充要条件与反证法.docx

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1、充要条件与反证法反证法导学案 选修2-22.2.2反证法导学案班级姓名【学习目标】1.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；2.了解反证法的思索过程、特点;3.会用反证法证明问题.【自研自学】（一）复习旧知1.干脆证明的两种基本证法：_2.这两种基本证法的推证过程和特点是什么？3.在实际解题时，两种方法如何运用？ （二）预习新知4.反正法是_的一种基本方法。5.课本P89页思索，你能说明这种现象吗？6.一般地，假设原命题_（即在原命题的条件之下，结论不成立），经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白_，这样的证明方法叫反证法。7.用反证法证明命题“假如，那

2、么”时，假设的内容应为_8.反正法的关健是在正确的推理下得出冲突，这个冲突可以是与_冲突，或与_冲突，或与_冲突等。 【合作探究】1.思索：（1）假如有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？ 2.课本例2、求证：是无理数（1）_是有理数，_是无理数。（2）有理数可写成形如_的形式。（3）两个正整数互质可理解为_（4）奇数通常表示为或，则偶数可表示为_(5)奇数的平方是_（奇数还是偶数？），而偶数的平方是_（奇数还是偶数？）（6）本题如何证明呢？写出证明过程小结反证法的证明过程及步骤 【展示

3、提升】1已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。 2.不行能成等差数列3.已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。 4.已知x0,y0，x+y2，求证：中至少有一个小于2。 学习小结1.反证法的步骤：_.2.哪些命题相宜用反证法加以证明？_3.反正法的关健是在正确的推理下得出冲突，这个冲突可以是与_冲突，或与_冲突，或与_冲突等。 【当堂检测】（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于”时，反设正确的是（）.A假设三内角都不大于B假设三内角都大于C假设三内角至多有一个大于D假设三内角至多有两个大于2.实数不全为0等价于为（）.A均不

4、为0B中至多有一个为0C中至少有一个为0D中至少有一个不为03.设都是正数，则三个数（）.A都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于24.用反证法证明命题“自然数中恰有一个偶数”的反设为5.常见的“结论词”与“反设词” 原结论词是存在等于大于都是至少有一个至多有一个反设词【课后作业】1.假如,那么. 2.的三边的倒数成等差数列,求证:.3.证明在中,若是直角,那么肯定是锐角. 4.求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于. 充要条件 课题：充要条件一、课标要求：理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会推断充分条件、必要条件与充要条件 二、学问与方法回顾：1、充分

5、条件、必要条件与充要条件的概念： 2、从逻辑推理关系上看充分不必要条件、必要不充分条件与充要条件： 3、从集合与集合之间关系上看充分条件、必要条件与充要条件： 4、特别值法：推断充分条件与必要条件时，往往用特别值法来否定结论5、化归思想：“”表示p等价于q，等价命题可以进行相互转化，当我们要证明p成立时，就可以转化为证明q成立；这里要留意“原命题逆否命题”、“逆命题否命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系（否定式）的命题一般应用化归思想6、数形结合思想：利用韦恩图（即集合的包含关系）来推断充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件 三、基础训练：1、设命题“若p则q”为假，而“若q则

6、p”为真，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2、设集合M，N为是全集U的两个子集，则是的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 3、若是实数，则“”是“”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 四、例题讲解例1已知实系数一元二次方程，下列结论中正确的是（）（1）是这个方程有实根的充分不必要条件（2）是这个方程有实根的必要不充分条件（3）是这个方程有实根的充要条件（4）是这个方程有实根的充分不必要条件A（1）（3）B（3）（4）C（1）（3）（4）D（2）（3）（4） 例2（1）已知h0，

7、a，bR，设命题甲：“”，命题乙：“且”，问甲是乙的（） （2）已知p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线相互垂直，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件变式：a=0是直线与平行的条件；例3假如命题p、q都是命题r的必要条件，命题s是命题r的充分条件，命题q是命题s的充分条件，那么命题p是命题q的条件；命题s是命题q的条件；命题r是命题q的条件 例4设命题p：|4x3|1，命题q：x2(2a+1)x+a(a+1)0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围； 例5设是方程的两个实根，试分析是两实根均大于1的什么条件？并赐予证明五、课堂练习1、设命

