高一数学下册《空间几何体的表面积与体积》知识点人教版.docx

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1、高一数学下册空间几何体的表面积与体积知识点人教版空间几何体的表面积 总课题空间几何体的表面积和体积总课时第15课时分课题空间几何体的表面积分课时第1课时教学目标了解柱、锥、台、球的表面积的计算公式重点难点柱、锥、台、球的表面积计算公式的运用引入新课1简洁几何体的相关概念：直棱柱：正棱柱：正棱锥：正棱台：正棱锥、正棱台的形态特点：（1）底面是正多边形；（2）顶点在底面的正投影是底面的中心，即顶点和底面中心连线垂直于底面（棱锥的高）；（3）当且仅当它是正棱锥、正棱台时，才有斜高平行六面体：直平行六面体：长方体：正方体：2直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式：，其中指的是，其中指的是3圆柱、圆锥和圆台

2、的侧面积公式：例题剖析例1设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是，底面的边长是，制造这种塔顶须要多少平方米铁板？（结果保留两位有效数字） 例2一个直角梯形上底、下底和高之比为将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比巩固练习1已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积为2求底面边长为，高为的正三棱锥的全面积 3假如用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是多少？ 课堂小结柱、锥、台、球的表面积计算公式的运用课后训练一基础题1棱长都为的正三棱锥的全面积等于_ 2正方体的一条对角线长为，则其全面积为_3在正三棱柱中

3、，且，则正三棱柱的全面积为_ 4一张长、宽分别为、的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此四棱柱的对角线长为_ 5已知四棱锥底面边长为，侧棱长为，则棱锥的侧面积为_ 6已知圆台的上、下底面半径为、，圆台的高为，则圆台的侧面积为_ 二提高题7一个正三棱台的上、下底面边长分别为和，高是，求三棱台的侧面积 8已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，求它的侧面积 三实力题9已知六棱锥，其中底面是正六边形，点在底面的投影是正六边形的中心点，底面边长为，侧棱长为，求六棱锥的表面积 2022高考数学学问点：空间几何体的表面积和体积 2022高考数学学问点：空间几何体的表面积和体积

4、1、圆柱体:表面积:2Rr+2Rh体积:Rh(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:R+R(h+R)的平方根体积:Rh/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、正方体a-边长,S=6a,V=a4、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-底面积h-高V=Sh6、棱锥S-底面积h-高V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=hS1+S2+(S1S2)1/2/38、拟柱体S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C底面周长S底底面积,S侧侧面积,S表表面积C=2r

5、S底=r,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=rh10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=h(R2-r2)11、直圆锥r-底半径h-高V=r2h/312、圆台r-上底半径,R-下底半径,h-高V=h(R+Rr+r)/313、球r-半径d-直径V=4/3r3=d3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=h(3a+h)/6=h(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=h3(r1+r2)+h/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=22Rr=2Dd/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=h(2D+d

6、)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=h(2D+Dd+3d/4)/15(母线是抛物线形) 高考数学（理科）一轮复习空间几何体的表面积与体积学案含答案 学案41空间几何体的表面积与体积 导学目标：1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台的体积的计算公式.3.培育学生的空间想象实力、逻辑推理实力和计算实力，会利用所学公式进行必要的计算.4.提高相识图、理解图、应用图的实力自主梳理1多面体的表面积(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧_.(2)设正n棱锥底面边长为a，底面周长为c，斜高为h，则S正棱锥侧_.(3)设正n棱台下底面边长为a，周长为

7、c，上底面边长为a，周长为c，斜高为h，则S正棱台侧_.(4)设球的半径为R，则S球_.2几何体的体积公式(1)柱体的体积V柱体_(其中S为柱体的底面面积，h为高)特殊地，底面半径是r，高是h的圆柱体的体积V圆柱r2h.(2)锥体的体积V锥体_(其中S为锥体的底面面积，h为高)特殊地，底面半径是r，高是h的圆锥的体积V圆锥13r2h.(3)台体的体积V台体_(其中S，S分别是台体上、下底面的面积，h为高)特殊地，上、下底面的半径分别是r、r，高是h的圆台的体积V圆台13h(r2rrr2)(4)球的体积V球_(其中R为球的半径)自我检测1已知两平行平面，间的距离为3，P，边长为1的正三角形ABC

8、在平面内，则三棱锥PABC的体积为()A.14B.12C.36D.342(2022唐山月考)从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，则它的表面积与正方体表面积的比为()A.33B.22C.36D.663设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PAQC1，则四棱锥BAPQC的体积为()A.16VB.14VC.13VD.12V4(2022平顶山月考)下图是一个几何体的三视图，依据图中数据，可得该几何体的表面积是()A9B10C11D125(2022陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是()A823B83C82D.23探究点一多面体

