(4.1.2)--4.1.2随机变量的数学期望（二）.pdf

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1、4-1 随机变量的数学期望（二）第4章 随机变量的数字特征随机变量的函数的数学期望1.问题的提出：设已知随机变量 X 的分布,且 Y=g(X),那么应该如何计算Y=g(X)的数学期望?1）因为g(X)也是随机变量,故应有概率分布,它的分布可以由已知的 X 的分布求得.2）当知道了g(X)的分布后,就可以按照数学期望的定义去计算出E g(X)方法一：随机变量的函数的数学期望使用这种方法必须先求出随机变量函数 g(X)的分布,而实际中一般其计算是比较复杂的.这种方法的缺点:问题：是否可以不先求 g(X)的分布而只根据 X 的分布求得 E g(X)随机变量的函数的数学期望定理.()Yg X=设Y 是

2、随机变量 X 的函数：(是连续函数)g则：(1)当X是离散型随机变量,分布律为：kkpP Xxk=,1,2,1()kkkg xp=若绝对收敛,则有：()f x(2)当X是连续型随机变量,概率密度为()()E YE g X=1()kkkg xp=()()g x f x dx 若绝对收敛,则有：()()E YE g X=()()g x f x dx=随机变量的函数的数学期望 此定理可以推广到二个或二个以上随机变量的情形：设 Z 是随机变量 X,Y 的函数(,),Zg X Y=g是连续的函数,则有：(1)若(X,Y)为离散型随机变量,其联合分布律为：,1,2,iji jP Xx YyPi j=则有：

3、11()(,)(,)iji jjiE ZE g X Yg xyp=(,),f x y(2)若(X,Y)为连续型随机变量,其联合概率密度为则有：()(,)E ZE g X Y=(,)(,),g x y f x y dxdy=随机变量的函数的数学期望例1.XY01120.20.40.30.1求：E(Y)、E(XY)解：Y120.60.40120.50.40.1XY()E Y1 0.620.4=+=+1.4=()0 0.51 0.42 0.10.6E XY=+=+=或用定理：11()(,)(,)iji jjiE ZE g X Yg xyp=()(0 1)0.2(02)0.3(1 1)0.4(1 2)

4、0.1E XY=+=+0.6=随机变量的函数的数学期望例2.设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为：301(,)0 xyxf x y=其它ZXY=求：的数学期望解：()()E ZE XY=(,)xy f x y dxdy=(,)0f x y 显然,由题设的区域如图中的阴影部分11oyxxy因此有：1003()xdxxyxdyE Z=310=随机变量的函数的数学期望思考题.设国际市场对我国某出口商品的年需求量是一个随机变量 X（单位:吨）,它在 2000,4000 上服从均匀分布。设每售出这种商品一吨,可为国家挣外汇3万元,若售不出,则每吨需花费仓储费1万元.问：需组织多少货源,才能使国家的收益期望最大