计量经济学 第三章经典单方程计量经济学模型多元线性回归模型xcu.docx

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1、第三章、经典单单方程计量经经济学模型：多元线性回回归模型一、内容提要本章将一元回归归模型拓展到到了多元回归归模型，其基基本的建模思思想与建模方方法与一元的的情形相同。主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。本章仍重点介绍绍了多元线性性回归模型的的基本假设、估估计方法以及及检验程序。与与一元回归分分析相比，多多元回归分析析的基本假设设中引入了多多个解释变量量间不存在（完完全）多重共共线性这一假假设；在检验验部分，一方方面引入了修修正的可决系系数，另一方方面引入了对对多个解释变变量是否对被被

2、解释变量有有显著线性影影响关系的联联合性F检验验，并讨论了了F检验与拟拟合优度检验验的内在联系系。本章的另一个重重点是将线性性回归模型拓拓展到非线性性回归模型，主主要学习非线线性模型如何何转化为线性性回归模型的的常见类型与与方法。这里里需要注意各各回归参数的的具体经济含含义。本章第三个学习习重点是关于于模型的约束束性检验问题题，包括参数数的线性约束束与非线性约约束检验。参参数的线性约约束检验包括括对参数线性性约束的检验验、对模型增增加或减少解解释变量的检检验以及参数数的稳定性检检验三方面的的内容，其中中参数稳定性性检验又包括括邹氏参数稳稳定性检验与与邹氏预测检检验两种类型型的检验。检检验都是以

3、FF检验为主要要检验工具，以以受约束模型型与无约束模模型是否有显显著差异为检检验基点。参参数的非线性性约束检验主主要包括最大大似然比检验验、沃尔德检检验与拉格朗日乘乘数检验。它们仍以估计计无约束模型型与受约束模模型为基础，但但以最大似然然原理进行估估计，且都适适用于大样本本情形，都以以约束条件个个数为自由度度的分布为检检验统计量的的分布特征。非线性约束束检验中的拉拉格朗日乘数数检验在后面面的章节中多多次使用。二、典型例题分分析例1某地区通通过一个样本本容量为7222的调查数数据得到劳动动力受教育的的一个回归方方程为 R2=0.2114式中，edu为为劳动力受教教育年数，ssibs为该该劳动力家

4、庭庭中兄弟姐妹妹的个数，mmedu与ffedu分别别为母亲与父父亲受到教育育的年数。问问（1）sibss是否具有预预期的影响？为什么？若若medu与与fedu保保持不变，为为了使预测的受教教育水平减少少一年，需要要sibs增增加多少？（2）请对meedu的系数数给予适当的的解释。（3）如果两个个劳动力都没没有兄弟姐妹妹，但其中一一个的父母受受教育的年数为为12年，另另一个的父母母受教育的年年数为16年年，则两人受受教育的年数数预期相差多多少？解答：（1）预期siibs对劳动动者受教育的的年数有影响响。因此在收收入及支出预预算约束一定定的条件下，子子女越多的家家庭，每个孩孩子接受教育育的时间会越

5、越短。根据多元回归模模型偏回归系系数的含义，ssibs前的的参数估计值值-0.0994表明，在在其他条件不不变的情况下下，每增加11个兄弟姐妹妹，受教育年年数会减少00.094年年，因此，要要减少1年受受教育的时间间，兄弟姐妹妹需增加1/0.0944=10.66个。（2）meduu的系数表示示当兄弟姐妹妹数与父亲受受教育的年数数保持不变时时，母亲每增增加1年受教教育的机会，其其子女作为劳劳动者就会预预期增加0.131年的的教育机会。（3）首先计算算两人受教育育的年数分别别为10.36+00.131112+0.221012=14.455210.36+00.131116+0.221016=15.8

6、116因此，两人的受受教育年限的的差别为155.816-14.4552=1.3364例2以企业研研发支出（RR&D）占销销售额的比重重为被解释变变量（Y），以以企业销售额额（X1）与与利润占销售售额的比重（XX2）为解释释变量，一个个有32容量量的样本企业业的估计结果果如下：其中括号中为系系数估计值的的标准差。（1）解释loog(X1)的系数。如如果X1增加加10%，估估计Y会变化化多少个百分分点？这在经经济上是一个个很大的影响响吗？（2）针对R&D强度随销销售额的增加加而提高这一一备择假设，检检验它不虽XX1而变化的的假设。分别别在5%和110%的显著著性水平上进进行这个检验验。（3）利润占

