弧度制三角函数的简单应用.docx

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1、弧度制三角函数的简单应用三角函数模型的简洁应用案例探究 三角函数模型的简洁应用三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，驾驭解斜三角形的方法和技巧.难点磁场()已知ABC的三个内角A、B、C满意A+C=2B.，求cos的值.案例探究例1在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个视察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30东，俯角为60的B处，到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为30的C处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？命题意图：本题主要考查三角形基础学问，以及学

2、生的识图实力和综合运用三角学问解决实际问题的实力.学问依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系.错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.解：(1)在RtPAB中，APB=60PA=1，AB=(千米)在RtPAC中，APC=30，AC=(千米)在ACB中，CAB=30+60=90(2)DAC=9060=30sinDCA=sin(180ACB)=sinACB=sinCDA=sin(ACB30)=sinACBcos30cosACBsin30.在ACD中，据正弦定理得，答：此时船距岛A为千米. 例2已知ABC

3、的三内角A、B、C满意A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB().(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；(2)推断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值域.命题意图：本题主要考查考生运用三角学问解决综合问题的实力，并且考查考生对基础学问的敏捷运用的程度和考生的运算实力，属级题目.学问依托：主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题.错解分析：考生对三角函数中有关公式的敏捷运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题.技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式.在求定义域时要留意|的范围.解

4、：(1)A+C=2B，B=60，A+C=1200|60，x=cos(，1又4x230，x，定义域为(，)(，1.(2)设x1x2，f(x2)f(x1)=，若x1，x2()，则4x1230，4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0即f(x2)f(x1)，若x1，x2(，1，则4x1230.4x2230，4x1x2+30，x1x20，f(x2)f(x1)0.即f(x2)f(x1)，f(x)在(,)和(，1上都是减函数.(3)由(2)知，f(x)f()=或f(x)f(1)=2.故f(x)的值域为(，)2，+.锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用方程观点

5、结合恒等变形方法巧解三角形；(2)娴熟地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能娴熟运用三角形基础学问，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式协作，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，留意隐含条件的挖掘.参考答案难点磁场解法一：由题设条件知B=60，A+C=120.设=，则AC=2，可得A=60+，C=60，依题设条件有整理得4cos2+2cos3=0(M)(2cos)(2cos+3)=0，2cos+30，2cos=0.从而得cos.解法二：由题设条件知B=60，A+C=120，把式化为cosA+cosC=2cosAcosC，利用和差化积及积化和差公式，式可化为，将cos=cos60=，

6、cos(A+C)=代入式得：将cos(AC)=2cos2()1代入：4cos2()+2cos3=0，(*)， 三角函数的应用 总课题三角函数的图象与性质总课时第15课时分课题三角函数的应用分课时第1课时教学目标能应用三角函数的图象与性质解决有关实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。重点难点能应用三角函数的图象与性质解决有关实际问题。引入新课1、如图，点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到距平衡位置最远处时起先计时。（1）求物体对平衡位置的位移和时间的函数关系；（2）求该物体在时的位置。 2、一半径为的水轮如图所示，水

7、轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，假如当水轮上点从水中出现时（图中点）起先计算时间。（1）将点距离水面的高度表示为时间的函数；（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？（参考数据：）例题剖析例1、一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摇摆时，离开平衡位置的位移和时间的函数关系式是。（1）求小球摇摆的周期；（2）已知，要使小球摇摆的周期是，线的长度应当是多少？（精确到，取）例2、心脏跳动时，血压在增加或减小。血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值。设某人的血压满意函数式，其中为血压，为时间，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）此

8、人每分钟心跳的次数；（3）画出函数的草图；（4）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值比较。课堂小结能应用三角函数的图象与性质解决有关实际问题。课后训练班级：高一（）班姓名_一、基础题1、在图中，点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向。若已知振幅为，周期为，且物体向右运动到平衡位置时起先记时。（1）求物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系；（2）求该物体在时的位置。 二、提高题2、某城市一年中个月的月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述。已知月份的月平均气温最高，为，月份的月平均气温最低，为。求出这个三角函数的表达式，并画出该函数的图象。三、实

9、力题3、如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由下列关系式确定：。以为横坐标，为纵坐标，画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并且回答下列问题：（1）小球在起先振动时（即时）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是什么？（3）经过多少时间小球往复振动一次（周期）？（4）每秒钟小球能振动多少次（频率）？ 4、在一次气象调查中，发觉某城市的温度的波动近似地根据规则，其中是从某日起先计算的时间，且。（1）画出温度随时间波动的图象；（2）利用函数图象确定最高和最低温度；（3）最高和最低温度在什么时候出现？（4）在什么时候温度为：？ 1.

