八年级数学上册《探索勾股定理》知识点北师大版.docx

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1、八年级数学上册探索勾股定理知识点北师大版八年级数学上册探究勾股定理教案 八年级数学上册探究勾股定理教案 一、教学目标： 学问与技能目标： 1、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探究过程，学习利用拼图验证勾股定理的方法。 2、会利用勾股定理解决生活当中的实际问题。 过程与方法目标： 在勾股定理的探究过程中，培育合情推理实力，体会数形结合和从特别到一般的思想。 1、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。 2、在探究活动中，学会与人合作，并能与他人沟通思维的过程和探究的结果。 情感与看法目标： 1、通过对勾股定理历史的了解，对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的探讨，激发学生酷爱

2、祖国悠久文化的情感，激励学生奋勉学习。 2、在探究勾股定理的过程中，培育合作意识和探究精神，以及严谨的数学学习看法。体会勾股定理的应用价值。 二、教学重、难点 重点：了解勾股定理的演绎过程，驾驭定理的应用。 难点：理解勾股定理的推导过程。 关键：通过网格拼图的方法来探究勾股定理的证明过程，理解其内涵。 三、教学打算： 制作投影幻灯片，网格图，设计好拼图（用纸片制作）。 四、教学方法： 本节课采纳情境导入法，探究发觉法教学，由浅入深，由特别到一般地提出问题，激励学生采纳视察分析、自主探究、合作沟通的学习方法，让学生经验数学学问的形成与应用过程。 五、教学程序 一、创设情境，导入新课 （显示投影片

3、1、2） 小明现在遇到难题： 1、大风将学校的一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，非常紧急。(如图)现在确定从断裂处将旗杆折断，须要划出一个平安警戒区域，想请小明确定这个平安区域的半径至少是多少米，你能帮帮他吗？ 2、小明妈妈买了一部29英寸（约为74厘米）的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发觉屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得肯定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能说明这是为什么吗？ 老师活动：引导学生视察，提出问题，我们怎样帮他解决呢？ 学生活动：听取老师讲解并描述，观看情境。 设计意图;这样引入可唤起学生的新奇心和求知欲，激发学生的爱好，从而较自然的引入课题。 二、合作探究，体验发觉

4、 要想帮小明解决这两个难题,我们还得先弄懂相关的学问.这就是我们本节课要学习的内容。 （显示投影片3） 相传2500年前，一次毕达哥拉斯去挚友家作客，发觉挚友 家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来视察左边的图案，看看你能发觉什么？ 八年级数学上册学问点归纳：勾股定理的逆定理 八年级数学上册学问点归纳：勾股定理的逆定理 学问点总结一、勾股定理：1.勾股定理内容：假如直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

5、（1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更；（2）依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。4.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。二、勾股定理的逆定理1.逆定理的内容：假如三角形三边长a，b，c满意a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。 说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形态，在运用这肯定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时

6、，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不行认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满意a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.2.利用勾股定理的逆定理推断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满意“两个较小面积和等于较大面积”。五、勾股定理及其逆定

7、理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常干脆间接运用勾股定理及其逆定理的应用。常见考法（1）干脆考查勾股定理及其逆定理；（2）应用勾股定理建立方程；（3）实际问题中应用勾股定理及其逆定理。误区提示（1）忽视勾股定理的适用范围；（2）误以为直角三角形中的肯定是斜边。【典型例题】（2022湖北孝感）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有许多种证明方法，我国汉代数学家赵爽依据弦图，利用面积法进行证明，闻名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。定理表述请你依据图1中的直角三角形叙述勾股定理（

8、用文字及符号语言叙述）；尝试证明以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；学问拓展 一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分)1.ABC的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是()A.a=41，b=40，c=9B.a=1.2，b=1.6，c=2C.a=12，b=13，c=14D.a=35，b=45，c=12.以下列数组为三角形的边长：(1)5，12，13;(2)10，12，13;(3)7，24，25;(4)6，8，10，其中能构成直角三角形的有()A.4组B.3组C.2组D.1组3.五根小木棒，其长度分别为

