初中数学《等腰三角形》知识点.docx

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1、初中数学等腰三角形知识点等腰三角形的判定 第十二讲等腰三角形的判定由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题供应了新的理论依据，所以找寻发觉等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等，实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1“角平分线+平行线”构造等腰三角形；2“角平分线+垂线”构造等腰三角形；3用“垂直平分线”构造等腰三角形；4用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形 例题求解【例1】如图，一个六边形的6个内角都是120

2、，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是cm(“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决，六边形的外角都为60，利用60构造等边三角形是解本例的关键注证明线段相等是最基本的几何问题，目前常用证法有：(1)若两线段属于两个三角形，则考虑证对应的三角形全等；(2)若两线段是同一个三角形两边，则考虑用等角对等边证明；(3)找寻中间线段，通过等量代换证明类似的，我们可以对证明角相等、等边三角形的判定作归纳总结不同形态的几何图形之间可相互转化，向外补形与对内分割是基本的两种转化方式【例2】如图，已知RtABC中，C=90，A=30，在直线BC

3、或AC上取一点P，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有()A2个B4个C6个D8个(江苏省竞赛题)思路点拨AB既可作等腰三角形PAB的腰，也可作为等腰三角形PAB的底，故要思索全面，才能正确地得出符合条件的P点的个数【例3】如图，ABC中，ADBC于D，B=2C，求证：AB十BDCD(天津市竞赛题)思路点拨如何利用条件B=2C?又怎样得到AB+BD?不同的思索方向，会找到解题的不同方法【例4】如图甲，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F(1)求证：AN=BM；(2)求证：CEF是等边三角形；(3)将ACM绕点C按逆时针方向旋转9

4、0，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并推断第(1)、(2)两小属结论是否仍旧成立(不要求证明)(荆门市中考题) 思路点拨图甲中有多对全等三角形，这是解(1)、(2)问的基础注若仅将题中的条件A30改为A=45，则符合条件的点有几个?若将题中的条件A=30，改为A30，A45，则符合条件的P点有几个?请读者思索分折法(执果溯因)，综合法(由因导果)是两种最基本的分析方法处理题设条件中的“两倍角”的基本途径是：(1)向外构造等腰三角形；(2)对内作角平分线【例5】如图，在五边形ABCDE中，BE，C=D，BC=DE，M为CD中点，求证：AMCD(武汉市选拔赛试题)思路点拨证明AMC=90

5、或应用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作协助线将五边形问题恰当地转化为三角形问题是解本例的关键 学历训练1如图，在ABC中，B、C的平分线相交于O点作MNBC，EFAB，GHAC，BCa，AC=b，ABc，则GMO周长+ENO的周长FHO的周长2如图，ABC中，AB=AC，B=36，D、E是BC上两点，使ADE=AED=2BAD，则图中等腰三角形共有个 3如图，ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，则D：C的值=（“五羊杯”竞赛题）4如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：ACBD；BC=DE；DBC=DAB；AB

6、E是等边三角形请写出正确结论的序号(把你认为正确结论的序号都填上)(2022午天津市中考题)5如图，在ABC中，BAC=106，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则EAM等于()A58B32C36D34 6如图，在ABC中，B2C，则AC与2AB之间的关系是()AAC2ABBAC2ABCAC2ABDAC2AB(山东省竞赛题)7等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于()A30B30或150C120或150D30或120或150(“希望杯”邀请赛试题)8在锐角ABC中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形()A只有一个且为等腰三角形B至少有两个且都为

7、等腰三角形C只有一个但不是等腰三角形D至少有两个，其中有非等腰三角形9如图，在RtABC中，AB=AC，BAC=90，O为BC的中点(1)写出点O到ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系(2)假如点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请推断OMN的形态，并证明你的结论(广东省中考题) 10如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AFEF11如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点12在ABC中，AB=AC

8、，高线AD=BC，AE为BAC的平分线，则CAD的度数为(北京市竞赛题)13如图，ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，则A=14如图，四边形ABCD中，AE、AF分别是BC，CD的中垂线，EAF=80，CBD=30，则ABC=，ADC=(天津市竞赛题)15有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点动身，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为度(江苏省竞赛题)16在等边ABC所在的平面内求一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有()A1个B4个C7个D10个17如图，在五边形ABCDE中，A=B=120，EA=AB=BC=DC=DE，则D（）

9、A30B450C60D67518如图，在ABC中，BAC=120，P是ABC内一点，则() APA+PB+PCAB+ACBPA+PB+PCAB+ACCPA+PB+PC=AB+ACDPA+PB+PC与AB+AC的大小关系不确定，与P点位置有关 19如图，在ABC内，BAC=60，ACB=40，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为BAC、ABC的角平分线求证：BQ+AQ=AB+BP(2022年全国初中数学竞赛矗)20，如图，在ABC中，AB=AC，ABC60，ABD=60，且ADB=90一BDC，求证：AC=BD+DC(天津市竞赛题)21如图，在ABC中，BAC=90，ABAC，D是AB

