模糊集合与模糊信息熵课程设计.docx

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1、模糊集合与模糊信息煽1948年，信息论的创始人Shannon发表了通信的数学理论，讨论了通信系统，用概率 方法开拓了对信息的了解和讨论。21世纪的社会是一个信息大爆炸的社会，我们的身边有 着各种各样的信息，人们对于如何有效处理这些信息的渴望促进了信息论的进展。在信息科 学进展中，模糊信息理论是一个快速进展的信息科学的分支，它与Shannon信息论有着很大 的差异，是一种基于模糊集理论的信息科学，在通信，计算机，声呐，雷达，导航，制导, 空间测控等各种电子系统中，模糊信息的提取，处理和采用占有极为重要的地位。本文具体 介绍了模糊信息与模糊信息端的概念，在了解焙的进展历程和深刻熟悉模糊信息概念的基

2、础 上，讨论模糊集合与模糊信息烯的基本性质，并采用模糊烯的性质解决了一些问题。一.信息的概念信息是指反响客观世界中各种事物的特征和变化的组合，是一种有用的组合。信息具有普遍性，传递性，识别性，转换性，存储，再生，共享性，价值性，时效性等 性质。二.模糊性指客观事物的差异在中介过渡时呈现的“异此异彼”性模糊性就是无法确定其界限的性质，大事本身的含义就是不明确的，但大事发生与否是 明确的。例：“老张的病不轻”，老张有病是明确的，但老张病重到何种程度是不明确的。模糊概念：.无明确的外延的概念，可以用集合来描述（即集合可以表示概念，一个概念有其外延和 内涵，内涵指的是符合此概念的对象所具有的共同属性，

3、外延指的是符合此概念的那些对象 的全体）模糊理论不对事物做简洁确实定与否认，而是用隶属度来反响某一事物属于某范畴的程 度，用这种方法来表示客观事物存在的模糊性。例：关于人，“年轻”的这个概念。毕竟多大年龄以下为“年轻”，这个标准是以每个人的主 观感觉为依据的，很难划定。我们不妨把年轻到什么程度的问题，用01之间的数来表示, 如 1540 岁分别表示成：15-1. 0, 20-0. 9, 25-0. 8, 30-0. 6, 35-0. 4, 40-0. 2.这就是一个模糊集 合，由于这些程度是构成该集合的元素，因此使它们对应起来的函数就称之为隶属度函数。 （可见模糊性的东西本身是没有明确的界限）

4、三.模糊信息与事物的模糊性想联系的信息称之为模糊信息。也可以说，模糊信息是以模糊状态显现 出的一种表现形式。模糊信息论与香农信息论同属于语法信息（将事物形式因素的信息局部称为“语法信息”） 的讨论领域，但有着不同的讨论对象，不同的讨论工具，不同的应用环境和不同的讨论目标。 四.模糊信息与模糊集合 定义4. 1 （集合）:给定论域X和给定的某一性质P, X中具有性质尸的元素所组成的总体，叫做集合， 简称为集。可又下式表示：A = x p（x） （4. 1）式中的p（x）为“X具有性质p”的缩写。设A是论域X上的集合，记1 x e A4A（X）= n d 卜（4.2）0 x A为集合A的特征函数。

5、对任一 X都有唯一确定的特征函数A（X） 0,1与之对应，这种对 应的关系成为映射。即a（x）：X f 0,1 （4.3）集合A可由A（X）来确定：A = x （x） = 1 （4. 4）定义4.2 （特征空间）:设论域为X, xeX,称X为对象空间，x的个特性用特征矢量（P,2,，P）表示。（卜2,，）全部可能的取值的集合，称为特征空间。定义4. 3 （隶属度函数）4A （x）：X中的一个模糊集合Al由隶属度函数A（ x =（P-P2，P）， X具有性质（|，2，”）来描述。它是一个定义在对象空间X上的特性空间到区间0,1的函数变换 （映射）。a（ X =，）在X点的数值表示X在A中的隶属度

