中考数学压轴题专题-二次函数面积问题（解析版）.docx

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1、中考数学压轴题专题-二次函数面积问题（解析版）决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品 专题17二次函数的面积问题 二次函数的线段最值问题 （2020湖北荆门中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B （1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标； （2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式 （1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最大值为； ；（3） （1）先依据函数关系式求出A、B两点

2、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标； （2）过点D作轴于E，则求得AB=5，设点P的坐标为，则点D的坐标为，ED=x，证明，由相像三角形的性质求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标； （3）设平移后抛物线的解析式，将L的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点A为的中点，可求得m的值，即可求得L的函数解析式 （1）在中， 令，则，解得， 令，则， 设直线的解析式为，则，解得：， 直线的解析式为 ， 抛物线顶点坐标为 （2）如图，过点D作轴于E，则 ， ， 设点P的坐标为， 则

3、点D的坐标为， ， ， ， ， 而， ， ，由二次函数的性质可知： 当时，的最大值为 ， （3）设平移后抛物线的解析式， 联立， ， 整理，得：， 设，则是方程的两根， 而A为的中点， ，解得： 抛物线的解析式 本题考查二次函数的图象和性质、相像三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是娴熟驾驭二次函数的图象和性质 （2020前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学九年级期中）如图，二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点C点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点P仅在线段上运动，如图1求线段的最大值； 若点P在x轴上运动

4、，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形若存在，请干脆写出全部满意条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由 （1）；（2），存在， （1）把代入中求出b，c的值即可； （2）由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论； 分MN=MC和两种状况，依据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可 解：（1）把代入中，得 解得 （2）设直线的表达式为，把代入 得，解这个方程组，得 点是x轴上的一动点，且轴 ， 此函数有最大值 又点P在线段上运动，且 当时，有最大值 点是x轴上的一动点，且轴 （i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图， C（0，-3） MC=

5、整理得， ， ， 解得， 当时，CQ=MN=， OQ=-3-()= Q(0，)； 当m=时，CQ=MN=-， OQ=-3-(-)= Q(0，)； (ii)若，如图， 则有 整理得， ， ， 解得， 当m=-1时，MN=CQ=2， Q（0，-1）， 当m=-5时，MN=-100（不符合实际，舍去） 综上所述，点Q的坐标为 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类探讨，以防遗漏 如图1，已知抛物线y=x2+mx+m2的顶点为A，且经过点B（3，3） （1）求顶点A

6、的坐标 （2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求OPB的面积的最大值及比时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，恳求出这个定值；若不是，请说明理由 （1）（1，1）；（2）P（，）；（3）. （1）依据待定系数法，可得函数解析式，依据配方法，可得顶点坐标； （2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，依据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标； （3）依据平移规律，可得新抛物线，依据联立抛物线

7、与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，依据勾股定理，可得答案 解：（1）把B（3，3）代入y=x2+mx+m2得：3=32+3m+m2， 解得m=2， y=x2+2x=（x+1）2+1， 顶点A的坐标是（1，1）； （2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q. 直线OB的解析式为y=x， 故设P（n，n2+2n），Q（n，n）， PQ=n2+2n（n）=n2+3n， SOPB=（n2+3n）=（n）+， 当n=时，SOPB的最大值为 此时y=n2+2n=， P（，）； （3）直线OA的解析式为y=x， 可设新的抛物线解析式为y=（xa）2+a， 联立， （xa）2+a=x， x1=a，x2=a1，

8、 即C、D两点间的横坐标的差为1， CD= 本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型. 二次函数的面积定值问题 已知二次函数 （1）图象经过点时，则_； （2）当时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围； （3）以抛物线的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（M，N两点在抛物线上），请问：的面积是与m无关的定值吗？若是，恳求出这个定值；若不是，请说明理由 （1）4；（2）m2；（3）的面积是与m无关的定值，SAMN. （1）将点代入二次函数解析式即可求出m； （2）求出二次函数的对称轴为xm，由抛

