。Poisson(1781-1846)。Saint Venant（1795-188

11、6)。三粘性流体运动微分方程组-Navier-Stokes方程组1845年Stokes(1819-1903，英国科学家)结束，完成了推导过程，提出现在形式的粘性流体运动微分方程组。（历时90年）。C.L.Navier（1785-1836，法国科学家）G.G.Stokes(1819-1903，英国科学家）三粘性流体运动微分方程组-Navier-Stokes方程组以x方向的方程为例，给出推导。引入广义牛顿内摩擦定理，即+=+=xyzdtXduxxzxyx()1=+=+=+=+=+=+xyxzvuwuxpVuyxzxxx 322代入得到+=+=+yxyzxzvuwudtxxxXVdupu 11321

12、12三粘性流体运动微分方程组-Navier-Stokes方程组+=+=+yyzyzVvwvdtyxxyYdvpvu3 2121 11对于y和z方向的方程为+=+=+yyzzzVwvwdtzxxzZdwpwu3 211211这就是描述粘性流体运动的N-S方程组，适应于可压缩和不可压缩流体。三粘性流体运动微分方程组-Navier-Stokes方程组写成张量的形式为对于不可缩流体，且粘性系数近似看作常数，方程组可得到简化。仍以x向方程进行说明。=u0=+=+dtxxxxxxXpduuuuiijjjiiiijj3 1121三粘性流体运动微分方程组-Navier-Stokes方程组+yzuu2222=+

13、=+=+=+xyzxxyzxuuuuvwuxx yyx zzuvuwuxxyxyzxzVuvuwu232 12112222222222222222三粘性流体运动微分方程组-Navier-Stokes方程组由此可得到=+=+=+=+=+=+dtzxyzZdwpwwwdtyxyzYdvpvvvdtxxyzXdupuuu111222222222222222222=+=+dtxxXpduuijiii122张量形式=+=+dtfpVdV1矢量形式三粘性流体运动微分方程组-Navier-Stokes方程组为了研究流体的有旋性，格罗米柯-Lamb等将速度的随体 导数加以分解，把涡量分离出来，形成如下形式的格罗米柯-Lamb型方程。+=+=+tVfpVVV212