7、销销售额的比重重X2对R&D强度Y是是否在统计上上有显著的影影响？解答：（1）log(x1)的系系数表明在其其他条件不变变时，logg(x1)变变化1个单位位，Y变化的的单位数，即即DY=0.332Dlog(X1)0.32(DX11/X1)=0.321100%，换换言之，当企企业销售X11增长1000%时，企业业研发支出占占销售额的比比重Y会增加加0.32个个百分点。由由此，如果XX1增加100%，Y会增增加0.0332个百分点点。这在经济济上不是一个个较大的影响响。（2）针对备择择假设H1：，检验原假假设H0：。易易知计算的tt统计量的值值为t=0.32/0.22=1.468。在在5%的显著

8、著性水平下，自自由度为322-3=299的t 分布布的临界值为为1.6999（单侧），计计算的t值小小于该临界值值，所以不拒拒绝原假设。意意味着R&DD强度不随销售额的增增加而变化。在在10%的显显著性水平下下，t分布的的临界值为11.311，计计算的t 值值小于该值，拒拒绝原假设，意意味着R&DD强度随销售售额的增加而而增加。（3）对X2，参参数估计值的的t统计值为为0.05/0.46=1.0877，它比在110%的显著著性水平下的的临界值还小小，因此可以以认为它对YY在统计上没没有显著的影影响。例3下表为有有关经批准的的私人住房单单位及其决定定因素的4个个模型的估计计量和相关统统计值（括号

9、号内为p-值值）（如果某某项为空，则则意味着模型型中没有此变变量）。数据据为美国400个城市的数数据。模型如如下：式中housiing实际颁发发的建筑许可可证数量，densitty每平方英英里的人口密密度，vallue自由房屋屋的均值（单单位：百美元元），inccome平均家庭的的收入（单位位：千美元），popchang19801992年的人口增长百分比，unemp失业率，localtax人均交纳的地方税，statetax人均缴纳的州税变量模型A模型B模型C模型DC813 (0.74)-392 (00.81)-1279 (0.34)-973 (00.44)Densityy0.075 (0.43

10、)0.062 (0.32) 0.042 (0.47)Value-0.855 (0.133)-0.873 (0.111)-0.994 (0.066)-0.778 (0.077)Income110.41 (0.144)133.03 (0.044)125.71 (0.055)116.60 (0.066)Popchanng26.77 (0.11)29.19 (0.06)29.41 (0.0011)24.86 (0.08)Unemp-76.55 (0.488)Localtaax-0.061 (0.955)Statetaax-1.006 (0.400)-1.004 (0.377)RSS4.763e+74.

11、843e+74.962e+75.038e+7R20.3490.3380.3220.3121.488e+61.424e+61.418e+61.399e+6AIC1.776e+61.634e+61.593e+61.538e+6（1） 检验模型A中的的每一个回归归系数在100%水平下是是否为零（括括号中的值为为双边备择p-值）。根根据检验结果果，你认为应应该把变量保保留在模型中中还是去掉？（2） 在模型A中，在在10%水平平下检验联合合假设H0：bi =0(i=1,5,6,7)。说说明被择假设设，计算检验验统计值，说说明其在零假假设条件下的的分布，拒绝绝或接受零假假设的标准。说说明你的结论论。（3）

12、 哪个模型是“最最优的”？解释你的的选择标准。（4） 说明最优模型中中有哪些系数数的符号是“错误的”。说明你的的预期符号并并解释原因。确确认其是否为为正确符号。解答：（1）直接给出出了P-值，所所以没有必要要计算t-统统计值以及查查t分布表。根据题意意，如果p-值0，事实实上其估计值值确是大于零零的。同样地，随着着人口的增加加，住房需求求也会随之增增加，所以我我们预期40，事实实其估计值也是是如此。随着着房屋价格的的上升，我们们预期对住房房的需求人数数减少，即我我们预期3估计值的符符号为负，回回归结果与直直觉相符。出出乎预料的是是，地方税与与州税为不显显著的。由于于税收的增加加将使可支配收收入

