二次函数的性质与图像.docx

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1、二次函数的性质与图像221一次函数性质与图像学案 221一次函数性质与图像学案【学习目标】驾驭一次函数的概念和性质，明确一次函数的图像是一条直线，体会变量之间的依靠关系。【自主学习】一次函数的性质与图像1）一次函数的概念：函数叫做一次函数，它的定义域为，值域为。2)一次函数的图像是，简写为，其中叫做该直线的。叫做该直线在轴上的。一次函数又叫做。3）一次函数的性质（1）函数值的变更量与自变量的变更量的比值等于常数。（2）当0时，一次函数是增函数；当0时，一次函数是。（3）当时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当时，它既不是奇函数也不是偶函数。（4）直线与轴的交点为，与轴的交点为。跟踪：直线与直

2、线的位置关系如何？ 【典例示范】例：画出函数的图像，利用图像完成下述问题：（1）求方程的根；（2）求不等式的解集；（3）当时，求的取值范围；（4）当时，求的取值范围；（5）求图像与坐标轴的两个交点的距离；（6）求图像与坐标轴围成的三角形的面积。 【欢乐体验】1、下列说法正确的是（）A、函数为一次函数B、函数的图像是一条是与x轴相交的直线C、函数的图像是一条是与x轴相交的直线D、函数是一次函数2、函数的解析式为，则其对应直线的斜率与在轴上的截距分别为（）A.,B1,C1,D3、若是一次函数，则（）A、B、C、D、或4、若函数的图像经过第一、二、三象限，则与的取值范围分别是（）ABCmD5、假如那

3、么一次函数的图像的大致形态是（） ABCD6、函数的图像不行能是（） ABCD7、过点作直线，使它在x轴，y轴上的截距相等，则这样的直线有（）A、1B、2C、3D、48、函数的值域为则k=，b=。9、函数在上是减函数，则k的范围是。10、一次函数在上总取正值，则m的取值范围是。11、已知直线的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线的方程。 12、解答下列各题：（1）、求函数的值域。（2）、函数是减函数，求a的取值范围。（3）、函数在上的值有正有负，求a的取值范围。（4）、直线的图像不经过其次象限，求实数m的取值范围。 二次函数性质的再探讨 二次函数性质的再探讨一、内容与解析（一）内容

4、：二次函数性质的再探讨。（二）解析：二次函数问题多以解答题的一个部分出现，主要考查利用二次函数的图像和性质探讨最值、值域、单调性、求函数值等问题.特殊是定轴动区间或（动轴定区间）问题是高考考查的热点也是难点，学本节时应加强练习，并能敏捷运用数形结合的思想来解决问题.二、目标及其解析：（一）教学目标（1）驾驭二次函数的求最值、对称性和平移以及二次函数解析式的求法和二次函数的应用；（二）解析（1）二次函数是一重要的函数，驾驭好二次函数，对学生学习以后的函数有重要的启发作用，学习时，要特殊留意其性质的把握，这里面一个最关键的是对称轴。三、问题诊断分析探讨二次函数问题肯定留意问题成立的范围，超出范围的

5、解是无效的.因此探讨二次函数时，不仅要关注函数的解析式还要关注函数的定义域，这一点对初学者来说，是很简单犯错的。四、教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，打算运用PowerPoint2022。因为运用PowerPoint2022，有利于供应精确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺当抓住老师上课思路，节约老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。五、教学过程（一）研探新知：（1）1.二次函数的性质 图像开口方向顶点坐标对称轴 单调区间单调递减区间调递增区间单调递增区间单调递减区间最值当,取得最小值为当,取得最大值为 2二次函数性质的应用如何确定二次函数的性质如何确定二次函数在闭区间上的

6、值域或最值3.二次函数的三种解析式顶点式：y=a(x-h)2+k(a0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h.假如已知顶点，则可设成这种形式.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标.假如已知二次函数与x轴的交点坐标，则可设成这种形式.一般式：y=ax2+bx+c(a0),若已知二次函数上随意3点坐标，可设为这种形式.（二）类型题探究题型一二次函数的最值与解析式问题例1已知，函数、表示函数在区间上的最小值，最大值，求、表达式解析：由，知图像关于对称，结合图像知，当，即时，；而当，即时，；当，即时，当，即时，；当，即时，题型二二次函数的实际应

7、用问题例2某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月须要维护费150元，未租出的车每辆每月须要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：，所以这时租出了88辆车；（2）设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益为：，整理得：，所以，当时，取最大值，其最大值为，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为3

8、07050元. 设计意图：通过以上问题的探讨，使学生渐渐体会探讨函数问题的一般方法。(三）小结：六、目标检测一、选择题1.二次函数yax2bxc满意f（4）f（1），那么（）A.f（2）f（3）B.f（2）f（3）C.f（2）f（3）D.f（2）与f（3）的大小关系不能确定1.C解析：函数对称轴两侧的单调性与二次项系数的正负有关，结合对称轴的位置即可得到答案2.一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根，则a的范围是（）A.B.C.D.2.C解析：方程44a0，设两根为，则异号，,结合两个不等式可得解.3.函数是单调函数，则（）A.B.C.D.3解析：函数的对称轴，函数）是单调函数，4.二次函数

