高二数学数学归纳法的应用008.docx

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1、高二数学数学归纳法的应用008数学归纳法1.4数学归纳法教学过程：一、创设情境，启动思维情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛”的脑筋急转弯等；老师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特别状况归纳出一般状况的方法-归纳法，这就是今日的课题.人们通常也会用归纳法思索问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.情境二：华罗庚的“摸球试验”1、这里有一袋球共12个，我们要推断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么推断？启发回答:方法一：把它全部倒出来看一看特点：方法是正确的，但操作上缺乏依次性方法二：一个一个拿，拿一个看一个

2、比如结果为：第一个白球，其次个白球，第三个白球，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球特点：有依次，有过程2、假如想象袋子有足够大容量，球也无限多？要推断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？情境三:回顾等差数列通项公式推导过程：设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题-归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的沟通激发学生的爱好，调动学生学习的主动性情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟识的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.二、师生互动，探究问题承上启下：以上问题的思索和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？学生回答以上

3、问题，得出结论：1.归纳法：由一些特别事例推出一般结论的推理方法.特点：由特别一般；2.完全归纳法:把探讨对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；3.不完全归纳法:依据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预料，水文预报，地震预料用的就是归纳法4.引导学生举例：不完全归纳法实例：如欧拉发觉立体图形的欧拉公式:(V为顶点数,E为棱数,F为面数)完全归纳法实例：如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种状况探讨设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过

4、的数学学问，并在这里我支配学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生主动投入到探寻论证方法过程的氛围中.三、借助史料,引申思辨问题1：已知（nN），(1)分别求；(2)由你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？问题2：费马（Fermat）是17世纪法国闻名的数学家，他是解析几何的独创者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有很多贡献他曾认为，当nN时，肯定都是质数，这是他对n0，1，2，3，4作了验证后得到的后来，18世纪宏大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明白429496

5、72976700417641，从而否定了费马的推想没想到当n5这一结论便不成立老师总结:有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今日我们是无法回答的但是要告知同学们，失误的关键不在于多算一个数上！问题3：,当nN时，是否都为质数？验证：f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151，f（39）1601但是f（40）1681，是合数承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以宽恕，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运

6、用归纳法出错的缘由，并探讨出对策来,寻求数学证明.老师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？设计意图：在生活引例与已学数学学问的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受运用归纳法的普遍性同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法经常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？结论正确性怎样给出证明？学生肯定会带着很多问题进入下一阶段探究.四、实例再现，激发爱好1、演示多米诺骨牌嬉戏视频.师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：第一块要倒下;当前面一块倒下时，后面一块必

7、需倒下;当满意这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.再举例：再举几则生活事例：推倒自行车,早操排队对齐等2、学生类比多米诺骨牌依依次倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.设计意图：布鲁纳的发觉学习理论认为，“有指导的发觉学习”强调学问发生发展过程这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发觉数学归纳法的雏形，是一种再创建的发觉性学习另外，这个环节里，我在培育学生大胆猜想、类比概括实力方面实践的不够好应当让学生在类比多米诺骨牌嬉戏的基础上说出数学归纳法原理，老师赐予确定和补充即可。事实上，情境的设计都是为学生更好的学问迁移而服务的。概括实力是思维实力的核心鲁宾斯坦指出：思维都是在概括

8、中完成的心理学认为“迁移就是概括”，这里学问、技能、思维方法、数学原理的迁移，突破口就是学生的概括过程五、类比联想，形成概念1、类比多米诺骨牌过程,证明等差数列通项公式(师生共同完成,老师强调步骤及留意点)(1)当n1时等式成立；(2)假设当nk时等式成立,即,则=,即nk1时等式也成立于是,我们可以下结论：等差数列的通项公式对任何n都成立2数学归纳法原理(学生表述,老师补正)：（1）（递推奠基）：n取第一个值(例如)时命题成立；（2）（递推归纳）：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；（归纳假设）利用它证明当n=k+1时结论也正确.（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0起先的