13、降低，所所以我们预期期住房的需求求将下降。虽虽然模型A是是这种情况，但但它们的影响响却非常微弱弱。 4、在经经典线性模型型基本假定下下，对含有三三个自变量的的多元回归模模型：你想检验的虚拟拟假设是H00：。 （1）用用的方差及其其协方差求出出。 （2）写写出检验H00：的t统计计量。 （3）如如果定义，写写出一个涉及及b0、q、b2和b3的回归方程程，以便能直直接得到q估计计值及其标准准误。解答： （1）由由数理统计学学知识易知 （2）由由数理统计学学知识易知，其中为的标准准差。 （3）由由知，代入原模模型得这就是所需的模模型，其中q估估计值及其标标准误都能通通过对该模型型进行估计得得到。三、

14、习题（一）基本知识识类题型3-1解释下下列概念：1) 多元线性回归2) 虚变量3) 正规方程组4) 无偏性5) 一致性6) 参数估计量的置置信区间7) 被解释变量预测测值的置信区区间8) 受约束回归9) 无约束回归10) 参数稳定性检验验3-2观察下下列方程并判判断其变量是是否呈线性？系数是否呈呈线性？或都都是？或都不不是？1)2)3)4)5)6)7) 3-3多元线线性回归模型型与一元线性性回归模型有有哪些区别？3-4为什么么说最小二乘乘估计量是最最优的线性无无偏估计量？多元线性回回归最小二乘乘估计的正规规方程组，能能解出唯一的的参数估计的的条件是什么么？3-5多元线线性回归模型型的基本假设设

15、是什么？试试说明在证明明最小二乘估估计量的无偏偏性和有效性性的过程中，哪哪些基本假设设起了作用？ 3-6请说明明区间估计的的含义。 （二）基本证明明与问答类题题型3-7什么是是正规方程组组？分别用非非矩阵形式和和矩阵形式写写出模型：，的正规方程组组，及其推导导过程。3-8对于多多元线性回归归模型，证明明：（1）（2）3-9为什么么从计量经济济学模型得到到的预测值不不是一个确定定的值？预测测值的置信区区间和置信度度的含义是什什么？在相同同的置信度下下如何才能缩缩小置信区间间？为什么？ 3-10在多多元线性回归归分析中，检检验与检验有有何不同？在在一元线性回回归分析中二二者是否有等等价的作用？3-

16、11设有有模型：，试试在下列条件件下：（1）（2）分别求出和的最最小二乘估计计量。3-12多元元线性计量经经济学模型 1,2,n (2.11.1)的矩阵形式是什什么？其中每每个矩阵的含含义是什么？熟练地写出出用矩阵表示示的该模型的的普通最小二二乘参数估计计量，并证明明在满足基本本假设的情况况下该普通最最小二乘参数数估计量是无无偏和有效的的估计量。 3-13有如如下生产函数数：（0.257） (00.219) 其中括号内数值值为参数标准准差。请检验验以下零假设设：（1）产出量的的资本弹性和和劳动弹性是是等同的；（2）存在不变变规模收益，即即 。3-14对模模型应用OLLS法，得到到回归方程如如下

17、：要求：证明残差差与不相关，即即：。3-15 3-16考虑虑下列两个模模型：、要求：（1）证证明： ， ，（2）证明：残残差的最小二二乘估计量相相同，即：（3）在何种情情况下，模型型的拟合优度度会小于模型型拟合优度。 3-17假设设要求你建立立一个计量经经济模型来说说明在学校跑跑道上慢跑一一英里或一英英里以上的人人数，以便决决定是否修建建第二条跑道道以满足所有有的锻炼者。你你通过整个学学年收集数据据，得到两个个可能的解释释性方程：方程A： 方程B： 其中：某天天慢跑者的人人数 该天降雨的的英寸数该天日照的的小时数该天的最高高温度（按华华氏温度）第二天需交交学期论文的的班级数请回答下列问题题：（

