微积分在经济学中的应用分析9878.docx

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1、微积分在经济学学中的应用分分析李博西南大学数学与与统计学院，重重庆 4000715摘要：本文从经经济学与数学学的紧密联系系出发,分析了数学学,尤其是微积积分在经济学学研究中的地地位和作用。关键词:微积分分;经济学;边际分析Calculuuss AApplieed Anaalysiss in EEconommics Li booSchool of Maathematiccs andd Stattisticcs, Soouthweest Univeersityy, Chonngqingg 4007715, ChinnaAbstracct: Basedd on tthe cllose rrelati

2、ionshiip bettween econommics aand maths,this paperr anallyzes the rrole aand fuunctioon of mathss espeeciallly callculuss in eeconommics.Key worrds: calcculus; Econommics; marginnal annalysiis 1. 数学与经济学的的紧密联系经济学与数学之之间有天然的的联系, 经济学从从诞生之日起起便与数学结结下了不解之之缘。经济学应用数学学有客观基础础。经济学研研究的对象是是人与人之间间的“物的交换”，是有量化规规则的。

3、经济学基本本范畴如需求求、供给、价价格等是量化化的概念。经济学所揭揭示的规律性性往往需要数数量的说明。特特别是经济学学的出发点是是“理性经纪人人”。由于经纪纪人在行为上上是理性的,经纪人能够根根据自己的市市场处境判断断自身利益,且在若干不不同的选择场场合时,总是倾向于于选择能给自自己带来最大大利益的那一一种。所以,数学中所有有关于求极值值和最优化的的理论,都适用于分分析各种各样样的最优经济济效果问题,而很多求极极值的数学理理论和概念,也只能在最最优经济效果果中找到原型型。数学方法本身所所提供的可能能性。多变量量微积分的理理论特别适用用于研究以复复杂事物为对对象的经济学学,偏导数、全导导数、全微

4、分分公式在数理理经济学中是是一些最基本本的手段。当当这些表达一一旦被赋予经经济学的含义义时,复杂的事物物就变得如此此清晰可辩,用不着任何何多余的文字字说明,数学方法可可以使正确的的经济学理论论和科学的研研究成果表达达的更为准确确和精确,可以更好的的检验结论和和前提是否一一致或矛盾,可以更有力力地增强研究究成果中的结结论的正确性性。尤其是数数学中线性规划理理论可以说是是为了经济学学而创立的。它它研究在满足足一系列约束束条件下能够够获得极值的的条件。经济济学的任务也也是在遵守资资源约束、生生产技术的约约束下,求得消费者者效用最大化化。经济学数学化促促进了经济学学科学化。经经济学要想成成为科学理论论

5、必须具备以以下三个条件件:可检验性、逻逻辑一致性和和可积累性,而数学使经经济学达到这这些条件。经经济计量学能能够根据经济济理论建立模模型,再将模型的的结论同现实实世界相比较较,以此来决定定理论是成立立还是予以修修改或者应当当抛弃;由于数学具具有逻辑的本本质,所以能够以以逻辑为中介介来论证经济济学的数学化化是可行的,也可以说数数学能够显示示逻辑的一致致性;数学的公理理化方法能够够提供多样知知识的有效积积累方式。数学方法在经济济学研究中的的重要作用,可以从经济学学的最高奖项项诺贝尔经经济学奖的获获奖名单中得得到证实。考考察19699年至20000年三十多年年间获该项奖奖的四十多位位经济学家及及其他

6、们的获获奖成果,其中有四分之之三都是因正正确地运用了了数学方法研研究经济理论论和经济基础础问题而取得得重大成果的的,特别值得一一提的是弗里里希教授和丁丁伯根教授作作为“把经济学发发展为数学的的和定量的科科学的先行者者”而获得19669年第一届届诺贝尔经济济学奖这一殊殊荣的典范;事隔二十多多年,19994年诺贝尔尔经济学奖授授予纳什、泽泽尔腾和海萨萨尼则又是因因为他们用作为为现代数学分分支的博弈论论(主要是非合合作博弈论)的模型和方方法来研究具具有冲突和合合作性质的经经济问题而取取得突破性成成果的;20000年瑞典典皇家科学院院又把诺贝尔尔经济学奖授授予因在微观观计量经济学学领域做出杰出贡献献的