6、=0称为X对A无隶属度；） = 1称为X|对A有满隶属度；（4.5）T 1称为X1对A有较高隶属度。定义4.4 （模糊集合）：令X是一个点（对象）集合，X是A中的一个元素，令 ,2,P 是X的个感爱 好的特性，那么一个X中的模糊集合A为也即论域X上的模糊集合4由隶属度函数从八（x）来表征。其中，a（x）在实轴的闭区间0,1 取值，4八（x）的值反响了 X中的元素x对于A的隶属程度。性质4. 1：A3如对X/xgX,均有 (x) = %(x) 4.6)那么称A和3相等，记为A = 3。性质4. 2：A,B如对X/xX,均有/ （x） 0为A的支集A与5的交集记做ADB，对X/xeX,均有柏3 （

7、x） = 4A （x） A 劭（X）= rnin（ 4A（%），b（幻）（4 8）A与8的并集记做AUB,对VxwX,均有AU8（%）= 4A（%）U 劭（不）=值双 4A（%），b （x）（ 4. 9）A的补集记做A对Vx$X,均有（x） = 1 -（x） （4. 10）性质4. 5：模糊集运算的基本定律，设为论域，为中的任意模糊子集，以下等式成立: 幕等律：ADA = A, AJA = A结合律：An（Bnc）=（AAB）nc交换律：AnB=5nAAUB=BUA排泄 AD（8UC） = （An8）U（AnC）女节E7（聿Au（Bnc）=（AUB）n（Auc）同一律：4口。= 4,40中=4

8、零一律：4rl= 0）,AUO = O汲取律：An（AU3） = AAU（Ap|5） = A得摩根律：（AnB）c=ACUBC 双重否认律：（A0）C=A性质4. 6：设 A 3 F（x）A与B的代数积，记做,、（4. 11）加8（x）= a（x）4（x）（4+8）（X）= a（X）+ 8（X）-a（X）x）（4. 12）A与5的有界积，记做4N 8,、（4. 13）（的m（x） = max （0, 4A（x） + 4（x）-l）A与3的有界和，记做43（4. 14）4（/b）（x）= min （1, 4A（x） + /x）性质4. 7：模糊集与一般集合，即清楚集不同，由于不能以取值0或1来打

9、算所考虑的元素是否属 于该集合而表达出了不确定性，这种不确定性在模糊数学中就是模糊性。五.燧的概念以及进展历程德国物理学家克劳修斯（R. Clausius）在19世纪60年月把焙作为热力学的一个概念而 提出。之所以要提出熠概念，是由于热力学第肯定律（能量守恒与转化定律）缺乏以描述自 然界的能流变化规律，因而需要一个描述转化的量和转化的概念，这就是嫡。帽可以表示一 个物质系统中能量衰竭程度，是用以判别自发过程的一个状态函数。克劳修斯炳，增焙原理（热力学其次定律）：系统的燧只能从低到高，而且绝不会向相 反的方向进行。玻尔兹曼端：燧是系统在某一热力学状态下分子运动混乱程度大小的一种度量。申农嫡（信息

10、端）：表达了关于事物不确定性的数学度量。信息端虽是源于热力学及统 计力学端，而又有所异化了的燧。燧既是状态量又是迁移量，而从本质上来说却是透过状态（不确定性，混乱等）代表的 一种非永恒，非平衡，非实体的思想观念。六.模糊信息端De Luca与Trmini以模糊集理论的形式定义了一种非概率嫡，这种端是所考虑状态不 确定的整体度量，可看成为与随机试验无关的信息的度量，这种病在不确定性主要来自内部 而不是统计上的情形是有用处的。因此它给出了状态模糊程度的一种度量，它也可被看成在 作出决策时受到的一种平均内在信息。对模糊集的模糊程度的数量化是模糊集理论的一个重 要方面。一般模糊性的度量称为模糊烯，它是