18、1）这这两个方程你你认为哪个更更合理些，为为什么？（2）为什么用用相同的数据据去估计相同同变量的系数数得到不同的的符号？3-18对下下列模型： （1） （2）求出的最小二二乘估计值；并将结果与与下面的三变变量回归方程程的最小二乘乘估计值作比比较：（3） ，你你认为哪一个个估计值更好好？3-19假定定以校园内食食堂每天卖出出的盒饭数量量作为被解释释变量，盒饭饭价格、气温温、附近餐厅厅的盒饭价格格、学校当日日的学生数量量（单位：千千人）作为解解释变量，进进行回归分析析；假设不管管是否有假期期，食堂都营营业。不幸的的是，食堂内内的计算机被被一次病毒侵侵犯，所有的的存储丢失，无法恢复，你不能说出独立变

19、量分别代表着哪一项！下面是回归结果（括号内为标准差）： （2.6） (6.33) (0.61) (5.9) 要求：（1）试判定每每项结果对应应着哪一个变变量？（2）对你的判判定结论做出出说明。 （三）基本计算算类题型3-20试对对二元线性回回归模型： ，（）作回回归分析，要要求：（1）求求出未知参数数的最小二乘乘估计量；（2）求出随机机误差项的方方差的无偏估估计量；（3）对样本回回归方程作拟拟合优度检验验；（4）对总体回回归方程的显显著性进行检检验；（5）对的显著著性进行检验验；（6）当时，写写出和Y0的置信度为为95%的预预测区间。3-21下表表给出三变量量模型的回归归结果：方差来源平方和（

20、SS）自由度（d.ff.）平方和的均值(MSS)来自回归(ESSS)65965来自残差(RSSS)_总离差(TSSS)6604214要求：（1）样样本容量是多多少？（2）求RSSS？（3）ESS和和RSS的自自由度各是多多少？（4）求和？（5）检验假设设：和对无影响。你你用什么假设设检验？为什什么？（6）根据以上上信息，你能能否确定和各自对的贡献献吗？3-22下面面给出依据115个观察值值计算得到的的数据： ， ， ， ， ， ， 其中小写字母代代表了各值与与其样本均值值的离差。要求：（1）估估计三个多元元回归系数；（2）估计它们们的标准差；并求出与？（3）估计、995%的置信信区间；（4）在

21、下，检检验估计的每每个回归系数数的统计显著著性（双边检检验）；（5）检验在下下所有的部分分系数都为零零，并给出方方差分析表。3-23考虑虑以下方程（括括号内为估计计标准差）：（0.080） (0.0772) (0.6658) 其中：年的的每位雇员的的工资和薪水水年的物价水水平年的失业率率要求：（1）对对个人收入估估计的斜率系系数进行假设设检验；（尽尽量在做本题题之前不参考考结果）（2）讨论在理理论上的正确确性，对本模模型的正确性性进行讨论；是否应从方方程中删除？为什么？3-24下表表是某种商品品的需求量、价价格和消费者者收入十年的的时间序列资资料：年份12345678910需求量（吨）YY59

22、190654506236064700674006444068000724007571070680价格（元）X1123.5624.4432.0732.4631.1534.1435.3038.7039.6346.68收入（元）X227620091200106700111600119000129200143400159600180000193000要求：（1）已已知商品需求求量是其价格格和消费者收收入的函数，试试求对和的最小二乘乘回归方程：（2）求的总变变差中未被和和解释的部分分，并对回归归方程进行显显著性检验；（3）对回归参参数，进行显著性性检验。3-25参考考习题2-228给出的数数据，要求：（

23、1）建立一个个多元回归模模型，解释MMBA毕业生生的平均初职职工资，并且且求出回归结结果；（2）如果模型型中包括了GGPA和GMMAT分数这这两个解释变变量，先验地地，你可能会会遇到什么问问题，为什么么？（3）如果学费费这一变量的的系数为正、并且在统计计上是显著的的，是否表示示进入最昂贵贵的商业学校校是值得的。学学费这个变量量可用什么来来代替？ 3-26经研研究发现，学学生用于购买买书籍及课外外读物的支出出与本人受教教育年限和其其家庭收入水水平有关，对对18名学生生进行调查的的统计资料如如下表所示：学生序号购买书籍及课外外读物支出（元元/年）受教育年限 （年年）家庭月可支配收收入（元/月月）1