9、物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可求出m的取值范围； （3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到AMN的面积是与m无关的定值 解：（1）将点代入可得：， 解得：m=4； （2）二次函数的对称轴是：xm， 当x2时，函数值y随x的增大而减小， m2； （3）的面积是与m无关的定值； 如图：顶点A的坐标为（m，m24m8），AMN是抛物线的内接正三角形，MN交对称轴于点B， tanAMBtan60， ABBMBN， 设BMBNa，则ABa， 点M的坐标为（ma，am24m8）， 点M在抛物线上， am24m8（ma）22m（ma）4m8， 整理

10、得：， 解得：a或a0（舍去）， AMN是边长为的正三角形， AB=3，SAMN，与m无关. 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特别角三角函数的应用，其中（3）问有肯定难度，依据点M在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键 （2020湖南九年级其他模拟）若抛物线L：yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与直线l：yax+b满意a2+b22a（2cb），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线” （1）若直线yx2与抛物线yax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值； （2）若抛物线

11、yx2+bx+c的“支线”与y的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式； （3）已知“干线”yax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l：yax+4a+b交于点A，B，记ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，恳求出这个定值；若不是，请说明理由 （1）；（2）y或y；（3）是定值，理由见解析 （1）依据“支干”关系的定义，求出a、b、c的值，利用配方法确定函数的最值 （2）由题意a1，1+b22（2cb） ，可得抛物线yx2+bx+c的“支线”为yx+b，由，消去y得到x2+bx+4c0，由抛物线yx2+bx+c的“支线”与 的图象只有一个交点，可知0，得b216c

12、0 ，由解方程组即可解决问题 （3） 的值是定值不妨设a0，如图所示，yax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线yax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 ，消去y得到ax2+（ba）x+c4ab0，推出x1+x2，x1x2 ，推出|x1x2| ，把 2a（2cb）代入上式化简4，由ABPC，可得SSPABSCABSCDBSCDA CD 48 ，由此即可解决问题 解：（1）由题意a1，b2，12+（2）22（2c+2），解得c， 抛物线的解析式为yx22x+， yx22x+ （x1）2， a10， x1时，y有最小值，最小值为 （2）由题意a1，1+b22（

13、2cb） 抛物线yx2+bx+c的“支线”为yx+b， 由，消，消去y得到x2+bx+4c0， 抛物线yx2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点， 0， b216c0 由可得b2， 或， 反比例函数的解析式为y或y （3）是定值理由如下： 不妨设a0，如图所示，yax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线yax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 得到ax2+（ba）x+c4ab0， x1+x2，x1x2 ，|x1x2| 把a2+b22a（2cb）代入上式化简得到|x1x2|4， ABPC， SSPABSCABSCDBSCDACD|BxAx|4a|48|a

14、|， 8，的值是定值 本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元一次方程的根与系数的关系等学问，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积 （2020山东济南中考真题）如图1，抛物线yx2bxc过点A（1，0），点B（3，0）与y轴交于点C在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线lx轴，交抛物线于点M （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）当m1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标； （3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设AEM的面积为S1，MON的面积为

15、S2，若S12S2，求m的值 （1）；（2）或；（3） （1）用待定系数法即可求解； （2）若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，则可以分CDAD或ACAD两种状况，分别求解即可； （3）S1AEyM，2S2ONxM，即可求解 解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为yx22x3， 当x0时，y3，故点C（0，3）； （2）当m1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a）， 由点A、C、D的坐标得，AC， 同理可得：AD，CD， 当CDAD时，即，解得a1； 当ACAD时，同理可得a（舍去负值）； 故点D的坐标为（1，1）或（1，）； （3）E（m，0），则

16、设点M（m，m22m3）， 设直线BM的表达式为ysxt，则， 解得：， 故直线BM的表达式为yx， 当x0时，y，故点N（0，），则ON； S1AEyM（m1）（m22m3）， 2S2ONxMmS1（m1）（m22m3）， 解得m2（舍去负值）， 经检验m2是方程的根， 故m2 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要留意分类求解，避开遗漏 二次函数的面积最值问题 （2020四川绵阳中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于