9、7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是()A.B.C.D.4.下列命题中，真命题是()A.假如三角形三个角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形;B.假如直角三角形两直角边的长分别为a和b，那么斜边的长为a2+b2;C.若三角形三边长的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形;D.假如直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么斜边上的高h的长为abc显示解析5.下列命题的逆命题是真命题的是()A.若a=b，则a2=b2B.全等三角形的周长相等C.若a=0，则ab=0D.有两边相等的三角形是等腰三角形显示解析6.ABC中A、B、C的对边分别是a、

10、b、c，下列命题中的假命题是()A.假如C-B=A，则ABC是直角三角形B.假如c2=b2-a2，则ABC是直角三角形，且C=90C.假如(c+a)(c-a)=b2，则ABC是直角三角形D.假如A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形7.下列四条线段不能组成直角三角形的是()A.a=8，b=15，c=17B.a=9，b=12，c=15C.a=5，b=3，c=2D.a：b：c=2：3：48.以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是()A.5cm，12cm，13cmB.5cm，8cm，11cmC.5cm，13cm，11cmD.8cm，13cm，11cm9.ABC中，假如三边满意关

11、系BC2=AB2+AC2，则ABC的直角是()A.CB.AC.BD.不能确定10.三角形的三边长为a，b，c，且满意(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形二、填空题(共16小题，满分40分)11.已知ABC的三边长a，b，c分别为6，8，10，则ABC(请填“是”或“不是”)直角三角形.显示解析12.ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则A=度.显示解析13.ABC中，BC=n2-1，AC=2n，AB=n2+1(n1)，则这个三角形是三角形.显示解析14.假如三角形的三边长为1.5，2，2.5，那么这个三角形最短的高为.显

12、示解析15.已知一个三角形的三边长分别为k+1，k+2，k+3，那么当k=时，此三角形是直角三角形.显示解析16.在ABC中，若a2+b2=25，a2-b2=7，c=5，则最大边上的高为.显示解析17.若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2.显示解析18.三角形的两边长为5和4，要使它成为直角三角形，则第三边的平方为.显示解析19.假如一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这条边所对的角等于度.显示解析三、解答题(共8小题，满分0分)27.如图所示，四边形ABCD中，BADA，AB=2，AD=23，CD=3，BC=5，则ADC=度.显示解析28.如图所

13、示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A起先沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，假如同时动身，则过3秒时，BPQ的面积为cm2.显示解析29.已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=34，CD=134，AD=3，且ABBC.则四边形ABCD的面积为.显示解析30.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量.小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知B=90度.那么这块土地的面积为平方米.显示解析31.如图，在操

14、场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点构成直角三角形(请填“能”或“不能”)显示解析32.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海疆，我海军甲、乙两艘巡逻艇马上从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40，则甲巡逻艇的航向为北偏东度.33.能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，视察下列表格所给出的三个数a，b，c，a(1)试找出它们的共同点，并证明你的结论;(2)写出当a=17时，b，c的值.3，4，53

15、2+42=525，12，13，52+122=1327，24，2572+242=2529，40，4192+402=41217，b，c172+b2=c234.已知：在ABC中，CDAB于D，且CD2=ADBD.求证：ABC总是直角三角形. 八年级数学上册勾股定理的逆定理学案 八年级数学上册勾股定理的逆定理学案 一、教材“勾股定理的逆定理”一节?是在上节“勾股定理”之后接着学习的一个直角三角形的推断定理，它是前面学问的接着和深化。勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后推断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中将有非常广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何

16、问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一。二、学情中学生心理学探讨指出，初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从阅历型逐步向理论型发展，视察实力、记忆实力和想象实力也随着快速发展。学生此前学习了三角形有关的学问，驾驭了直角三角形的性质和勾股定理，学生在此基础上学习勾股定理的逆定理可以加深理解。三、教学目标依据数学课标的要求和教材的详细内容结合学生实际我确定了如下教学目标。【学问与技能】理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理。利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。【过程与方法】通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解