7、美国经济济学家詹姆斯斯赫克曼和丹丹尼尔麦克法登。 几乎所有的(除除了获19774年诺贝尔尔奖得主哈耶耶克)获奖成果都都用到了数学学工具;有一半以上上获奖者都是是有深厚数学学功底的经济济学家,还有少数获获奖者本身就就是著名的数数学家,特别像获得1975年诺诺贝尔奖的苏苏联数学家康康托洛维奇,获1983年诺诺贝尔奖的法法籍美国数学学家德布洛,获1994年诺诺贝尔奖的美美国数学家纳纳什。足见数数学方法在经经济学研究中中的重大作用用。2. 微积分的引入确确立了边际分分析在经济学学中的地位19世纪中期的的边际革命无无疑是现代经经济学自建立立以来最大的的一次变革。边边际革命实际际是西方经济济学在价值理理论

8、上的一种种新发展,就是用边际际效用学说来来重新认识和和分析价值问问题,即产品的价价值取决于边边际效用的大大小。边际分分析早在边沁沁时代就出现现,但引入数学学微积分带来来个人争取极极大化经济均均衡点的处理理,才使得边际际分析成为可可能,才使它以不不可阻挡之势势出现在经济济学各个分支支。边际分析析的实质就是是经济学家们们利用心理学学和数学微积分方法法对经济学的的一个整合。边际分析的数学学含义是指自自变量发生微微小变化时,引起的因变变量的变化。这种分析正正是用微积分分来完成的。可可以说没有微微积分将无法法进行经济活活动动态分析析和边际分析析。2.1 一般均均衡理论中的的微积分方法法经济均衡理论是是瓦

9、尔拉斯创创立的。所谓谓瓦尔拉斯均均衡,就是对每一一个商品市场场的供给和需需求相等的所所有均衡条件件进行描述。即即寻求在经济济生活中消费费者追求效用用最大化,生产者追求求利润最大化化的过程中,均衡价格体体系存在的条条件。一般均均衡分析是在在构建多变量量方程组的前前提下,运用微积分分理论对商品品市场的供求求进行边际分分析,从而寻求一一个均衡价格格体系,使经济达到到一般均衡。其其思路是由家户商品品需求和要素素供给及厂商商商品供给和和要素需求的的分析,到整个商品品市场和要素素市场的一般般均衡。家户的行为:先先考虑某个家家户h的产品需求求和要素供给给,然后再将所所有H个家户的商商品需求和要要素供给分别别

10、相加求得每每种商品的市市场需求和每每种要素的市市场供给。家家户h的效用取决决于它所消费费的各种商品品数量(，)以及它提供供的各种要素素数量(，) 。于是家家户h的效用函数数可写成:= (， ; ，) 。家户h的全部收收入均来自其其要素供给。由由于产品和要要素价格对单单个家户来说说是既定不变变的常量(产品和要素素市场均为完完全竞争),且不存在储储蓄和负储蓄蓄,故家户h 的全部收收入就等于 + +,式中 , 分别为各种要要素的价格,家户h在各种商品品上的支出则则为+ +,式中 ,分别为各种种产品的价格格。家户h的预算约束束即“预算线”为： 于是,家户h是是在预算约束束的条件下,选择最优的的商品消费

11、量量即商品需求求量和最优的的要素销售量量即要素供给给量,以使其效用用函数达到最最大。根据在在约束条件下下的极值原理理可知,家户h对每种商品品的需求量取取决于所有的的商品价格和和要素价格,即取决于整整个经济的价价格体系。如如:假定某家户户的效用函数数为:;其预算约束束为:。式中,I为家户既定定收入。由此此可建立拉格格朗日函数如如下: ;是拉格朗日日乘数。于是是,在预算约束束条件下的效效用最大化的的条件为: 由这些效用最大大化条件可以以求得最优消消费量和,显而易见,如果改变约约束条件中的的价格P1和P2,则最优消费费量Q1和Q2也将随之之变化。这就就是说,最优消费量量Q1和Q2均是价格格P1和P2