17、点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形 （1）求点F的坐标及抛物线的解析式； （2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当PAB面积最大时，求点P的坐标及PAB面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标 （1）（，）；yx2+2x+1 （2）（，）； （3）Q，R或Q（，10），R（） （1）由待定系数法求出直线AB的解析式为yx+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出3a+1a8a+1（），求出a的值，则可得出答案； （2）设P（n，n2+2n+1），作PPx轴交

18、AC于点P，则P（n，n+1），得出PPn2+n，由二次函数的性质可得出答案； （3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，），设Q（，m），分两种状况：当AQ为对角线时，当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可 解：（1）设抛物线的解析式为yax2+bx+c（a0）， A（0，1），B（，0）， 设直线AB的解析式为ykx+m， ， 解得， 直线AB的解析式为yx+1， 点F的横坐标为， F点纵坐标为+1， F点的坐标为（，）， 又点A在抛物线上， c1， 对称轴为：x， b2a， 解析式化为：yax22ax+1， 四边形DBFE为平行四边形 BDEF， 3a+1a8a+1（）， 解得a1

19、， 抛物线的解析式为yx2+2x+1； （2）设P（n，n2+2n+1），作PPx轴交AC于点P， 则P（n，n+1）， PPn2+n， SABPOBPPn， 当n时，ABP的面积最大为，此时P（，） （3）， x0或x， C（，）， 设Q（，m）， 当AQ为对角线时， R（）， R在抛物线y+4上， m+4， 解得m， Q，R； 当AR为对角线时， R（）， R在抛物线y+4上， m+4， 解得m10， Q（，10），R（） 综上所述，Q，R；或Q（，10），R（） 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等学问，娴熟驾驭二次函数的

20、性质及方程思想，分类探讨思想是解题的关键 （2020重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中， （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB下方抛物线上的随意一点，连接PA，PB，求面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请干脆写出点E的坐标；若不存在，请说明理由 （1）；（2）面积最大值为；（3）存在， （1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）设，求得解析

21、式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，即可求解； （3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种状况，分别求解即可 解：（1）抛物线过， （2）设，将点代入 过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F 设点，则 由铅垂定理可得 面积最大值为 （3）（3）抛物线的表达式为：yx24x1（x2）25， 则平移后的抛物线表达式为：yx25， 联立上述两式并解得：，故点C（1，4）； 设点D（2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，1）、（1，4）； 当BC为菱形的边时， 点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D）， 即21s

22、且m3t或21s且m3t， 当点D在E的下方时，则BEBC，即s2（t1）21232， 当点D在E的上方时，则BDBC，即22（m1）21232， 联立并解得：s1，t2或4（舍去4），故点E（1，2）； 联立并解得：s-3，t-4，故点E（-3，-4）或（-3，-4）； 当BC为菱形的的对角线时， 则由中点公式得：1s2且41mt， 此时，BDBE，即22（m1）2s2（t1）2， 联立并解得：s1，t3， 故点E（1，3）， 综上，点E的坐标为：（1，2）或或或（1，3） 存在， 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要留意分

23、类求解，避开遗漏 （2020江苏宿迁中考真题）二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E (1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标； (2)如图，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； (3)如图，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当CEQ的面积为12时，求点P的坐标 (1)；(4，-1)；(2)(4，3+)或(4，3-)；(3)(10，8)或(，24) (1)由于二次函数的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，把A，B两点坐标代入，计算出a的值即可求

24、出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标； (2)由线段垂直平分线的性质可得出CB=CD，设D(4，m)，由勾股定理可得=，解方程可得出答案； (3)设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P(，)，则Q(，)，设直线CQ的解析式为，则，解得，求出M(，)，ME=，由面积公式可求出n的值，则可得出答案 (1)将A(2，0)，B(6，0)代入， 得， 解得， 二次函数的解析式为； ， E(4，)； (2)如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB=CD， 设D(4，m)， 当时， C(0，3)， =，由勾股定理可得： =， 解得m=3， 满意条件的点D的坐标为(4，3+)或(4