9、，若，则等于（）A.B.C.D. 4.解析：二次函数对称轴，顶点坐标,所以=二、填空题5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（xZ）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过_年.5.7解析：首先依据条件求出y（x6）211，本题要求的“客车有营运利润的时间”事实上是求图像与x轴两个交点的横坐标之差6.若函数f（x）=x2+2（a1）x+2在区间（，4上是减函数，那么实数a的取值范围是_6.a3解析：利用二次函数的单调区间与其对称轴的关系来解题,已知函数二次项系数为10,所以在对称轴的左侧该函数为减函数.该函数对称轴为,所给区间都

10、在对称轴的左侧,即a3三、解答题7(1)求函数（xN）的最小值.(2)在区间上,求函数的最大值与最小值.(3)在区间上,求函数的最大值与最小值.7.解析：(1)因为,又因为N,所以当=1或=2时函数值都等于9且最小.(2)该函数的对称轴为x=,所给区间在对称轴的同侧,都在右侧,又二次项系数为10,所以在上该函数为增函数,所以当=2时,函数值最小,最小值为-9,当=3时函数有最大值,最大值为-7(3)所给区间在对称轴的异侧,所以在对称轴的时候对应的函数值最小,最小值为,当时,当时,所以该函数的最大值为.8.已知二次函数当x=4时有最小值3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析

11、式.8.解析：解法一：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a0），由条件，可得抛物线的顶点为（4，3），且过（1，0）与（7，0）两点，将三个点的坐标代入，得解得所求二次函数解析式为y=x2x+.解法二：抛物线与x轴的两个交点坐标是（1，0）与（7，0），设二次函数的解析式为y=a（x1）（x7），把顶点（4，3）代入，得3=a（41）（47），解得a=.二次函数解析式为y=（x1）（x7），即y=x2x+.解法三：抛物线的顶点为（4，3），且过点（1，0），设二次函数解析式为y=a（x4）23.将（1，0）代入，得0=a（14）23，解得a=.二次函数解析式为y=（x4）23，即y=x2

12、x+.高考实力演练9.若函数f（x）=x2+ax+b与x轴的交点为（1，0）和（3，0），则函数f（x）的单调性 A.在（，2上削减，在2，+）上增加B.在（，3）上增加C.在1，3上增加D.不能确定9.A解析：由已知可得该函数的对称轴为,又二次项系数为10,所以在（，2上为单调递减函数，在2，+）上为单调递增函数.10已知函数,且对随意的实数都有成立(1)求实数的值;(2)利用单调性的定义推断函数在区间上的单调性.10.解析：(1),所以该函数的对称轴为,依据函数解析式可知,所以.(2)由(1)可知,在上该函数为增函数,下面就用定义去证明:设,则,即,故函数在区间上的增函数11.已知函数f（

13、x）=x22ax+a2+1，x0，1，若g（a）为f（x）的最小值.（1）求g（a）；（2）当g（a）=5时，求a的值.11.解析：f（x）=（xa）2+1，（1）当0a1时，g（a）=f（a）=1;当a0时，g（a）=f（0）=a2+1;当a1时，g（a）=f（1）=a22a+2.g（a）=（2）令a=2.令a=3.或时, 正切函数的图像与性质 正切函数的图像与性质一、教学目标：1、学问与技能（1）了解随意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）驾驭正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）娴熟依据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能娴熟

14、驾驭正切函数的图像与性质；（7）驾驭利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。2、过程与方法类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。3、情感看法与价值观使同学们对正切函数的概念有肯定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习主动性；培育学生分析问题、解决问题的实力；让学生体验自身探究胜利的喜悦感，培育学生的自信念；培育学生形成实事求是的科学看法和锲而不舍的钻研精神。二、教学重、难点重点

15、:正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点:娴熟运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到随意角的状况；现在我们就应当与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像视察总结出正切函数的性质。教学用具:投影机、三角板 第一课时正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境，揭示课题】常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了随意角的正、余弦函数，并借助于它们的

16、图像探讨了它们的性质。今日我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习随意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P35。【探究新知】1正切函数的定义在直角坐标系中，假如角满意：R，k(kZ)，那么，角的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.依据函数定义，比值是角的函数，我们把它叫作角的正切函数，记作ytan，其中R，k，kZ.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tan(R，k，kZ).由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1,0），随意角的终边与单位圆交于

17、点P，过点A（1,0）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：当角位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；当角位于其次和第四象限时，T点位于x轴的下方。分析可以得知，不论角的终边在第几象限，都可以构造两个相像三角形，使得角的正切值与有向线段AT的值相等。因此，我们称有向线段AT为角的正切线。2正切函数的图象（1）首先考虑定义域：（2）为了探讨便利，再考虑一下它的周期：的周期为（最小正周期）（3）因此我们可选择的区间作出它的图象。 依据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线” 从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线xk(k