24、450.54171.22507.74174.23613.95204.34563.44218.75501.54219.46781.57240.47541.84273.58611.15294.891222.110330.210793.27333.111660.85366.012792.76350.913580.84357.914612.75359.015890.87371.9161121.09435.3171094.28523.9181253.010604.1要求：（1）试求出学学生购买书籍籍及课外读物物的支出与受受教育年限和和家庭收入水水平的估计的的回归方程：（2）对的显著著性进行t检检验；计算

25、和和；（3）假设有一一学生的受教教育年限年，家家庭收入水平平，试预测该该学生全年购购买书籍及课课外读物的支支出，并求出出相应的预测测区间（=0.055）。3-27根据据100对(，)的观察值值计算出： 要求：（1）求出一元元模型中的的最小二二乘估计量及及其相应的标标准差估计量量；（2）后来发现现还受的影响，于于是将一元模模型改为二元元模型，收集集的相应观察察值并计算出出： 求二元模型中的的，的最小二乘乘估计量及其其相应的标准准差估计量；（3）一元模型型中的与二元元模型中的是是否相等？为为什么？3-28考虑虑以下预测的的回归方程： 其中：第tt年的玉米产产量（蒲式耳耳/亩）第t年的施施肥强度（磅

26、磅/亩）第t年的降降雨量（英寸寸）要求回答下列问问题：（1）从和对的的影响方面，说说出本方程中中系数和的含义；（2）常数项是是否意味着玉玉米的负产量量可能存在？（3）假定的真真实值为，则则估计值是否否有偏？为什什么？（4）假定该方方程并不满足足所有的古典典模型假设，即即并不是最佳佳线性无偏估估计值，则是是否意味着的的真实值绝对对不等于？为为什么？ 3-29已知知线性回归模模型式中（0，），且（为样本容量，为为参数的个数数），由二次次型的最小化化得到如下线线性方程组：要求：（1）把把问题写成矩矩阵向量的形形式；用求逆逆矩阵的方法法求解之；（2）如果，求求；（3）求出的方方差协方差矩阵阵。3-30

27、已知知数据如下表表：11103298351541285-6要求：（1）先先根据表中数数据估计以下下回归模型的的方程（只估估计参数不用用估计标准差差）：（2）回答下列列问题：吗？为什么？吗吗？为什么？（四）自我综合合练习类题型型3-31自己己选择研究对对象(最好是是一个实际经经济问题)，收收集样本数据据，应用计量量经济学软件件（建议使用用Eviewws3.1），完完成建立多元元线性计量经经济模型的全全过程，并写写出详细研究究报告。四、习题参考答答案 （一）基基本知识类题题型3-1解释下下列概念（1）在现实经经济活动中往往往存在一个个被解释变量量受到多个解解释变量的影影响的现象，表表现为在线性性回

28、归模型中中有多个解释释变量，这样样的模型被称称为多元线性性回归模型，多多元指多个解解释变量。（2）形如的关关于参数估计计值的线性代代数方程组称称为正规方程程组。3-2答：变变量非线性、系系数线性；变变量、系数均均线性；变量量、系数均线线性；变量线线性、系数非非线性；变量量、系数均为为非线性；变变量、系数均均为非线性；变量、系数数均为线性。3-3答：多多元线性回归归模型与一元元线性回归模模型的区别表表现在如下几几方面：一是是解释变量的的个数不同；二是模型的的经典假设不不同，多元线线性回归模型型比一元线性性回归模型多多了“解释变量之之间不存在线线性相关关系系”的假定；三是是多元线性回回归模型的参参