25、，3-)； (3)如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M， 设P(，)，则Q(，)， 设直线CQ的解析式为，则， 解得， 于是直线CQ的解析式为：， 当时， M(，)，ME=， SCQE=SCEM+SQEM=， ， 解得或， 当时，P(10，8)， 当时，P(，24) 综合以上可得，满意条件的点P的坐标为(10，8)或(，24) 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；娴熟驾驭二次函数的性质及方程思想是解题的关键 二次函数面积的其它问题 （2020辽宁鞍山中考真题）在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F （1

26、）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接 如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是_，位置关系是_； 如图2，若点E在线段的延长线上，中的结论还成立吗？假如成立，请赐予证明；假如不成立，请说明理由； （2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，求的最小值 （1）相等；垂直；成立，理由见解析；（2） （1）证明ABEBCF，得到BE=CF，AE=BF，再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果； 依据（1）中同样的证明方法求证即可； （2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x，证明ABEBCF，得到

27、CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值 解：（1）四边形ABCD为正方形， AB=BC，ABC=BCD=90，即BAE+AEB=90， AEBF， CBF+AEB=90， CBF=BAE，又AB=BC，ABE=BCF=90， ABEBCF（AAS）， BE=CF，AE=BF， FCH为等腰直角三角形， FC=FH=BE，FHFC，而CDBC， FHBC， 四边形BEHF为平行四边形， BFEH且BF=EH， AE=EH，AEEH， 故答案为：相等；垂直； 成立，理由是： 当点E在线段BC的延长线上时， 同理可得：ABEBCF（AAS）， BE=CF，AE=BF， FCH

28、为等腰直角三角形， FC=FH=BE，FHFC，而CDBC， FHBC， 四边形BEHF为平行四边形， BFEH且BF=EH， AE=EH，AEEH； （2）EGF=BCD=90， C、E、G、F四点共圆， 四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点， M也是EF中点， M是四边形BCHF外接圆圆心， 则GM的最小值为圆M半径的最小值， AB=3，BC=2， 设BE=x，则CE=2-x， 同（1）可得：CBF=BAE， 又ABE=BCF=90， ABEBCF， ，即， CF=， EF= = =， 设y=， 当x=时，y取最小值， EF的最小值为， 故GM的最小值为 本题考查了全等三角形的判定和性

29、质，相像三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相像三角形是解题的关键 （2020湖北中考真题）已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G当时，求的面积； （3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 （1），；（2）；（3）存在， , （1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标； （2）先求出BC的解析式，再设直线EF的解析

30、式为,设点E的坐标为，联立方程求出点F，G的坐标，依据列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）过点A作ANHB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到，设点，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明，依据相像三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标 （1）把点A（-1，0），C（0，3）代入中， ， 解得， ， 当时，y=4， （2） 令或x=3 设BC的解析式为 将点代入，得 ， 解得， 设直线EF的解析式为,设点E的坐标为， 将点E坐标代入中，得， 把x=m代入 即 解得m=2或m=-3 点E是

31、BC上方抛物线上的点 m=-3舍去 点 （3）过点A作ANHB， 点 点，点 设，把（-1，0）代入，得b= 设点 过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR 且点S的坐标为 若 在和中， 或 本题考查的是二次函数的综合，涉及到的学问点较多，运算较困难，第3问的解题关键在于添加适当的协助线，利用数形结合的思想列出方程求解 （2020山东日照九年级二模）如图，二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于点A(2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到ACD （1）求该抛物线的函数解析式 （2）ACD周长能否取得最小值，假如

