线性代数线性代数lecture (5).pdf

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1、5 5 线性变换线性变换线性变换线性变换 IIII5.1 恒同变换与基变换设为n维向量空间V上的恒同变换,则若取V的一组基 则于是,在这同一组基下,恒同变换 的矩阵是若取V的两组不同的基 则有5.1 恒同变换与基变换即则恒同变换 在两组基下的矩阵表示P为V的这两组基之间的基变换 矩阵.5.1 恒同变换与基变换例例(1):设 中有输入基 输出基求基变换矩阵.解解:所以这两组基的基变换矩阵是矩阵P.5.1 恒同变换与基变换记号如例(1).例例(2):设 中有输入基 输出基 求基变换矩阵.解解:所以这两组基的基变换矩阵是矩阵5.2 图像压缩基变换的应用一张256256像素的灰度图像其中 是 的标准基

2、.5.2 图像压缩基变换的应用换基底(以为例):小波基:Fourier基:5.2 图像压缩基变换的应用常用的图像压缩方法JPEG(Joint Photographic Expert Group)就是作基变 换,使用Fourier基.输入信号x无损压缩 换基x在新基W下的坐标有损压缩重建信号5.3 线性变换在不同基下的矩阵设V是n维向量空间,和是V的两组基,且其中P可逆.设是V上的线性变换,在这两组基下的矩阵分别 是A,B,即5.3 线性变换在不同基下的矩阵则又由于 线性无关,故有AP=PB,即5.3 线性变换在不同基下的矩阵定理定理:n维向量空间V上的线性变换 在V的不同基下的矩阵是相似矩阵.

3、5.3 线性变换在不同基下的矩阵从线性变换的复合的角度再看:5.3 线性变换在不同基下的矩阵注注:称n维向量空间V上的线性变换 在V的一组基下的矩阵A的特征多 项式,特征值,迹,行列式分别为线性变换 的特征多项式,特征值,迹,行 列式.5.4 矩阵分解与基变换对给定线性变换,选取适当基,使其矩阵尽可能简单.事实上,矩阵分解都可理解为线性变换在基变换下矩阵间的关系.设线性变换 在 的标准基 和 的标准基 下的矩阵为A.则可表示为5.4 矩阵分解与基变换 若改变 的基则 在v-基和-基下的矩阵为AP.若改变 的基则 在e-基和w-基下的矩阵为 若 作基变换则 在v-基下的矩阵为5.4 矩阵分解与基

4、变换(1)设线性变换 在 的标准基下的矩阵为A,则 可表示为A有n个线性无关的特征向量,则可构成 的一组新基.在 这组新基下的矩阵为对角阵5.4 矩阵分解与基变换故5.4 矩阵分解与基变换A和 为同一线性变换 在不同 基下的矩阵表示.A为 在 和 的标准基下的矩阵:为 在的v-基和 的u-基下的矩阵:的单位正交特征向量基.的单位正交特征向量基.故5.5 线性变换的核与像有两个与线性变换 密切相关的集合:命题命题:是向量空间V的子空间,是向量空间W的子空间.5.5 线性变换的核与像定义定义:称 为线性变换 的零度(nullity),称 为线性变 换 的秩(rank).例例:设A为实矩阵,则线性变

5、换 的核 的零度(故此数也成为矩阵A的零度),的 像的秩例例:求导变换 是一个线性变换,则的秩为n,零度为1.5.5 线性变换的核与像定理定理:设是V的一组基,在这组基下的矩阵是A.则(1)(2)的秩证明证明:(1)则故 显然又有 故5.5 线性变换的核与像(2)由(1)知,的秩等于向量组 的秩.又A的列向量分别 是在基下的坐标.而给定向量空间V的一组基,有线性同构映射 把V中任一向量与它在这组基下的坐标一一对 应起来.并且线性同构保持向量组的一切线性关系.因此向量组 的秩等于它的坐标向量组,也即A的列向 量组的秩,也即A的秩.于是 的秩5.5 线性变换的核与像定理定理:证明证明:5.5 线性变换的核与像5.5 线性变换的核与像5.5 线性变换的核与像定理定理:证明证明:5.5 线性变换的核与像5.5 线性变换的核与像5.5 线性变换的核与像5.6 不变子空间5.6 不变子空间5.6 不变子空间5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.7 幂零变换5.8 Jordan标准形5.8 Jordan标准形5.8 Jordan标准形5.8 Jordan标准形5.8 Jordan标准形