18、Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。3正切函数ytanx的性质引导学生视察，共同获得：（1）定义域：，（2）值域：R视察：当从小于，时，当从大于，时，。（3）周期性：（4）奇偶性：奇函数。（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。二、归纳整理，整体相识（1）请学生回顾本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？三、课后反思 指数函数的图像与性质 指数函数的图像与性质 一、教材分析（一）教材的地位和作用“指数函数”的教学共分三个课时完成，第1

19、课时为指数函数的概念，详细指数函数的图像和性质；第2课时为指数函数的图像和性质及简洁应用；第三课时为指数函数的性质应用。本课时主要通过对指数函数图像的探讨归纳其性质，并进行简洁的应用。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续学问对数函数（指数函数的反函数）的打算学问。通过这部分学问的学习进一步深化学生对函数概念的理解与相识，使学生得到较系统的函数学问并体会探讨函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。（二）教学目标1、学问目标：i会做指数函数的图像；ii能归纳出指数函数的几个基本性质；iii会进行指数函数性质的简洁应用。2、实力目标：通过由指数函数的图像归纳其性质的学习

20、过程，培育学生探究、归纳分析问题的实力。3、情感目标：通过探究体会“数形结合”的思想；感受学问之间的关联性；体会探讨函数由特别到一般再到特别的探讨学习过程；体验探讨函数的一般思维方法。（三）教学重点和难点1、重点：指数函数的性质和图像。2、难点：指数函数性质的归纳。二、教法分析（一）教学方式干脆讲授与启发探究相结合（二）教学手段借助多媒体，展示学生的做图结果；演示指数函数的图像 三、教学基本思路：1、引入1）复习指数函数概念2）回忆指数函数图像的画法2、探究指数函数的性质1）探讨指数函数的图象2）归纳总结指数函数的性质3、指数函数性质的简洁应用4、巩固练习5、小结6、作业布置四、教学过程教学环

21、节教学程序及设计设计意图新课引入复习（1）指数函数的概念（2）画指数函数图像的方法一、指数函数的图像与性质：1、绘制图像（1）y=2x和y=3x（2）y=和投影电脑已制作好的图象， 2探究性质：请同学们尝试归纳出图象的改变规律与特性：（1）图象全在x轴上方，与x轴无限接近;（2）图象过定点（0，1）;（3）a1时，自左向右图象渐渐上升;0a1时，自左向右图象渐渐下降；（4）a1时，图象分布在左下和右上两个区域内；0a1时，图象分布在左上和右下两个区域内；其他规律（指数函数间图象的特性）：当指数函数的底数互为倒数时，图象关于y轴对称；当底数a1时，底数越大函数值增长越快越靠近y轴即底大图高，底数

22、0a1时，状况相反。 3、归纳性质将指数函数y=ax(a0且a1)的性质（对应图象）归纳如下表，进行课件演示： 指数函数y=ax的性质a10a1(1)定义域：R；值域：（0，+）(2)当x=0时，y=1(即过点（0，1）)(3)单调性：在(-,+)上是在(-,+)上是减函数增函数(4)当x0时,y1;当x0时,0y1;当x0时,0y1.当x0时,y1.三、指数函数的应用例1、依据指数函数的性质，推断下列题目中两值的大小： （第一题学生尝试推断，其次题给出书写步骤） 例2、求使不等式4x32成立的x的集合；点评：同底的两个幂的大小比较方法（1）构造函数并指明函数的单调性（2）比较自变量的大小（3

23、）得函数值的大小 教材第73页，练习1的第1题 借助多媒体，在电脑中将几个图同时展示于一个坐标系，从而使学生较直观地相识到指数函数的图象。由详细的几个指数函数的图像发觉指数函数的图像特征。 通过引导学生分析图像特征，帮助学生总结函数性质，培育学生形数结合的实力。以表格的形式归纳总结指数函数的性质，以展示探讨函数的一般方法：探讨定义域；值域；单调性等。简洁应用指数函数单调性推断大小。让学生体验用指数函数的单调性比较两数大小，检验课堂驾驭状况。小 结 以上我们探讨指数函数经验了一个由“详细”（探讨几个详细的指数函数）到“一般”（归纳指数函数的一般性质），再由“一般”到“详细”（应用指数函数的一般性

24、质探讨解决指数函数的详细问题）的思维过程。主要学习内容1指数函数的图像；2指数函数的性质；3指数函数性质的简洁应用 概括、总结一堂课主要的思想方法与内容，便于学生系统性考虑所学学问。 作 业1、课本：77页A组：4、52、思索题：（1）求函数、和的定义域和值域。（2）求函数的单调区间及最值。 五、教学设计说明1、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”图象突破，体会数形结合的思想。通过探讨几个详细的指数函数引导学生通过视察图象发觉指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经验一个由特别到一般的探究过程。让学生在探讨出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的探讨。2、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。六、课后反思 七、板书设计 课题一、指数函数图像和性质二、指数函数性质的简洁应用例1 例2 点评： 学生练习区域 第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页