32、能，恳求出D点的坐标；假如不能，请说明理由 （3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得ACE与ACD面积相等，假如存在，恳求出点的坐标；假如不存在，请说明理由 （1）抛物线的解析式为：yx23x8；（2）ACD周长能取得最小值，点D(3，5)；（3）存在，点E(1，4+11)或(1，4+11) （1）由抛物线过A(2，0)，点B(8，0)和C(0，8)，利用待定系数法可求解析式； （2）求ACD周长AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，ACD周长能取得最小值，点A，点B关于对称轴直线x3对称，连结BC交抛物线对称轴于D，利用待定系数法可求BC解析式，把x=3代入即可求

33、解点D坐标； （3）ACE与ACD面积相等，两个三角形同底，只要点E与点D到AC的距离相等即可，先求出AC解析式，由面积相等可得DEAC，利用待定系数法可求DE的解析式，与抛物线联立方程组可求解 解：（1）由题意可得：， 解得：， 抛物线的解析式为：yx23x8； （2）ACD周长能取得最小值， 点A（2，0），点B（8，0）， 对称轴为直线x3， ACD周长AD+AC+CD，AC是定值， 当AD+CD取最小值时，ACD周长能取得最小值， 点A，点B关于对称轴直线x3对称， 连接BC交对称轴直线x3于点D，此时AD+CD有最小值， 设直线BC解析式为：ykx8， 08k8， k1， 直线BC解

34、析式为：yx8， 当x3，y5， 点D（3，5）； （3）存在， 点A（2，0），点C（0，8）， 直线AC解析式为y4x8， 如图， ACE与ACD面积相等， DEAC， 设DE解析式为：y4x+n， 543+n， n7， DE解析式为：y4x+7， 联立方程组可得：， 解得：， 点E（1，4+11）或（1，4+11） 本题考查抛物线解析式，三角形最短周长，和面积相等时抛物线上点的坐标问题，会用待定系数法求解析式，周长最短问题转化线段的和最短问题，会用过找对称点实现转化，利用底相同，高相同，转化平行线问题是解题关键 1（广东梅州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c

35、过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上 （1）b =_，c =_，点B的坐标为_；（干脆填写结果） （2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出全部符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标 （1），（-1,0）；（2）存在P的坐标是或；（3）当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，） （1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得点B的坐标； （2）分别过点

36、C和点A作AC的垂线，将抛物线与P1，P2两点先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最终再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可； （3）连接OD先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF，然后依据垂线段最短可求得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标 解：（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得：b=2，c=3， 抛物线的解析式为 令，解得：， 点B的坐标为（1，0） 故答案为2；3；（1，0） （2）存在理由：如图所示： 当ACP1=90由（1）可知点A的坐标为（3，0） 设AC的解析式为y=kx3 将点A的坐标代入得3

37、k3=0，解得k=1， 直线AC的解析式为y=x3， 直线CP1的解析式为y=x3 将y=x3与联立解得，（舍去）， 点P1的坐标为（1，4） 当P2AC=90时设AP2的解析式为y=x+b 将x=3，y=0代入得：3+b=0，解得b=3， 直线AP2的解析式为y=x+3 将y=x+3与联立解得=2，=3（舍去）， 点P2的坐标为（2，5） 综上所述，P的坐标是（1，4）或（2，5） （3）如图2所示：连接OD 由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF依据垂线段最短，可得当ODAC时，OD最短，即EF最短 由（1）可知，在RtAOC中，OC=OA=3，ODAC， D是AC的中点 又DFO

38、C， DF=OC=， 点P的纵坐标是， ，解得：x=， 当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，） 2（2020湖北武汉九年级一模）已知抛物线yax2bxc的顶点为D (，)，经过点C (0，1)，且与x轴交于A、B两点(A在B的左侧) (1) 求抛物线的解析式： (2) P为抛物线上一点，连CP交OD于点Q，若SCOQSPDQ，求P点的横坐标； (3)点M为直线BC下方抛物线上一点，过M的直线与x轴、y轴分别交于E、F，且与抛物线有且只有一个公共点 若FCMOEF，求点M的坐标 （1）yx23x1；（2）P的横坐标为；（3）点M的坐标为(，)或(2，2) （1）运用待定系数法求解即可； （2