9、的表面积及体积例1三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60角，求此棱柱的侧面积与体积 变式迁移1(2022烟台月考)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为_探究点二旋转体的表面积及体积例2如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中BAC30)及其体积 变式迁移2直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_探究点三侧面绽开图中的最值问题例3如图所示，长方体ABCDA1

10、B1C1D1中，ABa，BCb，CC1c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长 变式迁移3(2022杭州月考)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC12.P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_1有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素2当给出的几何体比较困难，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不困难，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采纳“割”、“补”的技巧，化困难几何体为简洁几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题供应便利(1)几何体的“

11、分割”：几何体的分割即将已知的几何体根据结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算便利，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些状况下，可以将台体补成锥体探讨体积(满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1(2022安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48B32817C48817D802已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是323，则这个三棱柱的体积是()A963B163C243D4833已知

12、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动(EFa)，若P是A1D1上的定点，Q是C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积是()A有最小值的一个变量B有最大值的一个变量C没有最值的一个变量D一个不变量4(2022全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面，全部棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2B.73a2C.113a2D5a25(2022北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A8B62C10D82 二、填空题(每小题4分，共12分)6(2022马鞍山月考)如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥

13、的侧面积是_7(2022淄博模拟)一块正方形薄铁片的边长为4cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于_cm3.8(2022四川)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_三、解答题(共38分)9(12分)(2022佛山模拟)如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合的一个点当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比10(12分)(2022抚顺模拟)如图，四面体ABCD中，ABC与DB

14、C都是边长为4的正三角形(1)求证：BCAD；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，说明理由11(14分)(2022锦州期末)如图，多面体ABFEDC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点(1)求证：MN平面CDEF；(2)求多面体ACDEF的体积学案41空间几何体的表面积与体积自主梳理1(1)ch(2)12nah12ch(3)12n(aa)h12(cc)h(4)4R22.(1)Sh(2)13Sh(3)13h(SSSS)(4)43R3自我检测1D由题意，SABC34，三棱锥的高h3，V三棱锥PABC13Sh34.2A设正方

15、体棱长为a，则正四面体棱长AB2a，S正四面体表434(2a)223a2.S正方体表6a2，四面体的表面积与正方体表面积的比为33.3C4.D据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如图所示，故该几何体的表面积为SS圆柱S球26412.5A由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V23132823，故选A.课堂活动区例1解题导引对于斜棱柱表面积及体积的求解必需求各个侧面的面积和棱柱的高解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：在已知棱柱高的条件下，用线面垂直线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高解如图，过点A1作A1O面ABC于点O

16、，连接AO.过点A1作A1EAB于点E，过点A1作A1FAC于点F，连接EO，FO，易得OEAB，OFAC，AA1和AB与AC都成60角，A1AEA1AF，A1EA1F.A1O面ABC，EOFO.点O在BAC的角平分线上，延长AO交BC于点D，ABC是正三角形，BCAD.BCAA1.AA1BB1，侧面BB1C1C是矩形，三棱柱的侧面积为S234sin603412123.AA13，AA1与AB和AC都成60角，AE32.BAO30，AO3，A1O6.三棱柱的体积为V34166122.变式迁移1274解析如图所示，设D为BC的中点，连接A1D，AD.ABC为等边三角形，ADBC，BC平面A1AD，

17、BCA1A，又A1AB1B，BCB1B，又侧面与底面边长都等于2，四边形BB1C1C是正方形，其面积为4.作DEAB于E，连接A1E，则ABA1E，又AD22123，DEADBDAB32，AEAD2DE232，A1EAA21AE272，S四边形ABB1A17，S三棱柱侧274.例2解题导引解决这类题的关键是弄清晰旋转后所形成的图形的形态，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算求全面积时不要遗忘“内表面”解如图所示，过C作CO1AB于O1，在半圆中可得BCA90，BAC30，AB2R，AC3R，BCR，CO132R，S球4R2，S圆锥AO1侧32R3R32R2，S圆锥BO1侧32RR3

18、2R2，S几何体表S球S圆锥AO1侧S圆锥BO1侧112R232R21132R2，旋转所得到的几何体的表面积为1132R2.又V球43R3，V圆锥AO113AO1CO2114R2AO1，V圆锥BO113BO1CO2114R2BO1，V几何体V球(V圆锥AO1V圆锥BO1)43R312R356R3.变式迁移220解析在ABC中，ABAC2，BAC120，可得BC23，由正弦定理，可得ABC外接圆的半径r2，设此圆圆心为O，球心为O，在RtOBO中，易得球半径R5，故此球的表面积为4R220.例3解题导引本题可将长方体表面绽开，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答解将长方体相邻两个面绽

19、开有下列三种可能，如图所示三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：ab2c2a2b2c22ab，a2bc2a2b2c22bc，ac2b2a2b2c22ac，abc0，abacbc0.故最短线路的长为a2b2c22bc.变式迁移352解析将BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图所示连接A1C即为CPPA1的最小值，过点C作CD垂直A1C1延长线交于D，BCC1为等腰直角三角形，CD1，C1D1，A1DA1C1C1D7.A1CA1D2CD249152.课后练习区1C由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长