12、的函数。上上述对单个家家户h的讨论也适适用于所有其其他家户。将将所有H个家户对每每一种产品的的需求加总起起来,就得到每一一种产品的市市场需求;与单个家户户的需求情况况一样,每一种商品品的市场需求求显然也是整整个经济的价价格体系的函函数,即有: 。式中，（）,为为第i种产品的市市场需求。再再将所有H个家户对每每一种要素的的供给加总起起来,就得到每一一种要素的市市场供给;与单个家户户的供给情况况一样,每一种要素素的市场供给给显然也是整整个价格体系系的函数。从从而得到结论论:存在一组价价格,使得所有市市场的供给和和需求都恰好好相等,也即存在着着整个经济体体系的一般均均衡。2.2 宏观经经济中的微积积

13、分思想凯恩斯在19336年出版的的就业利息息与货币通论论中揭示了了经济危机和和失业的原因因:即有效需求求不足带来失业业,而需求不足足的原因是边边际消费倾向向递减消费需求求不足、资本本边际效率递递减活动偏好好带来投资需需求不足。要要解决这些问问题必须依靠靠国家的力量量进行干预,增加投资需需求带动消费费需求。于是是凯恩斯在边边际消费倾向向的基础上提提出了乘数原原理:设投资增量量为I ,由I导致的收入入增量为Y,则Y= KI ,K就是是乘数,即投资增量量和由它所引引起的收入增增量之间的一一定比率: ，C为消费增量量,为边际消费费倾向,乘数是一减减边际消费倾倾向的倒数,乘数与边际际消费倾向成成正比例,

14、即边际消费费倾向越大,乘数就越大大,边际消费倾倾向越小,乘数就越小小。所以,要消灭萧条条和失业,国家应当鼓鼓励和支持全全社会成员尽尽可能多消费费,应当增加货货币数量以降降低利率,使企业家预预期的纯利润润相对地提高高,也就是提高高资本的边际际效率,增加投资物物的需求,通过乘数作作用增加消费费品的需求。第第二次世界大大战后,随着西方实实行国家干预预程度的提高高,有必要弄清清决定经济增增长的因素和和条件。这时时,边际分析也也被引入了宏宏观经济增长长分析。新古古典经济学家家认为,总产量和生生产要素的投投入存在着一一定的函数关关系,而这种函数数关系是同各各要素生产力力的边际量密密切相关的。固固然经济增长

15、长所要考虑的的是总量的变变动,但产品总量量的变动依赖赖的是各生产产要素边际增增量的变动。新新古典经济学学家接受了希希克斯提出的的技术进步为为“中性”的思想。他他们认为“中性”的技术进步步会使劳动和和资本的边际际生产力以相相同的比例增增长。在一定定的资本劳动动数量比例下下,资本的边际际生产力由于于技术的进步步以和产出量量同样的比率率增长,同时,资本的平均均生产力也以以相同的比率率增长,所以“, 中性”的技术进步步不会影响资资本的边际产产品,资本K和劳动L 的总收入入恰好吸收有有着规模变动动时报酬不变变的现有生产产函数条件下下的总产量。所所以,各生产要素素的边际替代代率等于1 ,也就是说说,劳动和

16、资本本对产量增长长所做出的贡献的的份额不一定定相同,但它们的和和始终为1。所以“中性”的技术进步步实际上指技技术进步为相相对不变,可以暂时略略去技术进步步的因素,于是索洛得得出这样的结结论:。它表示产品的增增量等于各生生产要素的边边际物质产品品乘以各生产产要素的增量量。那么,把各个时期期产品的增量量汇总,就可得出产产品的总量。也也可以这么说说,产品总价值值由各要素所所创造的产品品或价值之和和构成,把这个公式式稍一变形就就可得到:显然,产量增长长率不仅依赖赖于资本和劳劳动两者的增增长率,而且还依赖赖于资本和劳劳动在产量中中的相对贡献献。而式中的的=：，为资本的边边际生产率, 为资本的平平均生产率

17、,把它变形为为，即为资本的的生产弹性,同样为劳动力力的生产弹性性,如果考虑到到技术进步的的因素,则索洛得出出: 新古典经经济学家对国国民经济增长长因素的分析析其出发点是是边际增量分分析。正因为为要素的边际际生产力是递递减的,所以要素的的边际产品是是不断变动的的,而边际产品品的变动又取取决于要素构构成的变动和和各要素增长长的比例。同同时,在完全自由由竞争的假设设下,各生产要素素的价格取决决于各自的边边际生产力。于于是,就可以从生生产要素的增增量去考虑国国民经济总量量的运动。由由此看到边际际分析方法进进而微积分分分析工具是宏宏观经济理论论的一个不可可忽视的分析析工具。3. 微积分为最优化化理论奠定

