3.3.2　简单线性规划问题(一).docx

《3.3.2　简单线性规划问题(一).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.3.2　简单线性规划问题(一).docx（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、3.3.2简单线性规划问题(一)3.3.2简洁线性规划问题(第 第 1 课时) 本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简洁线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个详细的二元一次不等式（组）入手，来探讨一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的学问得出最值.通过详细例题的分析和求解，在这些例题中设置思索项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域

2、的学问的巩固.简洁的线性规划是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简洁应用，这是新大纲对数学学问应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来探讨肯定的人、财、物、时、空等资源在肯定条件下，如何精打细算巧支配，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学探讨、工程设计、经营管理等很多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的微小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题供应了一种重要的解题方法数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实

3、际问题中的应用，培育学生学习数学的爱好和应用数学的意识和解决实际问题的实力.依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的学问和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节学问内容定为了解层次.本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培育学生视察、作图等实力的好教材.本节内容与实际问题联系紧密，有利于培育学生学习数学的爱好和用数学的意识以及解决实际问题的实力.教学重点 重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.教学难点 难点是把实际问题转化为线性

4、规划问题，并给出解答.解决难点的关键是依据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.课时支配 3 课时 三维目标 一、学问与技能1.驾驭线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简洁的实际问题.二、过程与方法1.培育学生视察、联想以及作图的实力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生建模和解决实际问题的实力;2.结合教学内容，培育学生学习数学的爱好和用数学的意识，激励学生创新. 三、情感

5、看法与价值观1.通过本节教学着重培育学生驾驭数形结合的数学思想，尽管侧重于用数探讨形，但同时也用形去探讨数，培育学生视察、联想、揣测、归纳等数学实力;2.结合教学内容，培育学生学习数学的爱好和用数学的意识，激励学生勇于创新. 教学过程 导入新课 师 师 前面我们学习了二元一次不等式 Ax+By+C0 在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.（生回答）推动新课 合作探究师 师 在现实生产、生活中，常常会遇到资源利用、人力调配、生产支配等问题.例如，某工厂用 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品运用 4 个 A 产品耗时 1 小时，每生产一件乙产品运用 4 个 B

6、 产品耗时 2 小时，该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件，按每天工作 8 小时计算，该厂全部可能的日生产支配是什么？设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件，应如何列式？生 生 由已知条件可得二元一次不等式组： +. 0, 0, 12 4, 16 4, 8 2yxyxy x 师 师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生 生 （板演）师 师 比照课本 98 页图 3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表全部可能的日生产支配，即当点 P（x,y）在上述平面区域中时，所支配的生产任务 x、y 才有意义. 进一步，若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件

7、乙产品获利 3 万元，采纳哪种生产支配利润最大？设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得利润为 z，则如何表示它们的关系？生 生 则 z=2x+3y.师 师 这样，上述问题就转化为：当 x、y 满意上述不等式组并且为非负整数时，z 的最大值是多少？老师精讲师 师 把 z=2x+3y 变形为 z x y3132+ - = ,这是斜率为32- ，在 y 轴上的截距为31z 的直线.当 z 改变时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生 生 当 z 改变时可以得到一组相互平行的直线.（板演）师 师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点例如（1，2），就能确定一条直线 z x y3

8、132+ - = ，这说明，截距 z3 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线 z x y3132+ - = 与表示不等式组的区域的交点坐标满意不等式组，而且当截距3z最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线 z x y3132+ - =与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点 P，使直线经过 P 时截距3z最大.由图可以看出，当直线 z x y3132+ - = 经过直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M（4，2）时，截距3z最大，最大值为314.此时 2x+3y=14.所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时，工厂可获得最大利润 14 万元.学问

9、拓展再看下面的问题：分别作出 x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0 三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线 l 0 :2x+y=0.然后，作一组与直线 l 0 平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线 l 0 ），从而视察 t 值的改变：t=2x+y∈3,12.若设 t=2x+y，式中变量 x、y 满意下列条件 +- -. 1, 25 5 3, 3 4xy xy x求 t 的最大值和最小值.分析：从变量 x、y 所满意的条件来看，变量 x、y 所满意的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共

10、区域 ABC.作一组与直线 l 0 平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线 l 0 ），从而视察 t 值的改变：t=2x+y∈3,12. (1) 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当 x=0，y=0 时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线 l 0 ：2x+y=0上.作一组与直线 l 0 平行的直线（或平行移动直线 l 0 )l:2x+y=t,t∈R.可知，当 l 在 l 0 的右上方时，直线 l 上的点（x,y)满意 2x+y0,即 t0.而且，直线 l 往右平移时，t 随之增大（引导学生一起视察此规律）.在经过不等式组所表示的公共区域