10、C内一点，且DAC=DCA=15，求证：BDBA22在平面内确定四点，连接每两点，使随意三点构成等腰三角形(包括等边三角形)，且每两点之间函线段长只有两个数值，则这四点的取法有多少种?画图说明(潍坊市中考题)23（1）如图，四边形ABCD中，AB=AD，ABD=60，BCD=120，证明：BC+DC=AC(2)如图，四边形ABCD中，AB=BC，ABC=60，P为四边形ABCD内一点，且APD=120，证明：PA+PD+PCBD(江苏省竞赛题) 24如图，等边三角形ABD和等边三角形CBDD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满意AE+CFa(1)

11、E、F移动时，BEF的形态如何?(2)求BEF面积的最小值 14311等腰三角形 14311等腰三角形教学目标1等腰三角形的概念2等腰三角形的性质3等腰三角形的概念及性质的应用教学重点1等腰三角形的概念及性质2等腰三角形性质的应用教学难点等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用教学过程提出问题，创设情境在前面的学习中，我们相识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简洁平面图形关于某始终线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些漂亮的图案这节课我们就是从轴对称的角度来相识一些我们熟识的几何图形来探讨：三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？有的三角形是轴对称图形，有的三角

12、形不是问题：那什么样的三角形是轴对称图形？满意轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形我们这节课就来相识一种成轴对称图形的三角形等腰三角形导入新课要求学生通过自己的思索来做一个等腰三角形作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角思索：1等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称

13、轴2等腰三角形的两底角有什么关系？3顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？结论：等腰三角形是轴对称图形它的对称轴是顶角的平分线所在的直线因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发觉它两旁的部分相互重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高由此可以得到等腰三角形的性质：1

14、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高相互重合（通常称作“三线合一”）由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质同学们现在就动手来写出这些证明过程）如右图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为所以BADCAD（SSS）所以B=C如右图，在ABC中，AB=AC，作顶角BAC的角平分线AD，因为所以BADCAD所以BD=CD，BDA=CDA=BDC=90例1如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：ABC各角的度数分析：依据

15、等边对等角的性质，我们可以得到A=ABD，ABC=C=BDC，再由BDC=A+ABD，就可得到ABC=C=BDC=2A再由三角形内角和为180，就可求出ABC的三个内角把A设为x的话，那么ABC、C都可以用x来表示，这样过程就更简捷解：因为AB=AC，BD=BC=AD，所以ABC=C=BDCA=ABD（等边对等角）设A=x，则BDC=A+ABD=2x，从而ABC=C=BDC=2x于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得x=36在ABC中，A=35，ABC=C=72师下面我们通过练习来巩固这节课所学的学问随堂练习（一）课本P141练习1、2、3（二）阅读课本P138P140

16、，然后小结课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简洁的应用等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高我们通过这节课的学习，首先就是要理解并驾驭这些性质，并且能够敏捷应用它们作业（一）课本P1471、3、4、8题课后作业：课堂感悟与探究板书设计14311等腰三角形（一）一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1等边对等角2三线合一 参考练习一、选择题1假如ABC是轴对称图形，则它的对称轴肯定是（）A某一条边上的高;B某一条边上的中线C平分一角和这个角对边的直线;D某一个

17、角的平分线2等腰三角形的一个外角是100，它的顶角的度数是（）A80B20C80和20D80或50答案：1C2C二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm求这个等腰三角形的边长解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，依据题意，得2（x+2）+x=16解得x=4所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm 等腰三角形的性质教案 等腰三角形的性质教案 【教材分析】本节课是在学生学习了三角形的基本概念，全等三角形和轴对称学问的基础上，进一步探讨的一种特别三角形等腰三角形。等腰三角形的性质为证明两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直供应了方法、也是后继学习等边三

18、角形、菱形、正方形、圆等内容的重要基础，因此本节课具有承上启下的重要作用.等腰三角形性质的探究是通过轴对称进行的，借助于轴对称发觉了等腰三角形的性质，也获得了添加协助线证明性质的方法。性质的证明是将欲证明相等的两个角（或线段）置于两个全等的三角形之中，这是证明两个角相等或两条线段相等的基本策略之一。等腰三角形性质的探究与证明体现了转化的思想.【教学目标】学问与实力1.探究并证明等腰三角形的性质.2.能利用等腰三角形的性质证明两个角相等.结合等腰三角形的性质的探究与证明过程，体会轴对称在探讨几何问题中的作用.过程与方法.经验等腰三角形性质的探究，学生通过实践、操作、视察、猜想、论证，发展合情推理

