《勾股定理的应用》学案.docx

《《勾股定理的应用》学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《勾股定理的应用》学案.docx（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、勾股定理的应用学案勾股定理的应用导学案 2022-2022学年度第一学期八年级数学导学案（10）2.7勾股定理的应用(1)2022-9-13班级学号姓名【学习目标】1能运用勾股定理解决生活中与直角三角形有关的问题；2能从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，同时渗透方程、转化等数学思想。3进一步发展有条理思索和有条理表达的实力，体会数学的应用价值【学习重、难点】重点：勾股定理的应用难点：将实际问题转化为数学问题【新知预习】1.如图，单杠AC的高度为5m，若钢索的底端B与单杠底端C的距离为12m，求钢索AB的长.【导学过程】一、情境创设观赏生活中含有直角三角形的图片，假如知道斜拉桥上

2、的索塔AB的高，如何计算各条拉索的长？二、探究活动活动一如图，起重机吊运物体，已知BC=6m,AC=10m,求AB的长. 活动二在我国古代数学著作九章算术中记载了一道好玩的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中心有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.假如把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 活动三一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形态如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？三、例题讲解：1.中华人民共和国道路交通平安法规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70k

3、m/h，如图一辆小汽车在一条城市中的直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，这辆小汽车超速了吗？ 2.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部地面半径为2.5cm，高为12cm，吸管斜置于杯中，并在杯口外面至少露出4.6cm，问吸管须要多长？ 【反馈练习】1(1)在RtABC中，C=90,若BC=4,AC=2,则AB=_;若AB=4,BC=2,则AC=_;(2)一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm，3cm，则第三边的长是_;(3)甲乙两人同时从同一地动身，甲往东走4km，乙往南走6km，这时甲乙两人相距_k

4、m.2如图，圆柱高为8cm，地面半径为2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是()A20cmB10cmC14cmD无法确定 3.如图，笔直的马路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DAAB于点A，CBAB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在马路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？【课后作业】P67习题2.71、4题 勾股定理的应用 3勾股定理的应用 1长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面若计算同一个面上的两点之间的距离比较简单，若计

5、算不同面上的两点之间的距离，就必需把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法绽开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了所以立体图形中求两点之间的最短距离，肯定要审清题意，弄清晰究竟是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题谈重点长方体表面上两点间最短距离因为长方体的绽开图不止一种状况，故对长方体相邻的两个面绽开时，考虑要全面，不要有所遗漏不过要留意绽开时的多种状况，虽然看似许多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需探讨三种状况前面和右面绽开，前面和上面绽开，左面和上面绽开，从而比较取其最小值即可【例11】如图是一个棱长为

6、3cm的正方体，它的6个表面都分别被分成了33的小正方形，其边长为1cm.现在有一只爬行速度为2cm/s的蚂蚁，从下底面的A点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5s经过简短的思索，小明先是脸上露出了惊异的表情，然后又露出了观赏的目光你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图，在RtABD中，AD4cm，BD3cm.由勾股定理，AB2BD2AD2324225，AB5cm，蚂蚁的爬行距离为5cm.又知道蚂蚁的爬行速度为2cm/s，它从点A沿着正方体的表面爬行到点B处，须要时间为522.5s.小明通过思索、推断，发觉蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最

7、优的方式，所以他感到惊异和佩服【例12】如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A动身，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路途最短？最短路途长为多少？解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图，在RtABC1中，AC21AB2BC2142325225.故AC15.如图，在RtACC1中，AC21AC2CC21621237.如图，在RtAB1C1中，AC21AB21B1C21522229.252937，沿图的方式爬行路途最短，最短的路途是5.点技巧巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行部分绽开，画出局部的绽开图，若将长方体全部绽开，不仅

8、没有必要反而会扰乱视线2圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面绽开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定【例2】如图所示，一只蚂蚁在底面半径为20cm，高为30cm的圆柱下底的点A处，发觉自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便确定捕获这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的留意，它有意不走直线，而围着圆柱，沿一条螺旋路途，从背后对小昆虫进行突然攻击，结果蚂蚁偷袭胜利，得到了一顿美餐依据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕获到小昆虫？