11、内的点且平行于 l 的直线中，以经过点 B（5，2）的直线 l 2 所对应的 t最大，以经过点 A（1，1）的直线 l 1 所对应的 t 最小.所以 t max =2×5+2=12,t min =2×1+3=3. (2)(3) 合作探究师 师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于 t=2x+y 又是关于 x、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外留意：线性约束条件除了用一

12、次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才探讨的就是求线性目标函数 z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满意线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由全部可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.课堂小结 用图解法解决简洁的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要依据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设 t=0，画

13、出直线 l 0 .3.视察、分析，平移直线 l 0 ，从而找到最优解.4.最终求得目标函数的最大值及最小值.布置作业1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采纳甲种原料，每吨成本 1 000 元，运费 500 元，可得产品 90 千克；若采纳乙种原料，每吨成本为 1500 元，运费 400 元，可得产品 100 千克，假如每月原料的总成本不超过 6 000 元，运费不超过 2 000 元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表： 甲原料（吨）乙原料（吨）费用限额 成本 1 000 1 500 6 000 运费 500 400 2 000 产品 90 100解：设此工

14、厂每月甲、乙两种原料各 x 吨、y 吨，生产 z 千克产品，则 + +, 2000 400 500, 6000 1500 1000, 0, 0y xy xyx z=90x+100y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图： 由= += +. 20 4 5, 12 3 2y xy x得=.720,712yx 令 90x+100y=t，作直线:90x+100y=0，即 9x+10y=0 的平行线 90x+100y=t，当 90x+100y=t 过点 M（712,720）时，直线 90x+100y=t 中的截距最大.由此得出 t 的值也最大，z max =90×712+100

15、×720=440.答：工厂每月生产 440 千克产品.2.某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张 A、B 型桌子分别须要 1 小时和 2 小时，漆工油漆一张 A、B 型桌子分别须要 3 小时和 1 小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时，而工厂造一张 A、B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元，试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？ 解：设每天生产 A 型桌子 x 张，B 型桌子 y 张，则 + +. 0, 0, 9 3, 8 2y xy xy x 目标函数为 z=2x+3y.作出可

16、行域：把直线 l：2x+3y=0 向右上方平移至 l′的位置时，直线经过可行域上的点 M，且与原点距离最大，此时 z=2x+3y取得最大值.解方程= += +, 9 3, 8 2y xy x得 M 的坐标为（2，3）.答：每天应生产 A 型桌子 2 张，B 型桌子 3 张才能获得最大利润.师 师已知 x、y 满意不等式组 + +, 0, 0, 250 2, 300 2yxy xy x试求 z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标及相应的z 的最大值.师 师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内找寻使 z=300x+900y 取最大值时的整点.解：如图所示平面区域 AOBC，

17、点 A（0，125），点 B（150，0），点 C 的坐标由方程组= += +250 2300 2y xy x=,3200,3350yx 得 C（3350,3200），令 t=300x+900y，即 ,900 31 tx y + - = ,欲求 z=300x+900y 的最大值，即转化为求截距 t900 的最大值，从而可求 t 的最大值，因直线900 31 tx y + - = 与直线 x y31- = 平行，故作 x y31- = 的平行线，当过点 A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点 A 使 z 取最大值，z max =300×0+900×125=

18、112 500.师 师求 z=600x+300y 的最大值，使式中的 x、y 满意约束条件 3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0 的整数值.师 师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.解：可行域如图所示. 四边形 AOBC，易求点 A（0，126），B（100，0）,由方程组= += +252 2300 3y xy x=.5191,5369yx 得点 C 的坐标为（5369 ,5191 ).因题设条件要求整点（x,y)使 z=600x+300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入 z=600x+300y，可知当 x=70, y=9

19、0 时，z 取最大值为 z max =600×70+300×900=69 000.3.课本 106 页习题 3.3A 组 2. 课堂小结 用图解法解决简洁的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要依据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.（2）设 t=0，画出直线 l 0 .（3）视察、分析，平移直线 l 0 ，从而找到最优解.（4）最终求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）找寻线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要留意问题的实际意义布置作业 课本第 105 页习题 3.3A 组 3、4.板书设计 第 第 1 课时简洁线性规划问题 图 1 课堂小结 线性规划问题的相关概念 图 2