19、的实力和演绎推理的实力，同时增加语言表达实力.在应用等腰三角形的性质的过程中培育学生应用数学的意识.情感、看法与价值观在活动中，培育学生自主探究、合作沟通的意识，提高学习爱好.【教学重点】等腰三角形的性质的探究和应用.【教学难点】等腰三角形性质的验证.【教学方法】创设情境主体探究合作沟通应用提高【教学工具】长方形的纸片、剪刀、多媒体、课件【教学过程】一、创设情境，导入新课活动1.师：细致视察下列图片，你能找出它们的共同特点吗？等腰三角形的性质教学设计等腰三角形的性质教学设计等腰三角形的性质教学设计等腰三角形的性质教学设计（课件展示图片）（图1）生：这四幅图片中都存在着等腰三角形。师：前面我们已

20、经对等腰三角形有了初步的了解，今日我们来探究等腰三角形的性质.（板书课题）下面我们一起回顾一下等腰三角形的有关概念:(课件展示下列问题)等腰三角形的性质教学设计有两边相等的三角形叫,A相等的两边叫，另一边叫，两腰的夹角叫，腰和底的夹角叫.BC（图2）设计意图:通过视察图片和复习，为进一步探究等腰三角形的性质作好充分的打算.二、合作沟通，解读探究1.探究等腰三角形的性质.活动2:.如图（3），把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它绽开，得到的ABC有什么特点？等腰三角形的性质教学设计图（3）师生活动：老师指导学生折叠剪纸，学生动手操作，剪出三角形，然后小组沟通.生:等腰三角形.师

21、：上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表.重合的线段重合的角AB=ACB=CBD=CDADB=ADCAD=ADBAD=CAD设计意图：让学生利用轴对称性折叠等腰三角形，为等腰三角形的性质探究做打算.师：依据这些重合的线段和角，等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发觉它的其它性质吗?师生活动设计：学生经过视察，然后小组探讨总结，学生假如对性质概括的不全面，老师作适当的引导，老师板书学生猜想.命题等腰三角形的两个底角相等.设计意图：通过折叠的过程，引起学生学习的爱好，相识等腰三角形中的相等关系，得出等腰三角形的性质，培育学生乐于思索，

22、擅长视察、总结的学习品质.2.验证等腰三角形的性质.师：利用试验操作的方法我们发觉并概括出等腰三角形的性质，你能用所学学问验证上述命题吗？师生活动:学生依据结论画出图形，写出已知和求证，老师启发学生，学生相互沟通，老师反馈结果，引导学生说出证明思路，老师课件展示不同的证明方法，提示学生留意表述的精确性和严谨性.已知：如图（4），已知ABC中，AB=AC.求证：B=C.等腰三角形的性质教学设计图（4）证明：作底边中线AD，在ABD和ACD中，等腰三角形的性质教学设计ABDACD（SSS），B=C.设计意图:让学生逐步实现由试验几何到论证几何的过渡.师：你还能用其他做协助线的方法证明命题1吗？生1

23、：可以作底边上的高AD，利用“HL”证明ABDACD来证明B=C.生2：可以作顶角的平分线AD，利用“SAS”证明ABDACD来证明B=C.设计意图：让学生运用不同方法证明命题1，提高学生思维的深刻性和广袤性.（板书）性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；符号语言：在ABC中，AB=AC.B=C.三、应用迁移，巩固提高：1.等腰三角形一个底角为70,它的顶角为_.2.等腰三角形一个角为70,其它的另外两个角为_.3.等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_.总结:在等腰三角形中,顶角度数+2底角度数=1800顶角度数1800底角度数90设计意图：使学生知道解决等腰三角形

24、有关角度计算问题时,要留意分类探讨,以免漏解.四、畅所欲言谈收获(设计意图:通过老师提出问题,激发学生的自主参加意识,调动学生的学习爱好,为每一位学生创建在数学学习活动中获得胜利的体验的机会,并为不同的学生供应充分展示自己的机会)1.本节课你学到了什么学问?2.你是如何获得的?3.你的实力有什么提高?4.你和同学合作的开心吗?5.你还有什么困惑?五、应用提高、拓展创新已知一梁架(OA)，与架底(OB)的夹角为12，为了分解OA的受力，现准备在上面焊接一些钢条，其方法是在OA上选一点C1,然后取一些与OC1等长的钢条进行焊接，你能知道一共要打算多少根这样的钢条吗?等腰三角形的性质教学设计等腰三角

25、形的性质教学设计学生活动设计：学生小组合作、分组探讨、沟通并完成。六、作业布置(设计意图:通过作业的分层布置,供不同层次的学生选用,依据新课程标准,让不同的人在数学上得到不同的发展.)1.（必做题）：课本习题13.3，第4,6题。2.（选做题）：课本习题13.3，第9题。七、板书设计七板书设计: 八、教学反思1.本节的学习任务比较重要,有等腰三角形性质的推导、性质的应用,所以针对学生的特点,应充分地发挥学生的主观能动性,让学生自己去发觉去联想.2.通过学生自己动手试验得到等腰三角形性质的内容,可以使他们比较好地驾驭学问,提高学习数学的爱好,达到事半功倍之效.3.在整个教学过程中,利用多媒体教学手段,使学生在试验中提出问题,解决问题,不知不觉地进入学习氛围,让学生从被动学习步入主动想学. 第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页