8、题p：“”，命题q：“”，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2、给出以下四个命题：“若p则q”；“若r则q”；“若r则s”； “若s则q”；若它们都是真命题，则p是s的条件；3、是否存在实数p，使“”是“”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在说明理由 六、课堂小结： 七、教学后记：高三班学号姓名日期：月日1、AB是ABB的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2、“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3、2x25x30的一个必要不充分条件是（）Ax3Bx0C3xD1x6

9、4、“a2且b2”是“a+b4且ab4”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5、设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c10和a2x2+b2x+c20的解集分别为集合M和N，那么“”是“M=N”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件6、若命题A：，命题B：，则命题A是B的条件；7、设条件p：|x|=x，条件q：x2x，则p是q的条件；8、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是； 9、关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件是；10、已知，求证：的充要条件是；

10、11、已知p：2x10，q：1mx1+m，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。 12、已知关于x的方程(1a)x2(a+2)x4=0，aR，求：（1）方程有两个正根的充要条件；（2）方程至少有一正根的充要条件. 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 教学目标 （1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念；（2）能正确推断是充分条件、必要条件还是充要条件；（3）培育学生的逻辑思维实力及归纳总结实力；（4）在充要条件的教学中，培育等价转化思想 教学建议 （一）教材分析 1学问结构 首先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲解并描述了充要条件的初步学问 2重点难

11、点分析 本节的重点与难点是关于充要条件的推断 （1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系 （2）在推断条件和结论之间的因果关系中应当： 首先分清条件是什么，结论是什么； 然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件推理方法可以是干脆证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立； 最终再指出条件是结论的什么条件 （3）在探讨条件和条件的关系时，要留意： 若，但，则是的充分但不必要条件； 若，但，则是的必要但不充分条件； 若，且，则是的充要条件； 若，且，则是的充要条件； 若，且，则是的既不充分也不必要条

12、件 （4）若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合学问，有助于充要条件的理解和推断 若，则是的充分条件； 明显，要使元素，只需就够了类似地还有： 若，则是的必要条件； 若，则是的充要条件； 若，且，则是的既不必要也不充分条件 （5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立 （二）教法建议 1学习充分条件、必要条件和充要条件学问，要留意与前面有关逻辑初步学问内容相联系充要条件中的，与

13、四种命题中的，要求是一样的它们可以是简洁命题，也可以是不能推断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题 2由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习爱好是关键教学中始终要留意以学生为主，让学生在自我思索、相互沟通中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性 3由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从推断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念 4教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的说明说明，为了让学生能理解定义的

14、合理性，在教学过程中，老师可以从一些熟识的命题的条件与结论之间的关系来相识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念 教学设计示例 充要条件 教学目标： （1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （2）能正确推断是充分条件、必要条件还是充要条件； （3）培育学生的逻辑思维实力及归纳总结实力； （4）在充要条件的教学中，培育等价转化思想 教学重点难点：关于充要条件的推断 教学用具：幻灯机或实物投影仪 教学过程设计 1复习引入 练习：推断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）： （1）若，则； （2）若，则； （3）全等三角形的面积相等； （4）对角线相互垂直的

15、四边形是菱形； （5）若，则； （6）若方程有两个不等的实数解，则 （学生口答，老师板书） （1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题 置疑：对于命题“若，则”，有时是真命题，有时是假命题如何推断其真假的？ 答：看能不能推出，假如能推出，则原命题是真命题，否则就是假命题 对于命题“若，则”，假如由经过推理能推出，也就是说，假如成立，那么肯定成立换句话说，只要有条件就能充分地保证结论的成立，这时我们称条件是成立的充分条件，记作 2讲授新课 （板书充分条件的定义） 一般地，假如已知，那么我们就说是成立的充分条件 提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之间

