线性代数线性代数lecture (4).pdf

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1、4 线性变换线性变换 I4.1 线性变换的定义和性质回顾定义定义:设V是一个非空集合,是一个数域.在V上定义了加法+:对任意有以及与V的数乘:对任意有且满足以下条件:4.1 线性变换的定义和性质则称V是数域 上的向量空间(或线性空间).4.1 线性变换的定义和性质定义定义:设V,W是数域 上的向量空间,V到W的映射若保持加法和数乘运算,即则称是一个线性变换线性变换(linear transformation).4.1 线性变换的定义和性质例例:1.向量空间V到W的零变换零变换(即)是线性变换,记为0.2.向量空间V上的恒等变换(即),称为恒等变换恒等变换.3.给定称为上的数乘变换.一般地,给定

2、称为V上由决定的数乘变换数乘变换.4.给定则T是线性变换.4.1 线性变换的定义和性质5.设A是实矩阵,则是到的线性变换.若A是实矩阵,则T是到自身的线性变换.6.设表示次数的一元实系数多项式集合,表示次数的一元实系数多项式集合,则是到的线性变换.4.1 线性变换的定义和性质7.设V表示定义在 上的连续函数集合,则是V到V的一个线性变换.8.把中向量 逆时针旋转 角的旋转变换旋转变换Q是线性变换.4.1 线性变换的定义和性质9.到xoy平面的投影变换投影变换是线性变换.4.1 线性变换的定义和性质10.关于xoy平面的反射变换反射变换是线性变换.4.1 线性变换的定义和性质注意,由定义,线性变

3、换有例11.不是线性变换.是线性变换例12.到平面z=1的投影变换不是线性变换.4.1 线性变换的定义和性质例13.给定3阶矩阵A,非零向量则不是线性变换.称变换为仿射变换仿射变换(affine transformation).例14.不是线性变换.因为若k 0.4.1 线性变换的定义和性质由定义立即得线性变换有如下的简单性质:命题命题:设是数域 上的向量空间V到W的线性变换,则(1)(2)(3)若线性相关,则也线性相关.即线性变换保持向量空间的线性关系.特别地,线性变换总是把直线变成直线,把三角形变成三角形,把平行四边形变成平行四边形4.2 线性变换的运算设为两个线性变换,则可定义:且则也是

4、的线性变换.4.2 线性变换的运算易知,线性变换的加法满足交换律,结合律,即:零变换0满足:对每个线性变换,可定义其负变换,易知,也是线性的,且4.2 线性变换的运算线性变换的数乘满足:向量空间V到W的全体线性变换构成一个向量空间,记为或特别地,记向量空间V到自身的全体线性变换构成的向量空间为或4.2 线性变换的运算定义定义:设定义线性变换的乘积为:直接验证得4.2 线性变换的运算特别地,对变换的乘积还有如下性质:4.2 线性变换的运算定义定义:设若存在使得则称 是可逆线性变换,称为的逆变换.注注:与矩阵类似,易证若的逆变换存在则必定唯一.记其逆变换为且有4.2 线性变换的运算例例:设考虑由A

5、定义的线性变换则 可逆A可逆.且由于线性变换的乘法满足结合律,故可定义线性变换的正整数幂规定容易验证,对任意非负整数m,n有4.2 线性变换的运算当 可逆时,定义 的负整数幂设是数域 上的一元多项式,定义称为线性变换的多项式.显然,4.3 线性变换的矩阵表示设V和W分别是数域 上n维,m维向量空间,是V到W的线性变换.在V中取一组基,则有于是,若要描述只需要描述4.3 线性变换的矩阵表示在W中取一组基则4.3 线性变换的矩阵表示即称矩阵A为线性变换T在V中给定基和W中给定基下的矩阵表示.注注:A中第j列恰是在基下的坐标.4.3 线性变换的矩阵表示例例:设取基设取基则求导变换有故4.3 线性变换

6、的矩阵表示例例:设及基定义如上例,则不定积分变换有故4.3 线性变换的矩阵表示例例:设表示所有2阶实矩阵的集合.是线性变换.取的一组基为则故4.3 线性变换的矩阵表示例例:设线性变换在的一组基下的矩阵为求T在基下的矩阵.解解:由已知4.3 线性变换的矩阵表示故4.4 线性变换与矩阵之间的关系定理定理:设是n维向量空间V的一组基,是m维向量空间W的一组基,A是任一矩阵,则有唯一的线性变换 满足4.4 线性变换与矩阵之间的关系证明证明:以矩阵A的第j列元素作为坐标,构造向量则存在线性变换 满足于是4.4 线性变换与矩阵之间的关系即有线性变换在V的基和W的基下的矩阵是给定的矩阵A.若都满足则故4.4

7、 线性变换与矩阵之间的关系分别取定向量空间V和W的基后,定理定理:设V是n维向量空间,W是m维向量空间,则与线性同构.4.4 线性变换与矩阵之间的关系定理定理(线性变换的乘积与矩阵的乘积)设分别为向量空间U,V,W的基.设在给定基下的矩阵分别为A,B,则在给定基下的矩阵为AB.证明证明:由则4.4 线性变换与矩阵之间的关系推论推论:设为可逆线性变换,且在V的某一组基下的矩阵为A,则在这组基下的矩阵为证明证明:由可逆,则有使得于是在给定基下的矩阵B应满足AB=I.故4.4 线性变换与矩阵之间的关系例例:设线性变换定义为线性变换定义为求线性变换在与的标准基下的矩阵.解解:注意到故在的标准基与的标准基4.4 线性变换与矩阵之间的关系下有又注意到,以及4.4 线性变换与矩阵之间的关系所以有AB=C.