17、决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题。【情感看法与价值观】?通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人沟通、合作的意识和探究精神。四、教学重难点重点：勾股定理逆定理的应用;难点：探究勾股定理逆定理的证明过程。五、教学方法科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完备统一。基于此，我打算采纳的教法是讲练结合法，小组探讨法。六、教学过程(一)导入新课在导入新课环节，我会采纳温故知新的导入方法，先让学生回顾勾股定理有关学问，并引入本节课的课题勾股定理逆定理。【设计意图】通过复习回顾能很好地将新旧学问联系起来，使学生形成对学问的系统的相识。并且由旧知起先，能很好地帮助学生克服畏难

18、心情。(二)探究新知一开课我就提出了与本节课关系亲密、学生用现有的学问可探究却又解决不好的问题去提示本节课的探究宗旨，演示古代埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后便得到一个直角三角形这是为什么?这个问题一出现，立刻激起学生已有学问与待探讨学问的相识冲突，引起了学生的重视激发了学生的爱好，因而全身心地投入到学习中来创建了我要学的气氛，同时也说明白几何学问来源于实践不失时机地让学生感到数学就在身边。因为几何来源于现实生活，对初二学生来说选择适当的时机让他们从个体实践阅历中起先学习可以提高学习的主动性和参加意识，所以勾股定理的逆定理不是由老师干脆给出的，而是让学生通过动手折纸在详细的实践中视察

19、满意条件的三角形直观感觉上是什么三角形，再用直角三角形插入去验证猜想。这样设计是因为勾股定理逆定理的证明方法是学生第一次见，它要求根据已知条件作一个直角三角形，依据学生的智能状况学生是不简单想到的，为了突破这个难点，我让学生动手裁出了一个两直角边与所折三角形两条较小边相等的直角三角形，通过操作验证两三角形全等，从而不仅显示了符合条件的三角形是直角三角形，还孕育了协助线的添法，为后面进行逻辑推理论证供应了直观的数学模型。接下来就是利用这个数学模型，从理论上证明这个定理。从动手操作到证明，学生自然地联想到了全等三角形的性质，证明它与一个直角三角形全等顺当作出了协助直角三角形，整个证明过程自然无神奇

20、感，实现了从生动直观向抽象思维的转化，同时学生亲身体会了动手操作视察揣测探究论证的全过程。这样学生不是被动接受勾股定理的逆定理?因而使学生感到自然、亲切。学生的学习爱好和学习主动性有所提高，使学生的确在学习过程中享受到自我创建的欢乐。在同学们完成证明之后，可让他们比照课本把证明过程严格的阅读一遍充分发挥教科书的作用养成学生看书的习惯这也是在培育学生的自学实力。(三)巩固提高本着由浅入深的原则支配了三个题目。演示第一题比较简洁(推断下列三条线段组成的三角形是不是直角三角形，比如15、8、17;13、14、15等等)让学生口答让全部的学生都能完成。其次题则进了一层用字母代替了数字，绕了一个弯，既可

21、以检查本课学问又可以提高敏捷运用以往学问的实力。思维提高了课堂教学的效果和利用率。在变式训练中我还采纳讲、说、练结合的方法，老师通过视察、提问、巡察、谈话等活动、刚好了解学生的学习过程，随时反馈调整教法同时留意加强有针对性的个别指导把发展学生的思维和随时把握学生的学习效果结合起来。(四)小结作业在小结环节，我会随机询问学生勾股定理的逆定理是什么?假如推断一个三角形是不是直角三角形，以及勾股定理的逆定理的应用须要留意点什么等问题，先让学生归纳本节学问和技能，然后老师作必要的补充，尤其是留意总结思想方法培育实力方面比如协助线的添法。设计意图：这样设计可以帮助学生以反思的形式回忆本节课所学的学问，加

22、深对学问的印象，有利于学生良好的数学学习习惯的养成。由于学生的思维素养存在肯定的差异，教学要贯彻“因材施教”的原则，为此我支配了两组作业。第一组是基础题，我会用ppt出示关于勾股定理的逆定理的计算题目，这样有利于学生学习习惯的培育，以及提高他们学好数学的信念。其次组是开放性题目，让学生课后思索总结一下判定一个三角形是直角三角形的方法。 第12页 共12页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页