11、一个映射E（X） :FSs（x）r R+ （6. 1 ）式中：bS,（x）为有限离散论域X上的全部模糊子集的集合。模糊增都应满意以下的四条公理。其中 A（x）为模糊集A的隶属函数，VxeX说明任何清楚集不存在模糊性，所以它的模糊嫡为零；尸2说明在/Ss（x）中仅有一个模糊集具有最大程度的模糊性：尸3说明假设A峰化那么意味着它的模糊性削减了；鸟说明模糊 集A与它的补集具有相同的模糊性。Zadeh最先提出了度量模糊不确定性的设想，这种方法是与概率联系在一起的，设Xi(i = l,2,)消失的概率是2,那么E(A) = -ZA(x,)plogP,(6.2)Z=1不满意P4，从形式上看，它仅是加权Sh

12、annon熠。在不参照概率的条件下，De Luca与Trmini给出了模糊性的度量( A) = Z (x) log a (x) + 1 - % (x)logl- a (x) (6.3)x式中：K为归一化因子。满意Pip4Hgashi与Kiir提出一种观点。以模糊集A与它的补集之间4、的差异的缺少程度来度量 其模糊性。明显，模糊集A和它的补集A之间的差异程度越小，那么该集合越模糊。设。为 一般的距离度量，那么A的燧被定义为区(A) = d(B, Bc) - d( A A，)式中：3为论域X内的任意一个清楚子集，选择它的原那么是使得d(优区0)可能是RSs(X) 中与补集C运算有关的最大的距离。N

13、. R. Pal与S. K. Pal.以指数形式导出了另一类模糊燧定义：5(A) = KZ5)exp/ (巧)+ 1 - (七)expl - %(巧)Z=1式中K为常数。(6.4)满足P4设A, 3 尸Ss(X),那么根据Kosko的模糊子集度，记S(B,A)/S(A,B) = count (Api count (B)/(count (AD B)/count (A)(6.5) 或Zcount (AZcount (8) = S(氏A)/S(A,8)(6.6)这里S(A,3)表示集合A属于集合5的程度，或4处于B中子集的程度，亦称涉对A的模糊 信息支配。S(A,B) = Degree (A c B

14、) = count (Api B)/count(A)(6.7)其中ycount (A) = gxA(x)(6.8)两边取对数得：In (count(A)/count(B) = In (S(民A)/S(A,8)(6.9)S(B, A)/S(A, B)可看成模糊似然比。麓两个模糊信息4和3之间的子集度的减少， 式中的比率将趋近于。所以式中的右边可遮翠释为鉴别所需的信，曜，这种鉴别有利取 而不有利于瓦让4)和8()分别是A和8的隶属度函数，那么，从式中可以推出：In(Z4(Xi)/Z48(Xi)= ln (5(B,A)/5(AB)(6.10) ii对某个“i = l,2n,为鉴别所需要的信,醒为:

15、Xj) = In (A(xp/8(Xi)(6.11)因此，有利于4而不有利于为了鉴别所需要的横胡期望信息是：/1AB) = Ea(xP In (A(Xi)/8(xp )(6.12)类似的，在中鉴定段所需要的模糊信息期望是：c 0(6. 13)乙(A ,8，) = Z1 4a(毛力M(l 4A(七)/(I-Nb(七)力 i模糊偏礴与模糊关联焙模糊互牖与混合模糊燧定义在同一论域上的模糊子集往往不止一个，这些集合之间必定存在着各种各样的联系，张继国和朱永忠提出并讨论了模糊互信息，讨论显示它是刻画这种联系的工具之一。以上式给定的模糊燧定义为例，来讨论两个模糊焙之间的崎关系。虽然在下面借用了Shanno

16、n 熠的提法，但从概念上是完全不同的。定义64设A, BgFSs(X),那么它们之间的联合臧定义为：E(A U 3) = KZ(七)v b (七)logA(七)v b(七月 xeX+ 1 4a (七)V(七)log 1 A (x J V()(6.21)=-K (Z)log a()+ -%(Xz)logl-/A()+*/ 皿 ri ( J (6.22)xeX+xeX “1 一区)10gl - 4( )定义6.5：给定3下4的条件嫡以及给定4下3的条件炳分别定义为E(A/ B) = -K J (%) log % (%)(%) log 4(%)(6.23)xgX+ 1 (x)logl 4a (x)

