2.2.1双曲线及其标准方程,课时作业高二上学期数学北师大版（2020）选择性必修第一册（含答案）.docx

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1、2.2.1双曲线及其标准方程,课时作业高二上学期数学北师大版（2020）选择性必修第一册（含答案）2.1双曲线及其标准方程 1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为() A.22,0 B.62,0 C.52,0 D.(3,0) 2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为() A.x24-y2=1 B.x23-y22=1 C.x2-y24=1 D.x22-y23=1 3.已知双曲线x2-3+y22-=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则等于()

2、 A.32 B.5 C.7 D.12 4.已知双曲线x24-y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为() A.3或7 B.6或14 C.3 D.7 5. 如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则ABF1的周长为() A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m 6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在() A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上 7

3、.以椭圆x23+y24=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的标准方程是. 8.已知点F1,F2分别是双曲线x29-y216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|=32,则F1PF2的面积为. 9.已知与双曲线x216-y29=1共焦点的双曲线过点P-52,-6,求该双曲线的标准方程. 实力达标 10.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满意|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是()

4、A.x216-y29=1 B.x216-y29=1(x4) C.x29-y216=1 D.x29-y216=1(x3) 12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是() A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 13.若双曲线x2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满意|PF1|+|PF2|=2n+2,则PF1F2的面积为() A.1 B.12 C.2 D.4 14.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=(

5、) A.3 B.6 C.9 D.12 15.若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为. 16.焦点在x轴上的双曲线经过点(42,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线相互垂直,则此双曲线的标准方程为. 17.已知双曲线E:x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2. (1)若点M在双曲线上,且MF1MF2=0,求点M到x轴的距离; (2)若双曲线C与双曲线E有相同的焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程. 18. 已知OFQ的面积为26,且OFFQ=m,其中O为坐标原点. (1)设6<m<46,求OF与FQ的夹角的正切值的取值范围; (2

6、)设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,|OF|=c,m=64-1c2,当|OQ|取得最小值时,求此双曲线的标准方程. 1.双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为() A.22,0 B.62,0 C.52,0 D.(3,0) 答案B 解析将双曲线方程化为标准方程为x2-y212=1, a2=1,b2=12,c2=a2+b2=32,c=62, 故右焦点坐标为62,0. 2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,若|PF1|-|PF2|=b,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为() A.x

7、24-y2=1 B.x23-y22=1 C.x2-y24=1 D.x22-y23=1 答案C 解析由题意得|PF1|-|PF2|=2a=b,c2=a2+b2,2c=25, 解得a2=1,b2=4, 则该双曲线的方程为x2-y24=1. 3.已知双曲线x2-3+y22-=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则等于() A.32 B.5 C.7 D.12 答案D 解析依据题意可知,双曲线的标准方程为 y22-x23-=1. 由其焦距为4,得c=2, 则有c2=2-+3-=4,解得=12. 4.已知双曲线x24-y25=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为() A.3或

8、7 B.6或14 C.3 D.7 答案A 解析连接ON,ON是PF1F2的中位线, |ON|=12|PF2|, |PF1|-|PF2|=4,|PF1|=10, |PF2|=14或|PF2|=6, |ON|=7或|ON|=3. 5. 如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则ABF1的周长为() A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m 答案B 解析由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a. 又|AF2|+|B

9、F2|=|AB|,所以ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m. 6.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在() A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上 答案D 解析由x2+y2-8x+12=0, 得(x-4)2+y2=4, 画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图, 设圆P的半径为r,圆P与圆O和圆M都外切, |PM|=r+2,|PO|=r+1, 则|PM|-|PO|=1<4, 点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上. 7.以椭圆x23+y24=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的

10、端点为焦点的双曲线的标准方程是. 答案y2-x23=1 解析由题意知,双曲线的焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1,则a=1,c=2,所以b2=3,所以双曲线的标准方程为y2-x23=1. 8.已知点F1,F2分别是双曲线x29-y216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|PF2|=32,则F1PF2的面积为. 答案16 解析因为P是双曲线左支上的点, 所以|PF2|-|PF1|=6, 两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|PF2|=36+232=100. 在F1PF2中,由余

11、弦定理,得cos F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=100-1002|PF1|PF2|=0, 所以F1PF2=90, 所以SF1PF2=12|PF1|PF2|=1232=16. 9.已知与双曲线x216-y29=1共焦点的双曲线过点P-52,-6,求该双曲线的标准方程. 解已知双曲线x216-y29=1, 则c2=16+9=25,c=5. 设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0). 依题意知b2=25-a2, 故所求双曲线方程可写为x2a2-y225-a2=1. 点P-52,-6在所求双曲线上, 代入有(-52)2a