18、了了基础边际分析研究的的是函数边际际点上的极值值。也就是研研究因变量在在某一点上(即边际点) 是由递增变变为递减,还是由递减减变为递增的的规律。这种种边际点的函函数值就是极极大值或极小小值。边际点点的自变量是是作为判断并并加以取舍的的最佳点,而寻找这个个可据以做出出最优决策的的最合理的边边际点,正是经济研研究的一个焦焦点。因此,微积分法是是研究最优化化规律不可缺缺少的方法。其实,在任何一一种经济学说说中最优化理理论都明里暗暗里起着重要要的作用。因因为经济学是是研究一个社社会应该如何何组织起来进进行活动,使经济效益益达到最佳的的一门学问。这这里先不说“经济效益最最佳”的确切定义义是什么,或许是全

19、社社会的物质财财富最大,或许是逐年年消费增长的的速度为最大大等等,它总是一个个求极大值的的问题。西方方经济学从理理论上推出了了所谓最佳资资源配置、最最优收入分配配、最大经济济效率以及整整个社会达到到最优的一系系列条件和标标准。最优化化理论成为经经济分析的真真正基石,也是经济决决策的重要依依据。实现最最优化,相当于要求求一切经济活活动处于“顶峰”位置,任何一点偏偏离都要从顶顶峰向下倾斜斜,它必然要用用到微分方法法中令导数等等于零的数学学原理。3.1 消费者者均衡理论消费者均衡理论论的核心是:消费者如何何获得效用最最大化。无论论是从基数效效用论入手还还是从序数效效用理论入手手,都可以得出出相同的消

20、费费者均衡条件件的结论: ( MU 为为边际效用, P 为价价格)其分析工具是微微积分。基数效用论和边边际效用分析析法是:设TU表示总效效用,以U表示边际效效用,Q表示消费费者,总效用是边边际效用之和和。边际效用用是指消费者者在一定时间间内增加一单单位商品的消消费所得到的的效用增量。则总效用函数为为: 边际效用为：消费者实现效用用最大化的均均衡条件是:若消费者货货币收入是固固定的,市场上各种种商品的价格格是已知的,那么消费者者应该使自己己所购买的各各种商品的边边际效用与价价格之比相等等(或者说消费费者应使自己己花费在各种种商品购买上上的最后一元元钱带来的边际效用相相等) 。即 （1）其中I 为

21、消费费者的最高收收入，分别为 n 种商品的价价格,为不变的货货币边际效用用。 分别为n 种商品数数量。进而可可以求出需求求曲线。序数数效用论者运运用无差异曲曲线和预算线线得到消费者者效用最大化化的均衡条件件为:即在一定的约束束条件下,为了实现最最大的效用, 消费者应应该选择最优优的商品组合合,使得两商品品的边际替代代率等于两商商品的价格之之比。(或在消费者者的均衡点上上,消费者愿意意用一单位的的某种商品去去交换的另一一种商品的数数量,应该高于该该消费者能够够在市场上用用一单位的这这种商品去交交换得到的另另一种商品的的数量)以上各种不不同的分析方方法, 都得出消消费者均衡的的相同条件,其原因是:

22、由于在保持持效用水平不不变的前提下下, 消费者增增加一种商品品的数量所带带来的效用增增加量和相应应减少的另一一种商品数量量所带来的效效用减少量必必定是相等的的,即有:上式可以写为: 根据以上两个式式子, 序数效用用论者关于消消费者的均衡衡条件即上式式可改写为: 或 （2）其中为货币的的边际效用。并并且由式(1)和(2)得到消费者者实现效用最最大化的均衡衡条件与序数数效用论者关关于消费者的的均衡条件是是相同的。3.2 最大的的生产要素组组合在生产理论中,为了简化分分析,通常以两种种可变生产要要素的生产函函数来考察长长期生产问题题。假定生产产者使用劳动动和资本两种种可变生产要要求来生产一一种产品,