17、1 一 4b (x)logl- b (x)E(B/A) = -KEb(%)logb(%)-4A(%)log4A(%)(6- 24) xeX+ 1 _ 4 (x)logl- b (%) - (x)logl- juA(x)性质6. 6：E(A/B) E(A),E(B/A) E(B) (6. 25)性质6. 7：E(AU B) = E(A) + E(B) - E(A A B) (6. 26)定义6.6：称石(AC 8) = E(A)-E(A/B) = E(B) E(B/ A) = E(8 C A)为模糊集A与B的模糊交互炒模糊交互燧或AD 3)或E(AU 3)度量了模糊集与所共有的模糊信息，在某种程

18、度上描述了它们之间的相像性。在3下的A模糊不确定性，小于4本身的模糊不确定性，也就是说，A所包含的模糊信息量在8确知的条件下削减了。这种削减量是确定削减量，下面将定义模糊信息的相对削减量。定义6. 7设模糊集4和3定义在论域上，那么分另称T(A,B) = E(A)-E(A/B)/E(A) = -E(A/B)/ E(A)( gT(B, A) = E(B) - E(B/ A)/ E(B) = 1-E(B/A)/ E(B) ,为3对A和A对8的模糊信息传递指数。一般而言，因为E(A) w (3),所以w T(3, A)7(A,B)表示在模糊信息方面模糊集 5对模糊集A的影响程度。例:设乂 = Lio

19、。表示年龄的某个论域，。和y分别表示“老年和轻”。它们的隶属 函数分别为%(x)二%(x)二y(X)=0l + (x-50)/5)-21l + (U-25)/5)2r10x5050x1000 x 2525x100解：为便于计算，将论域 X 离散化，。离散后的论域仍记为 X,X= 1,2,3,100.经计算得E (。)= 11.9401 E(y)= 12.9157E(O U 丫)= 21.5647 E(O D 丫)= 3.2929E(O / y) = 8.6427 E(Y / O) = 9.62467(0, y) 0.2785 7(K O) = 0.2549混合信息燧定义6.8：假定有一个离散概

20、率空可(x, P),模糊集A定义在论域Y上，X = Xi的概率等于 那么Deluc a和Termin i定义了 一种整体端，也尔为混合信息熠。P) = - P, (为)+ 1 - 4(Xj )logl - (七)X6.28) /=1如果记单个模糊事件x = A的Shannon烯与4的积为Si。贝1JE(X) = (1 + hp + %(1 + ) = (4 + + 2hisi)(6.29) i-li=l定义6.9：设离散模糊随机变最取值!4，-4，月。=4)=4，且石(4)= %,那么x的混合信息燃被定义为矶 X) = Z(l + /a)Pjog(l/0)+ 4l + Pjog(l/0)(6.

21、3O) i/=l从上式可以看出，模糊随机变量的混合蜡既包含了单独的模糊端(4)和概率燧局部(与)，同时也包含了它们的交叉局部(M),这充分表达了模糊随机变量既有相对独立的模糊性部分，又有相对独立的随机性局部，以及它们还交织在一起而不行分的特性。 公理：当模糊性(随机性)消逝时，混合燧应退化为一般的概率燧(模糊病)。总结：模糊信息论与Shannon信息论有着很大的差异，模糊信息论更难，更模糊，不过应用也 更广泛，由于模糊信息论更贴近实际生活。信息论是个好东西，学好信息论不仅需要好的数 学功底，还需要好的语文力量，对于一些抽象的概念，尤其得有好的理解力量。信息资源 的开发与采用是智力活动过程，它包括采用者的学问积累状况和规律思维力量，因此，信 息资源的开发采用对使用对象有肯定的选择性，同一内容的信息对于不同的使用者所产生的 影响和效果将会大不相同。因此学会如何处理以及有效采用信息将会是一种很重要的技能。 参考名目：1石峰 莫忠息信息论基础武汉：武汉高校出版社20062刘立柱概率与模糊信息论及其应用 北京：国防工业出版社2004 张继国(美)辛格信息崎-理论与应用北京：中国水利水电出版社2022