12、2-(-6)225-a2=1, 化简得4a4-129a2+125=0, 解得a2=1或a2=1254. 当a2=1254时,b2=25-a2=25-1254=-254<0, 不合题意,舍去, a2=1,b2=24, 所求双曲线的标准方程为x2-y224=1. 实力达标 10.“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案C 解析因为mn<0,所以m,n均不为0且异号,方程mx2+ny2=1,可化为x21m+y21n=1,因为1m与1n异号,所以方程x21m+y21n=1表示双曲线,

13、故“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件;反之,若mx2+ny2=1表示双曲线,则其方程可化为x21m+y21n=1,可知1m与1n异号,则必有mn<0,故“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件.综上可得,“mn<0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件. 11.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满意|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是() A.x216-y29=1 B.x216-y29=1(x4) C.x29-y216=1 D.x29-y216=1(x3) 答案D 解析由|MA|-|MB|

14、=6,且6<|AB|=10, 得a=3,c=5,b2=c2-a2=16. 故其轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支. 所以点M的轨迹方程为x29-y216=1(x3). 12.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是() A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 答案A 解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2, 由两圆外切的充要条件,得 |MO1|=r+1,|MO2|=r+2. |MO2|-|MO1|=1, 又|O1O2|=4, 动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).

15、13.若双曲线x2n-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满意|PF1|+|PF2|=2n+2,则PF1F2的面积为() A.1 B.12 C.2 D.4 答案A 解析设点P在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2n, 已知|PF1|+|PF2|=2n+2, 解得|PF1|=n+2+n,|PF2|=n+2-n, |PF1|PF2|=2. 又|F1F2|=2n+1, 则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, PF1F2为直角三角形,F1PF2=90, SPF1F2=12|PF1|PF2|=122=1. 14.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线

16、C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=() A.3 B.6 C.9 D.12 答案C 解析由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)过点15,-63,可得15a2-69=1, 解得a=3,b=1,c=10,a+c>3, 点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C. 15.若曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围为. 答案(2,+) 解析由曲线C:mx2+(2-m)y2=1是焦点在x轴上的双

17、曲线,可得x21m-y21m-2=1, 即有m>0,且m-2>0,解得m>2. 16.焦点在x轴上的双曲线经过点(42,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线相互垂直,则此双曲线的标准方程为. 答案x216-y29=1 解析设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0), 则由QF1QF2,得kQF1kQF2=-1, 5c5-c=-1,c=5, 设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0), 双曲线过点(42,-3),32a2-9b2=1. 又c2=a2+b2=25,a2=16,b2=9, 双曲线的标准方程为x216-y29=1. 17.已知

18、双曲线E:x216-y24=1的左、右焦点分别为F1,F2. (1)若点M在双曲线上,且MF1MF2=0,求点M到x轴的距离; (2)若双曲线C与双曲线E有相同的焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程. 解(1)如图所示,不妨设点M在双曲线E的右支上,点M到x轴的距离为h,MF1MF2=0, 则MF1MF2, 设|MF1|=m,|MF2|=n, 由双曲线定义,知m-n=2a=8, 又m2+n2=(2c)2=80, 由得mn=8, 12mn=4=12|F1F2|h, h=255. (2)设所求双曲线C的方程为 x216-y24+=1(-4<<16), 由于双曲线C过点(32,2)

19、, 1816-44+=1, 解得=4或=-14(舍去), 所求双曲线C的方程为x212-y28=1. 18. 已知OFQ的面积为26,且OFFQ=m,其中O为坐标原点. (1)设6<m<46,求OF与FQ的夹角的正切值的取值范围; (2)设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示,|OF|=c,m=64-1c2,当|OQ|取得最小值时,求此双曲线的标准方程. 解(1)因为12|OF|FQ|sin(-)=26,|OF|FQ|cos=m, 所以tan =46m. 又6<m<46, 所以1<tan <4, 即tan 的取值范围为(1,4). (2)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0), Q(x1,y1),则FQ=(x1-c,y1), 所以SOFQ=12|OF|y1|=26, 则y1=46c. 又OFFQ=m, 即(c,0)(x1-c,y1)=64-1c2, 解得x1=64c, 所以|OQ|=x12+y12=38c2+96c212=23, 当且仅当c=4时,取等号,此时|OQ|最小, 这时Q的坐标为(6,6)或(6,-6). 因为6a2-6b2=1,a2+b2=16, 所以a2=4,b2=12. 于是所求双曲线的标准方程为x24-y212=1.