23、则两种可变变生产要求的的生产函数为为:L 为可变要求求劳动的投入入量, K 为可变要求求资本的投入入量, Q 为产量厂商商可以通过对对两投入要素素的不断调整整实现既定成成本条件下的的最大产量的的要素组合。假假定要素市场场上既定的劳劳动的价格即即工资率为,既定的资本本的价格即利利息率为r , 厂商既既定的成本支支出为C ,则成本方程程为: ，C 在一定的的条件限制下下,即: 建立拉格朗日方方程： 产量最大化的一一阶条件为: （33） （4）由（3）、（44）式得: 由此得既定条件件下实现最大大产量的要素素组合原则:即厂商通过过对两要素投投入量的不断断调整,使得最后一一单位的成本本支出无论用用来购

24、买哪一一种生产要素素所获得的边边际产量极高高, 从而实现现既定成本条条件下的最大大产量。4. 对待在经济学中中使用数学方方法的问题上上应持的态度度中国现阶段产生生的经济学是是否数学化这个争论论的本质不是是在于经济学学研究方法其其中的一种数学方法法本身,而是有些人人用数学方法法的功利性在在作怪,要批判的是是这种“工具理性”和“科学主义”的倾向性。我我国经济学的的一代宗师陈陈岱孙先生曾曾说过:“我们过去对对于定量分析析忽视了,数学本来是是一个严密的的分析工具,没有理由不不让它为我们们研究的经济济服务。这决决不是否定定定性的研究。我我们更要反对对滥用数学,把经济探讨讨变成数学游游戏。”虽然数学方方法

25、本身也存存在局限,但这会随着着经济理论的的发展和方法法的创新得以以完善,这就需要发发挥人的主观观能动性,是要去建设设而不是破坏坏数学方法本本身。现在讨讨论这个问题题的人更多的的看到的是数数学方法本身身,而不是对研研究者采用这这种方法的内内在动因进行行深入的分析析。因此我们们在对待经济济学中使用数数学方法的问问题上既要反反对违背经济济理论和经济济现实,一味从主观观出发的先验验假设建立起起来的各种经经济模型以及及这种不良的的研究风气,也要反对不不问青红皂白白带着有色眼眼镜来看待数数学方法在经经济学中广泛泛应用的偏激激思想。对此此我们应持的的态度是:对一般技术术性较强的经经济学,可以运用数数学方法来

26、确确定经济政策策的力度和边边界,预测经济政政策的直接和和间接效果的的。比如产业业结构、经济济增长率、货货币增长率、物物价上涨率、失失业率、工资资率、基尼系系数、税率、利利率、汇率、开开放度、外债债率等国民经经济参数的临临界值。但同同时要注意社社会经济毕竟竟是人造的社社会系统,应用数学方方法应该有一一定的限制。参考文献:1 鲁迪格格多恩布什,斯坦利费希尔,理理查德斯塔兹,等等.宏观经济济学M.中国财政经经济出版社,2003.44-800.2 平狄克克,鲁宾费尔尔德,等.微微观经济学M.中国国人民大学出出版社,20000.1223-1499.3 朱柏铭铭,曹前进. 试论经济济学研究中数数学方法的运

27、运用J.嘉兴学院学学报, 20022,(01) .4 罗后平平. 谈数学学在经济学中中的运用JJ. 统计计与预测, 2002,(06).5 程冬时时. 试论数数学对经济学学的意义JJ. 企业业经济, 20033,(11).6 史树中中. 诺贝尔尔经济学奖与与数学J. 高等数数学研究, 1998,(02).致谢：经过近三个月的的忙碌和工作作，本次毕业业论文已经接接近尾声，作作为一个本科科生的毕业设设计，由于经经验的匮乏，难难免有许多考考虑不周全的的地方，如果果没有导师李忠如老师的督促指指导，以及一一起工作的同同学们的支持持，想要完成成这个设计是是难以想象的的 在这里首先要感感谢我的导师师李忠如老师李老师平日里里工作繁多，但但在我做毕业业设计的每个个阶段，从查查阅资料，设设计草案的确确定和修改，中中期检查，后后期详细设计计等整个过程程中都给予了了我悉心的指指导除了敬敬佩李老师的专业业水平外，他他的治学严谨谨和科学研究究的精神也是是我永远学习习的榜样，并并将积极影响响我今后的学学习和工作 然后还要感谢大大学四年来所所有的老师，为为我打下数学专业知识识的基础；同同时还要感谢谢所有的同学学们，正是因因为有了你们们的支持和鼓鼓励此次毕业设设计才会顺利利完成 最后感谢我的母母校-西西南大学四年年来对我的大大力栽培第 13 页 共 14 页