10、6三角函数模型的简洁应用-潮汐问题 1.6三角函数模型的简洁应用-潮汐问题 教学目标： 1、能正确分析收集到的数据，选择恰当的函数模型刻画数据所蕴含的规律，能依据问题的实际意义，利用模型说明有关实际问题，为决策供应依据。 2、巩固三角函数的有关学问，会初步利用图象解三角不等式，巩固二分法求相应方程近似解。 3、培育学生数学应用意识；提高学生利用信息技术处理一些实际计算的实力。 教学重点： 用三角函数模型刻画潮汐改变规律，用函数思想解决具有周期改变的实际问题 教学难点： 对问题实际意义的数学说明，从实际问题中抽象出三角函数模型。 教学媒体：几何画板 教学流程： 给出出港口水深数据，提出问题 依据

11、散点图形特征，选择适当的函数拟合 求解函数模型 利用函数模型解决实际问题 反思解题过程，总结解题方法，提炼数学思想 教学过程： 1情景展示，新课导入 2问题提出，探究解决 【师】若干年后，假如在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么状况？ 【生】水深状况。 【师】是的，我们要到一个生疏的港口时，是特别想得到有关那个港口的水深与时间的对应关系。 请同学们看下面这个问题。 问题探究1：如图所示，下面是钱塘江某个码头在今年春季每天的时间与水深的关系表： 时间 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.

12、00 24.00 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0请同学们细致视察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？ 小组合作发觉，代表发言。可能结果： 1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。 2）水的深度起先由5.0米增加到7.5米，后渐渐削减始终削减到2.5，又起先渐渐变深，增加到7.5米后，又起先削减。 3）水深改变并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性改变规律。 4）学生活动：作图更加直观明白这种周期性改变规律。（探讨数据的两种形式） 平安水深，即： ， 探讨求解方法：用代数的方法？几何的角度？（电脑作图并呈现） 通过图象可以看出，当快要到P时刻

13、的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么P点的坐标如何求得呢？（学生思索，探讨，沟通）求P点横坐标即解方程 数形结合，二分法求近似解： 由图得点P点横坐标在6，7，故我们只须要算出6，6.5，7三个时刻的平安水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。 时间 实际水深 平安水深 是否平安 60 5米 43米 平安 65 42米 41米 较平安 70 38米 40米 危急货船应当在6时30分左右驶离港口。（可能有的同学有些异议，可以探讨） 从这这个问题可以看出，假如有时候时间限制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要短暂驶离港口，进入深水区，等水位上涨后在驶回来。这样对公司来

14、说就会造成才力、物力上的巨大奢侈？那该怎么来做呢？（学生探讨） 可以加快卸货速度，也就是加快平安深度下降速度。 问题探究4：若船的吃水深度为4米，平安间隙为1.5米，该船在2：00起先卸货，货物卸空后吃水深度为2米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能平安驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少速度削减？-探究3的变式（学生课后探究） 3课时小结，相识深化 （师生一起归纳） 3-1回顾整个探究过程，经验了第一阶段：收集数据-画散点图 其次阶段：依据图象特征-选模、求模、验模 第三阶段：函数模型应用 3-2在整个探究过程，我们用到数学常见的一些思想方法： （1）对实际问题处理过程是，首先是挖掘

15、其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想； （2）在对一些数据处理的过程用到了估算的思想； （3）在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想； （4）在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。 4老师演示激发学生思索并进一步探究：生活中哪些现象与三角函数模型有关？-周期性 5作业布置，延时探究 4-1电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一个星期播出一次。请查阅当地的电视节目预报，统计不同栏目的播出周期。 4-2请调查我们杭州某个地区的每天的用电状况，制定一项“消蜂平谷”的电价方案。 4-3一个城市所在的经度和纬

16、度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关数据，并供应理论证据支持你的结论。 高二数学三角函数模型的简洁应用 1.6三角函数模型的简洁应用教学目的【学问与技能】1.驾驭三角函数模型应用基本步骤:(1)依据图象建立解析式;(2)依据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简洁函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并依据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】一、练习讲解：习案作业十三的第3、4题3、一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摇摆时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是，（1）求小球摇摆的周期和频

17、率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球摇摆的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？解：（1）；（2）.4、略（学生看书）二、应用举例：例1如图，某地一天从614时的温度改变曲线近似满意函数yAsin(wxj)b(1)求这一天614时的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式. 本题是探讨温度随时间呈周期性改变的问题.问题给出了某个时间段的温度改变曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特殊留意自变量的改变范围.例2画出函数y|sinx|的图象并视察其周期.本题利用函数图象的直观性，通过视察图象而获得对函数性质的相识，这是探讨数学问题的常用方法.

18、明显，函数与正弦函数有紧密的联系.练习：教材P65面1题例3如图，设地球表面某地正午太阳高度角为q，d为此时太阳直射纬度，j为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是q90|jd|.当地夏半年d取正值，冬半年d取负值.假如在北京地区(纬度数约为北纬40)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？本题是探讨楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题干脆抽象为与三角函数有关的简洁函数模型，然后依据所得的模型解决问题。应当留意在困难的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科学问来帮助理解问题。例4海水受日月的引力，在肯定的时候发生涨落

19、的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常状况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，平安条例规定至少要有1.5米的平安间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？(3)若某船的

20、吃水深度为4米，平安间隙为1.5米，该船在2:00起先卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度削减，那么该船在什么时间必需停止卸货，将船驶向较深的水域？本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要留意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要留意考虑实际意义。关于课本第64页的“思索”问题，事实上，在货船的平安水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。练习：教材P65面3题三、小结：1、三角函数模型应用基本步骤:(1)依据图象建立解析式;(2)依据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简洁函数模型.2、利用收集到的数据作出散

21、点图，并依据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.四、作业习案作业十四及十五。补充例题：一半径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,假如当水轮上P点从水中出现时(图中P0)点起先计算时间.(1)求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式;(2)P点第一次达到最高点约要多长时间? 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页