20、为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为421217.所以S表422412(24)42417248817.2D由43R3323，R2.正三棱柱的高h4.设其底面边长为a，则1332a2，a43.V34(43)24483.3D4.B5C将三视图还原成几何体的直观图如图所示它的四个面的面积分别为8,6,10,62，故最大的面积应为10.667解析取底面中心为O，AF中点为M，连接PO、OM、PM、AO，则POOM，OMAF，PMAF，OAOP2，OM3，PM437.S侧6122767.7.153解析围成圆锥筒的母线长为4cm，设圆锥的底面半径为r，则2r1424，r1，圆锥的高h4

21、21215.V圆锥13r2h153(cm3)82R2解析方法一设圆柱的轴与球的半径的夹角为，则圆柱高为2Rcos，圆柱底面半径为Rsin，S圆柱侧2Rsin2Rcos2R2sin2.当sin21时，S圆柱侧最大为2R2，此时，S球表S圆柱侧4R22R22R2.方法二设圆柱底面半径为r，则其高为2R2r2.S圆柱侧2r2R2r2，S圆柱侧4R2r24r2R2r2.令S圆柱侧0，得r22R.当0r22R时，S0；当22RrR时，S0.当r22R时，S圆柱侧取得最大值2R2.此时S球表S圆柱侧4R22R22R2.方法三设圆柱底面半径为r，则其高为2R2r2，S圆柱侧2r2R2r24r2R2r24r2

22、R2r222R2(当且仅当r2R2r2，即r22R时取“”)当r22R时，S圆柱侧最大为2R2.此时S球表S圆柱侧4R22R22R2.9解设圆柱的底面半径为r，母线长为h，当点C是弧的中点时，三角形ABC的面积为r2，三棱柱ABCA1B1C1的体积为r2h，三棱锥A1ABC的体积为13r2h，四棱锥A1BCC1B1的体积为r2h13r2h23r2h，圆柱的体积为r2h，(10分)故四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比为23.(12分)10(1)证明取BC的中点E，连接AE，DE，EF，ABC与DBC都是边长为4的正三角形，AEBC，DEBC.又AEDEE，BC平面AED.又AD面AED，BCA

23、D.(6分)(2)解由已知得，AED为等腰三角形，且AEED23，设ADx，F为棱AD的中点，则EF1212x2，SAED12x12x241448x2x4，(8分)V13SAED(BECE)1348x2x4(0x43)，当x224，即x26时，Vmax8，该四面体存在最大值，最大值为8，(11分)此时棱长AD26.(12分)11(1)证明由多面体ABFEDC的三视图知，三棱柱AEDBFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DAAE2，DA平面ABFE，面ABFE，ABCD都是边长为2的正方形(3分)连接EB，则M是EB的中点，在EBC中，MNEC，且EC平面CDEF，MN平面CDEF，MN平面CD

24、EF.(6分)(2)解DA平面ABFE，EF平面ABFE，EFAD.又EFAE，AEADA，EF平面ADE.又DE平面ADE，EFDE，(8分)四边形CDEF是矩形，且平面CDEF平面DAE.取DE的中点H，连接AH，DAAE，DAAE2，AH2，且AH平面CDEF.(12分)多面体ACDEF的体积V13SCDEFAH13DEEFAH83.(14分) 空间几何体的体积 总课题空间几何体的表面积和体积总课时第17课时分课题空间几何体的体积(二)分课时第2课时教学目标初步驾驭求体积的常规方法，例如割补法，等积转换等重点难点割补法，等积转换等方法的运用引入新课1如图，在三棱锥中，已知，且求证：三棱锥

25、的体积为 2一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，假如将冰淇淋全部放入杯中，能放下吗？ 例题剖析例1将半径分别为、的三个锡球熔成一个大锡球，求这个大锡球的表面积 巩固练习1两个球的体积之比为，则这两个球的表面积之比是_2若两个球的表面积之差为，两球面上两个大圆周长之和为，则这两球的半径之差为_3假如一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与球的直径相等求证：圆柱、球、圆锥体积的比是 课堂小结割补法，等积转换等方法的运用课后训练一基础题1一个圆锥的底面半径和一个球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为_2球面面积膨胀为原来的两倍，其体积变为原来的_倍3正方体的全面积为，一个球内切于该正方体

26、，那么球的体积是_ 4一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则这个球的表面积为_5已知：是棱长为的正方体，分别为棱与的中点，求四棱锥的体积二提高题6一个长、宽、高分别为、的水槽中有水现放入一个直径为的木球，假如木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？ 三实力题7设，分别为四面体中，的中点求证：四面体被平面分成等积的两部分 第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页