9、分析：解此题的关键是把圆柱的侧面绽开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图，则对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路途在RtACB中，AC40cm，BC30cm.由勾股定理，得AB2AC2BC2(40)2(30)2(50)2，AB50cm.蚂蚁至少爬行50cm才能捕获到小昆虫谈重点圆柱体两点间的最短距离本题文字叙述较多，要求在阅读的基础上提炼有用的信息，详细解题时先将圆柱沿AB剪开，将侧面绽开成一矩形，会发觉对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路途，再运用勾股定理即可求得3生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型直角三角形，再正确利用两

10、点之间线段最短解答【例3】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5dm,3dm和1dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从A点动身，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶绽开成平面图形(如图)解：将台阶绽开成平面图形后，可知AC5dm，BC3(31)12dm，C90.在RtABC中，AB2AC2BC2，AB252122132，AB13dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13dm.4如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是

11、将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，详细步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解【例4】如图，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点F处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛须要爬行的最短距离是_cm.解析：将圆柱的侧面绽开得到它的侧

12、面绽开图(如图)，CDAB，且ADBC12底面周长，BSDF1cm.则蜘蛛所走的最短路途的长度即为线段SF的长度过S点作SMCD，垂足为M，由条件知，SMAD126030cm，MCSBDF1cm，所以MF181116cm，在RtMFS中，由勾股定理得SF2162302342，所以SF34cm.故蜘蛛须要爬行的最短距离是34cm.答案：345勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的

13、基础故勾股定理的很多问题的解决都要跟方程相结合方程思想是勾股定理中的重要思想【例5】如图，有一张直角三角形态纸片ABC，两直角边AC6cm，BC8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？解：设CDxcm，由题意知DExcm，BD(8x)cm，AEAC6cm，在RtABC中，由勾股定理得ABAC2BC210cm.于是BE1064cm.在RtBDE中，由勾股定理得42x2(8x)2，解得x3.故CD的长为3cm. “勾股定理的应用” 八年级上勾股定理应用之一 目标 重点 难点 1、学问与方法目标：通过对一些典型题目的思索、练习，能正确、娴熟的进行勾

14、股定理有关计算，深化对勾股定理的理解。 2、过程与方法目标：通过对一些题目的探讨，以达到驾驭学问的目的。 3、情感与看法目标：感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。 勾股定理的应用 勾股定理的敏捷应用。 内容 方法 八年级上-勾股定理的应用之一 讲练结合 课前复习 师：勾股定理的内容是什么？ 生：勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 师：这个定理为什么是两直角边的平方和呢？ 生：斜边是最长边，确定是两个直角边的平方和等于斜边的平方，否则不正确的。 师：是这样的。在RtABC中，C90，有：AC2+BC2AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。 今日我们来看看这个定理的

15、应用。 新课过程 分析： 师：上面的探究，先请大家思索如何做？ （留几分钟的时间给学生思索） 师：看到这个题让我们想起古代一个笑话，说有一个人拿一根杆子进城，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题，信任同学们不会这样做。 （我略带夸张的比划、语气，学生笑声一片，有知道这个故事的，抢在我的前面说，学生欣欣然，我视察课堂气氛比较轻松，这也正是我所希望氛围，在这样的状况下，学生更简单驾驭学问） 师：这里木板横着不能进，竖着不能进，只能试试将木板斜着顺进去。 师：应当比较什么？ 李冬：这是一块薄木板，比较AC的长度，是否大于2.2就可以了。 师：李冬说的是正确的。请大家算出来，可

16、以运用计算器。 解：在RtABC中，由题意有： AC2.236 AC大于木板的宽 薄木板能从门框通过。 学生进行练习： 1、在RtABC中，ABc，BCa，ACb，B=90. 已知a=5，b=12，求c； 已知a=20，c=29，求b （请大家画出图来，留意不要简洁机械的套a2+b2c2，要依据本质来看问题） 2、假如一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？ 师：对其次问有什么想法？ 生：分状况进行探讨。 师：详细说说分几种状况探讨？ 生：3cm和4cm分别是直角边；4cm是斜边，3cm是直角边。 师：呵呵，你们漏了一种状况，还有3cm是斜边，4cm是直角

17、边的这种状况。 众生（顿感机会难得，能有一次战胜老师的机会哪能放过）：啊！斜边应当大于直角边的。这种状况是不行能的。 师：你们是对的，请把这题计算出来。 （学生心情高涨，为自己的成功而兴奋） （这样处理对有的学生来说，印象深刻，让每一个地方都明白无误） 解：当6cm和8cm分别为两直角边时； 斜边10 周长为：6+8+1024cm 当6cm为始终角边，8cm是斜边时， 另始终角边2 周长为：6+8+214+2 师：如图，看上面的探究2。 分析： 师：请大家思索，该如何去做？ 陈晓玲：运用勾股定理，已知AB、BO，算出AO的长度，又A点下滑了0.4米，再算出OC的长度，再利用勾股定理算出OD的长