9、全部正整数n都正确，这种证明方法叫做数学归纳法3、数学归纳法的本质：无穷的归纳有限的演绎（递推关系）设计意图：至此，由生活实例动身，与学生一起解析归纳原理,揭示递推过程.老师强调数学归纳法特点.数学归纳法事实上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数有关问题的有力工具，一种具普遍性的方法.六、探讨沟通，深化相识例1、数列中,1,(n),通项公式是什么？你是怎么得到的？探讨一：视察数列特点，变形解出.探讨二：先计算，的值，再推想通项的公式,最终用数学归纳法证明结论设计意图：通过典型例题使学生探究尝试，一方面体验“视察归纳猜想证明”完

10、整过程，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能使他们体验数学方法，培育学生独立探讨数学问题的意识和实力不同的方法也体现解决问题的敏捷性.七、反馈练习,巩固提高（请两位同学板演以下两题，老师指正）1、用数学归纳法证明：135（2n1）2、首项是，公比是q的等比数列的通项公式是3、用数学归纳法证明：时，下列推证是否正确，说出理由？证明：假设时，等式成立就是成立那么=这就是说当时等式成立，所以时等式成立.4、推断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.求证：证明：当n=1时，左边右边，等式成立.设n=k时，有那么，当n=k+1时，有，即n=k+1时，命题成立依据可知，对nN，等式成立.设计意图：练习题1，2

11、的证明难度不大，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的驾驭状况这样既可以检验学生的学习水平，保证不盲目拔高，同时不冲淡本节课的重点，对例题是一个很好的对比与补充通过3，4的易错辨析，进一步体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论，“递推基础不行少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”.八、总结归纳，加深理解1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；2、归纳法是一种由特别到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，枚举法仅局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不肯定具有牢靠性，数学归纳法属于完全归纳法；3、数学归纳法作为一种证明方法，其基本

12、思想是递推(递归)思想，运用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不行少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；4、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证思想九、布置作业,课外延长十、书面作业：见教材P56课后思索题：1.是否存在常数a、b、c使得等式：对一切自然数n都成立并证明你的结论.2.是否存在常数a、b、c，使得等式1对一切自然数n都成立？并证明你的结论（a=3,b=11,c=10）设计意图:思索题则起着承上启下的作用,它既是“视察归纳猜想证明”的完整思维探究过程的再体验，也是对下节课内容的铺垫与伏笔高二上册数学数学归纳法教学设计 高二上册数学数学归纳法

13、教学设计 教材分析： “数学归纳法”既是中学数学中的一种重要的数学方法。它贯穿了中学数学的几大学问点：不等式，数列，三角函数在教学过程中，老师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，驾驭数学归纳法的证题步骤（特殊要留意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，驾驭了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它敏捷证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的牢靠性，或者只是形式上的仿照而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。依据本节课的教学内

14、容和学生实际水平，本节课采纳“引导发觉法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热忱，通过“师生”和“生生”的沟通合作，驾驭概念的深层实质。 教学目标 1、学问和技能目标 (1)了解数学推理的常用方法（归纳法） (2)了解数学归纳法的原理及运用范围。 (3)初步驾驭数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。 (4)会用数学归纳法证明一些简洁的等式问题。 2、过程与方法目标 通过多米诺骨牌试验加深对数学归纳法的原理的理解，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培育学生探究发觉问题、提出问题的意识，解决问题和数学沟通的实力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新学问。 3.情感看法价

15、值观目标 通过对问题的探究活动，亲历学问的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探究中挫折的艰辛和胜利的欢乐，感悟“数学美”，激发学习热忱，培育他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探究的治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。 教学重点和难点 教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质。 （2）驾驭数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。 教学难点： （1）数学归纳法的原理； 教学方法：讲授法、引导发觉法、类比探究法、讲练结合法 教学过程： （一）: 如何通过有限个步骤的推理，证明n取全部正整数都成立？ （二）新课讲解 1、多米诺骨牌试验 要使全部的多米诺骨