29、数估计式的的表达更复杂杂；3-4在多元元线性回归模模型中，参数数的最小二乘乘估计量具备备线性、无偏偏性、最小方方差性，同时时多元线性回回归模型满足足经典假定，所所以此时的最最小二乘估计计量是最优的的线性无偏估估计量，又称称BLUE估估计量。对于于多元线性回回归最小二乘乘估计的正规规方程组，3-5答：多多元线性回归归模型的基本本假定有：零零均值假定、随随机项独立同同方差假定、解解释变量的非非随机性假定定、解释变量量之间不存在在线性相关关关系假定、随随机误差项服服从均值为00方差为的正正态分布假定定。在证明最最小二乘估计计量的无偏性性中，利用了了解释变量与与随机误差项项不相关的假假定；在有效效性的

30、证明中中，利用了随随机项独立同同方差假定。3-6答：区区间估计是指指研究用未知知参数的点估估计值（从一一组样本观测测值算得的）作作为近似值的的精确程度和和误差范围。（二）基本证明明与问答类题题型3-7答：含含有待估关系系估计量的方方程组称为正正规方程组。正规方程组的非非矩阵形式如如下：正规方程组的矩矩阵形式如下下：推导过程略。3-16解：（1）证明：由由参数估计公公式可得下列列参数估计值值证毕。证明： 证毕。设：I式的拟合优度度为：II式的拟合优优度为：在中已经证得得成立，即二二式分子相同同，若要模型型II的拟合优优度小于模型型I的拟合优度度，必须满足足：。3-17答：方程B更合理理些。原因是

31、是：方程B中中的参数估计计值的符号与与现实更接近近些，如与日日照的小时数数同向变化，天天长则慢跑的的人会多些；与第二天需需交学期论文文的班级数成成反向变化，这这一点在学校校的跑道模型型中是一个合合理的解释变变量。解释变量的系系数表明该变变量的单位变变化在方程中中其他解释变变量不变的条条件下对被解解释变量的影影响，在方程程A和方程BB中由于选择择了不同的解解释变量，如如方程A选择择的是“该天的最高高温度”而方程B选选择的是“第二天需交交学期论文的的班级数”，由此造成成与这两个变变量之间的关关系不同，所所以用相同的的数据估计相相同的变量得得到不同的符符号。3-18答：将模型改写成成，则的估计值值为

32、：将模型改写成成，则的估计值值为：这两个模型都是是三变量回归归模型在某种限制制条件下的变变形。如果限限制条件正确确，则前两个个回归参数会会更有效；如如果限制条件件不正确则前前两个回归参参数会有偏。3-19答：答案并不唯一一，猜测为：为学生数量量，为附近餐餐厅的盒饭价价格，为气温温，为校园内内食堂的盒饭饭价格； 理由是被解释释变量应与学学生数量成正正比，并且应应该影响显著著；与本食堂堂盒饭价格成成反比，这与与需求理论相相吻合；与附附近餐厅的盒盒饭价格成正正比，因为彼彼此是替代品品；与气温的的变化关系不不是十分显著著，因为大多多数学生不会会因为气温升升高不吃饭。（三）基本计算算类题型3-22解：其

33、中：同理，可得：，拟合优度为： ，查表得，得到，得到，查表得临界值值为则：所有的部分系系数为0，即即：,等价于于方差来源平方和自由度平方和的均值来自回归65963.0018232981.5509来自残差79.25077126.6042总离差66042.2269，临界值为33.89值是显著的，所所以拒绝零假假设。3-23解：对给定在5%的显著水平平下，可以进进行t检验，得得到的结果如如下：系数假设符号+T值5%显著水平3-28解：在降雨量不变变时，每亩增增加一磅肥料将使使第年的玉米米产量增加00.1蒲式耳耳/亩；在每每亩施肥量不不变的情况下下，每增加一一英寸的降雨雨量将使第年年的玉米产量量增加5.333蒲式耳/亩；在种地的一年年中不施肥、也也不下雨的现现象同时发生生的可能性极极小，所以玉玉米的负产量量不可能存在在；如果的真实值值为0.400，并不能说说明0.1是是有偏的估计计，理由是00.1是本题题估计的参数数，而0.440是从总体体得到的系数数的均值。不一定。即便便该方程并不不满足所有的的古典模型假假设、不是最最佳线性无偏偏估计值，也也有可能得出出的估计系数数等于5.333。3-29解：该方程组的矩矩阵向量形式式为：的方差协方方差矩阵为：