18、度即可，最终算出BD的长度就能知道了。 师：这个思路是特别正确的。请大家写出过程。 有生言：是0.4米。 师：猜是0.4米，就是想当然了，算出来看看，是不是与你的揣测一样。 （周飞洋在黑板上来做） 解：由题意有：O90，在RtABO中 AO2.4（米） 又下滑了0.4米 OC2.0米 在RtODC中 OD=1.5（米） 外移BD0.8米 答：梯足将外移0.8米。 师：这与有的同学揣测的答案一样吗？ 生：不一样。 师：做题应当是老醇厚实，不应当想当然的。 例3再来看一道古代名题： 这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，九章算术中记录的一道古代趣题： 原题：“今有池，方一丈，葭生其中心，

19、出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？” 师：谁来给大家说一说：“葭”如何读？并请说明是什么意思？ 黄尚剑：葭（ji），是芦苇的意思。 师：这是正确的。 师：谁来翻译？ 吴智勇：现在有一个正方形的池子，一株芦苇长在水中心，露出水面的部分为一尺，拉芦苇到岸边，刚好与搭在岸上 师：听了吴智勇的翻译，我觉得“适与岸齐”翻译得不达意，应当理解为芦苇与水面与岸的交接线的中点上。 宋婷等：老师，我也认为是刚好到岸边，“齐”就是这个意思的。 师：这是字表面的意思，古人的精炼给我们今日的理解带来了困难，假如照同学们的翻译，这题就无解了，这理的理解应当是芦苇与水面同岸的交接线的中点上，而且还要求不左

20、偏右倒。 （与学生进行争辩，能够让师生双方对这个问题都有更深刻的印象，我是欢迎学生们发表自己的见解） 师：正方形的池子，如何理解？ 生：指长、宽、高都相等。 师：呵呵！照你们的看法，应当说成是正方体，而不应当是正方形了？再想想，池子的下方是什么形？ 生：照这样说来，下面是其它形态也可以啊！ 师：我也这样认为，再来详细的说说正方形池子指什么？ 生：仅指池口是正方形。 师：是这样的。（用粉笔盒口演示给学生看） 有生：一丈10尺是指什么？ 师：我也正想问这个问题呢，谁能来解答？ 生：指AD的长度。 师：能指BC的长度吗？ 生：不能，刚说的其下方是不能确定的。 我们整理翻译一下： “现在有一个贮满水的

21、正方形池子，池子的中心长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。恳求出水深与芦苇的长各有多少尺？ 师：请大家思索如何进行计算？ （留几分钟的时间给学生思索） 师：刚才有一部分同学已经做出来了，但还有约一半的同学还未能做出来。 师：没做出来的同学，请思索你是不是遇到了EF与FD两个未知数啊，一是想想1尺有什么用；二是如何把两个未知数变成一个未知数，当然也可以多列一个方程。 （再等一等学生，留时间让他们做出来，这里等一等所花费的时间，对中等与中等偏下的同学是极为有利的，这点时间的付出会得到超值回报的） 解：由题意有：DE5尺，DF

22、FE+1。 设EFx尺，则DF（x+1）尺 由勾股定理有： x2+52（x+1）2 解之得：x12 答：水深12尺，芦苇长13尺。 生：这题的关键是理解题意。 师：看来还很会点评嘛，属于当领导的哦!（开个善意的玩笑，教室中一片温馨的笑声）。审题，弄清题意也是我们做题的首要的关键的一环，用同学们的总结来说，以后遇到难题不要怕，要敢于深化进去，弄清情景。 例4如图，校内内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？ 师：请思索如何做？至少怎么理解？ 生：走直线就短，用勾股定理就可以了，还要做协助线。 师：是啊，要连哪些线？ 生：连结两树顶得AB，过B作高树的垂线就可以了。 师：请解出来。 解：由题意有：BC12米，AC16115米。 在RtABC中 AB13 答：小鸟至少要飞13米。 师：这题的计算也不难，关键也是理解题意。 作业：完成书（人教版）P77页1，P78页2、3 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页