16、牌一一倒下？须要几个步骤才能做到？ （1）第一张牌被推倒（奠基作用） （2）随意一张牌倒下必需保证它的下一张牌倒下（递推作用） 于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。 2、类比总结（板书） 板书例1 引导学生总结数学归纳法步骤： 其次步的证明没有用到假设，这不是数学归纳法 留意：递推基础不行少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。 用数学归纳法证明恒等式的步骤及留意事项： 明确首取值n0并验证真假。（必不行少） “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 明确等式左端变形目标，驾驭恒等式变形常用的方法：

17、乘法公式、因 式分解、添拆项、配方等，并用上假设。 课堂练习 用数学归纳法证明：在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（C） A1B.CD. 用数学归纳法证明命题时，假设那么 课本37页练习1,2,3 （三）、课堂小结 1、数学归纳法能够解决哪一类问题？ 一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题 2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？ 两个步骤和一个结论，缺一不行 3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？ 关键在其次步，即归纳假设要用到，解题目标要明确 4、数学归纳法体现的核心思想是什么？ 递推思想，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题 留意类比思想的运用 （四）、作业:39页习题2-3A组

18、1,2,3 （五）、板书设计: 数学归纳法（一）例1：学生板演 数学归纳法：证明： 1. 2. 归纳法 一般中学课程标准试验教科书数学选修2-2人教版B2.3.1数学归纳法 教学目标：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简洁的数学命题。教学重点：了解数学归纳法的原理教学过程一、复习：推理与证明方法二、引入新课1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题经常采纳下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0

19、，假如当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(kn0，kN*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，依据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对全部不小于n0的正整数n0+1，n0+2，命题都成立.3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0起先的全部正整数n都正确4、例子例1用数学归纳法证明：假如an是一个等差数列，那么an=a1+(n1)d对一切nN*都成立.例2用数学归纳法证明例3推断下列推证是否

20、正确，若是不对，如何改正.证明：当n=1时，左边右边，等式成立设n=k时，有那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立依据问可知，对nN，等式成立课堂练习：第80页练习课后作业：第82页A:1,2,3 高二数学数学归纳法学案练习题 2.3数学归纳法（1）一、学问要点1.数学归纳法原理： 2.在运用数学归纳法证明问题时，第一步验证初始值可称为“初始步”，其次步运用归纳假设可称为“递推步”，这两个步骤缺一不行。二、典型例题例1.用数学归纳法证明：等差数列中，为首项，为公差，则通项公式为. 例2.用数学归纳法证明：当时，；例3.用数学归纳法证明：当时，. 三、巩固练习1.什么是数学归纳法？在用

21、数学归纳法解题时，为什么步骤和步骤两者缺一不行？ 分析下列各题（23）用数学归纳法证明过程中的错误：2.设，求证：.证明：假设当时等式成立，即那么，当时，有因此，对于任何等式都成立.3.设，求证：.证明：当时，不等式明显成立.假设当时不等式成立，即，那么当时，有.这就是说，当时不等式也成立.依据和，可知对任何不等式都成立. 四、课堂小结运用数学归纳法留意两点：1.验证的初始值至关重要，且初始值未必是1，要看清题目；2.其次步证明的关键是要运用归纳假设，特殊要弄清由“到”时命题的改变(项的增加或削减).五、课后反思六、课后作业1.用数学归纳法证明，第一步验证=.2.用数学归纳法证明，第一步即证不等式成立.3.当为正奇数时，求证被整除，当其次步假设命题为真时，进而需证=时，命题亦真.4.用数学归纳法证明，从“到”左端需增乘的代数式为.5.用数列归纳法证明，其次步证明从“到”，左端增加的项数为.用数学归纳法证明下列各题6. 第13页 共13页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页第 13 页 共 13 页