39、）联立方程组求解即可； （3）依据直线EF与抛物线只有一个公共点求出M点横坐标，设直线CM的解析式为yx1，与抛物线联立，即可求出结论 (1)抛物线的顶点为D (，)， 设抛物线的顶点式为ya(x)2， 把C (0，1)代入，得a(0)21，解得a 抛物线的解析式为y (x)2 亦即：yx23x1 (2) 连OP、DP、CD，由SCOQSPDQ，得SOCDSPDC，则CDOP 由C (0，1)、D (，)，可得直线CD为yx1 则直线OP的解析式为yx 与抛物线的解析式联立，得点P的横坐标为（舍去负值） (3) 设直线EF为ykxb，与抛物线yx23x1联立， 得x2(k3)x1b0， 直线E

40、F与抛物线只有一个公共点， x1x2 (k3) 即M点横坐标xM (k3) FCMOEF，可得CMEF， 故可设直线CM的解析式为yx1，与抛物线联立，得：xM (3) 于是得： (k3) (3) 解得k1或2 点M的坐标为(，)或(2，2) 本题考查了二次函数综合题，二次函数性质，待定系数法求解析式 3（2020广东九年级一模）如图，抛物线yax22xc（a0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OBOC3 （1）求该抛物线的函数解析式； （2）连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当SCOFSCDF32时，求点D

41、的坐标 （1）yx22x3；（2）(1，4)或(2，3) （1）c3，点B(3，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：yax22x3并解得：a1，即可求解； （2）SCOFSCDF32，则OFFD32，DHCO，故CODM32，则DMCO2，而DMx22x3（x3）2，即可求解 解：（1）OBOC3 c3，点B(3，0)， 将点B的坐标代入抛物线表达式：yax22x3并解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx22x3； （2）如图，过点D作DHx轴于点H，交AB于点M， SCOFSCDF32，则OFFD32， DHCO，故CODM32，则DMCO2， 由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：yx3，

42、 设点D(x，x22x3)，则点M(x，x3)， DMx22x3（x3）2， 解得：x1或2， 故点D(1，4)或(2，3) 本题主要考查了二次函数综合，精确计算是解题的关键 4（2020福建南平九年级二模）已知抛物线y（x+5）（xm）（m0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C （1）干脆写出点B、C的坐标；（用含m的式子表示） （2）若抛物线与直线yx交于点E、F，且点E、F关于原点对称，求抛物线的解析式； （3）若点P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线AC于点N，当线段MN长的最大值为时，求m的取值范围 （1）B（m，0），C（0，）；（2）；

43、（3）0m （1）y（x+5）（xm），令x0，则y，令y0，则x5或m，即可求解； （2）设点E，F的坐标分别为（a，），（a，），将点E、F的坐标，代入二次函数表达式即可求解； （3）分5t0、0tm，两种状况分别求解即可 解：（1）y（x+5）（xm），令x0，则y， 令y0，则x5或m， 故：B（m，0），C（0，）； （2）设点E，F的坐标分别为（a，），（a，）， 代入， 得， 解得：（m5）aa， a0， m6， 抛物线的解析式为； （3）依题意得A（5，0），C（0，）， 由m0，设过A，C两点的一次函数解析式是ykx+b， 将A，C代入，得 解得 过A，C两点的一次函数解析式

44、是， 设点P（t，0），则5tm（m0）， M（t，），N（t，） 当5t0时， MN， ， 该二次函数图象开口向下， 又对称轴是直线， 当时，MN的长最大， 此时MN， 当0tm时， MN， ， 该二次函数图象开口向上， 又对称轴是直线， 当0tm时，MN的长随t的增大而增大， 当tm时，MN的长最大，此时MN， 线段MN长的最大值为， ， 整理得：， 由图象可得：m m0， m的取值范围是0m 本题考查二次函数图象性质、与x轴、y轴交点坐标、一次函数图象性质、原点对称、线段最值、分类探讨法等学问，是重要考点，综合性较强，驾驭相关学问是解题关键 5（2018四川眉山中考真题）如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. （1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值