16、的关系 （学生口答） （1）“，”是“”成立的充分条件； （2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件； （3）“方程的有两个不等的实数解”是“”成立的充分条件 从另一个角度看，假如成立，那么其逆否命题也成立，即假如没有，也就没有，亦即是成立的必需要有的条件，也就是必要条件 （板书必要条件的定义） 提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题 （学生口答） （1）因为，所以是的充分条件，是的必要条件； （2）因为，所以是的必要条件，是的充分条件； （3）因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“

17、两三角形全等”的必要条件； （4）因为“四边形的对角线相互垂直”“四边形是菱形”，所以“四边形的对角线相互垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线相互垂直”的充分条件； （5）因为，所以是的必要条件，是的充分条件； （6）因为“方程的有两个不等的实根”“”，而且“方程的有两个不等的实根”“”，所以“方程的有两个不等的实根”是“”充分条件，而且是必要条件 总结：假如是的充分条件，又是的必要条件，则称是的充分必要条件，简称充要条件，记作 （板书充要条件的定义） 3巩固新课 例1（用投影仪投影） B A是B的什么条件 B是的什么条件 是有理数 是实数 、是奇数 是偶数

18、是4的倍数 是6的倍数 （学生活动，老师引导学生作出下面回答） 因为有理数肯定是实数，但实数不肯定是有理数，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件； 肯定能推出，而不肯定推出，所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件； 、是奇数，那么肯定是偶数；是偶数，、不肯定都是奇数（可能都为偶数），所以是的充分非必要条件，是的必要非充分条件； 表示或，所以是成立的必要非充分条件； 由交集的定义可知且是成立的充要条件； 由知且，所以是成立的充分非必要条件； 由知或，所以是，成立的必要非充分条件； 易知“是4的倍数”是“是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件； （通过对上述问题的沟通、思辩，在争辩中得到

19、了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的相识） 例2已知是的充要条件，是的必要条件同时又是的充分条件，试与的关系（投影） 解：由已知得 ， 所以是的充分条件，或是的必要条件 4小结回授 今日我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了推断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础 课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上）第35页练习l、2；第36页练习l、2 （通过练习，检查学生驾驭状况，有针对性的进行讲评） 5课外作业：教材第36页习题1.81、2、3 充分条件与必要条件教案一.教学目标:1.使学生初步驾驭充要条件2.培育学生理解、分析、归纳、解决

20、问题的实力二.教学重点:关于充要条件的推断教学难点:关于充要条件的推断三.教学过程(一)复习提问1.什么叫充分条件?什么叫必要条件?说出“”的含义2.指出下列各组命题中,“pq”及“qp”是否成立(1)p:内错角相等q:两直线平行(2)p:三角形三边相等q:三角形三个角相等(二)授新课1.(通过复习提问干脆引入课题)充要条件定义:一般地,假如既有pq,又有qp,就记作:pq。这时,p既是q的充分条件,又是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件点明思路:推断p是q的什么条件,不仅要考查pq是否成立,即若p则q形式命题是否正确,还得考察qp是否成立,即若q则p形式命题是否正确。2.

21、辨析题:(学生探讨并解答,老师引导并归纳)思索:下列各组命题中,p是q的什么条件:1)p:x是6的倍数。q:x是2的倍数2)p:x是2的倍数。q:x是6的倍数3)p:x是2的倍数,也是3的倍数。q:x是6的倍数4)p:x是4的倍数q:x是6的倍数总结:1)pq且qp则p是q的充分而不必要条件2)qp且pq则p是q的必要而不充分条件3)pq且qp则q是p的充要条件4)pq且qp则p是q的既不充分也不必要条件强调:推断p是q的什么条件,不仅要考虑pq是否成立,同时还要考虑qp是否成立。且p是q的什么条件,以上四种状况必具其一.3巩固强化例一:指出下列各命题中,p是q的什么条件:1)p:x1q:x22)p:x5q:x-13)p:(x-2)(x-3)=0q:x-2=04)p:x=3q:=95)p:x=1q:x-1=0第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页