一元二次方程根与系数的关系_第四册一元二次方程根与系数的关系.docx

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1、一元二次方程根与系数的关系_第四册一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系的学问内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1、2= 得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后是通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的学问。例如，求方程中的特定系数，求含有方程根的一些代数式的值等问题，由方程的根确定方程的系数的方法等等。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家）。韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的探讨推向了高级阶段，运用韦达定

2、理可以进一步探讨数学中的很多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习探讨也是作用非凡。通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。通过韦达定理的教学，可以培育学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的实力，也为学生今后学习方程理论打下基础。（二）重点、难点一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从详细方程的根发觉一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的

3、方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正驾驭有肯定的难度，是教学的难点。（三）教学目标1、学问目标：要求学生在理解的基础上驾驭一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。2、实力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经验视察、试验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理实力，能有条理地、清楚地阐述自己的观点，进一步培育学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培育学生主动学习数学的看法。体验数学活动中充溢着探究与创建，体验数学活动中的胜利感，建立自信念。二、设计理

4、念依据教材内容和本人探讨的课题初中数学问题引探教学试验探讨，在教学中渗透新课标的精神，注意过程数学，注意创新教学，注意问题意识，关注学生的学习爱好和阅历，让学生主动参加学习活动，主动探究并获得学问，老师是组织者、引导者、参加者。三、教法与学法（一）教法1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经验韦达定理的发生发展过程，并从中体验胜利的乐趣。2、采纳“实践（练习）视察发觉猜想证明”的过程教学。引导学生发觉问题，师生共同解决问题。3、分小组探讨沟通，多渠道信息反馈。4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。（二）学法指导1、引导学生实践、视察、发觉问题、猜想并推理。2、指导

5、学生驾驭思索问题的方法及解决问题的途径。3、指导学生娴熟驾驭根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。四、课时划分及教学过程（一）课时划分共分3课时第一课时1、根与系数的关系。2、根与系数的关系的应用。（1）求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。其次课时1、已知两数求作新方程。2、由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。第三课时方程判别式、根与系数的关系的综合应用。第一课时 一元二次方程根与系数的关系（1）一、教学目标1、理解驾驭一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。2、能依据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未

6、知数。3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。4、在推导过程中，培育学生“视察发觉猜想证明”的探讨问题的思想与方法。二、重难点根与系数的关系是重点，由于式子的抽象性，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和驾驭的难点。三、教学过程（一）问题引探问题1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值确定什么？b2-4ac的取值呢？同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系？今日我们进一步探讨一元二次方程的这种关系。问题2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，计算两根的和与积，你能发觉什么结论（现象）？问

7、题3.解下列方程：（1）2x2+5x+3=0 （2）3x2-2x-2=0并依据问题2和以上的求解填写下表请视察上表，你能发觉两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗？问题4.请依据以上的视察发觉进一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系：_.问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组探讨以上的问题，并作出推理证明。若方程ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1= ，x2= , 则x1+x2= + = ;x1 x2= = = 即：假如ax2+bx+c=0（a0）的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。由此得出一元二

8、次方程的根与系数的关系；还可以让学生用自己的语言表述这种关系，来加深理解和记忆。这个关系是一个法国数学家韦达发觉的，所以也称之为韦达定理。问题6.在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思性小结）二次项系数a是否为零，确定着方程是否为二次方程；当a0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；当a0时，=b2-4ac可判定根的状况；当a0，b2-4ac0时，x1+x2= ，x1x2=当a0，c=0时，方程有一根为0。说明：1、本设计采纳“实践视察发觉猜想证明”的过程，使学生既动手又动脑，且又动口，老师引导启发，避开注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的

9、主体学习特性，培育了学生的创新意识和创新精神。2、本设计遵循由特别到一般，从实践到理论（即从感性相识上升到理性相识）的认知规律。3、本设计注意了学生的反思过程，使学生将学问系统化、格式化。（二）尝试发展试一试：依据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x+1=0 x1+x2= _ x1x2= _（2）3x2+5x=0 x1+x2= _ x1x2= _（3）5x2+x-2=0 x1+x2= _ x1x2= _（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _ x1x2= _（此试一试作为巩固学问而用）尝试题1、已知方程6x2+kx-5=0的一个

10、根为，求它的另一个根及k的值。组织学生自己分析解决，然后一学生演板，其余学生在草稿本上练习。学生练习：P32 2。尝试题2、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和。探讨：解上面问题的思路是什么？得出：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2; .(将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数式)（三）拓展创新1、在尝试2中能否求（x1x2）的值？2、已知实数满意关系式a2-5a+6=0，b2-5b+6=0，且ab，能否求a+b与ab的值？说明：1、“试一试”是引导学生刚好巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（3）小题是培育学生思维

11、严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计。2、尝试题1、2让学生探讨完成或独立完成，可以看书完成，其系数与例题有别。3、“拓展创新”中是培育学生思维的发散性教学设计，也是开放性教学，使有的学生的奇异思维得到发展。（四）归纳小结本课主要探讨了什么？1、方程的根是由系数确定的。2、a0时，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、a0，且b2-4ac0时，方程ax2+bx+c=0的根为x1、2= 4、b2-4ac的值可判定根的状况。5、a0，0时，x1+x2= ，x1x2= 。6、方程根与系数关系的有关应用。（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有关代数式的值。（五）布置作业P33A 1、2 B 1（1）练习：已知三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两个，等腰三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长。2、已知关于x的方程x22mx+ m2=0.其中分别是一个等腰三角形的腰和底边的长.（1） 求征这个方程有两个不相等实数根.（2） 若方程的两个实数根差的肯定值是8，并且等腰三角形的面积是12，求这个三角形的内切圆的面积3、 已知二次函数y=x2+2ax2b+1和y=x2+（a3）x+b21的图象都经过x轴上两个不同的点 ,求这两个函数的解析式.