多属性决策问题分析13491.docx

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1、第十章 多属性决决策问题(Multti-atttribbute Deciisionn-makking Probblem)即: 有限限方案多目目标决策问问题 主要要参考文献献: 668， 1122， 152210.11概述 MA MC MOO一、决策矩矩阵(属性矩阵阵、属性值值表)方案集 X = 方案 的的属性向量量 = ,当目标函数数为 时, = ()各方的属性性值可列成成表(或称为决决策矩阵):例: 学校校扩建学校序号费用(万元元)平均就读距距离km1601.02500.83441.24362.05441.56302.4例： 表10.11 研究生院院试评估的的部分原始始数据 ji 人均专著(

2、本/人) 生师比科研经费(万元/年年) 逾期毕业率率(%)10.1550004.720.2740002.230.61012603.040.3430003.952.822841.2二、数据预预处理 数数据的预处处理(又称规范范化)主要有如如下三种作作用。首先，属性性值有多种种类型。有有些指标的的属性值越越大越好，如如科研成果果数、科研研经费等是是效益型；有些指标标的值越小小越好，称称作成本型型。另有一一些指标的的属性值既既非效益型型又非成本本型。例如如研究生院院的生师比比，一个指指导教师指指导4至6名研究生生既可保证证教师满工工作量， 也能使导导师有充分分的科研时时间和对研研究生的指指导时间，生

3、生师比值过过高，学生生的培养质质量难以保保证；比值值过低；教教师的工作作量不饱满满。这几类类属性放在在同一表中中不便于直直接从数值值大小来判判断方案的的优劣，因因此需要对对属性表中中的数据进进行预处理理，使表中中任一属性性下性能越越优的值在在变换后的的属性表中中的值越大大。其次是非量量纲化。多多目标评估估的困难之之一是指标标间不可公公度，即在在属性值表表中的每一一列数具有有不同的单单位(量纲)。即使对对同一属性性，采用不不同的计量量单位，表表中的数值值也就不同。在用各各种多目标标评估方法法进行评价价时，需要要排除量纲纲的选用对对评估结果果的影响，这这就是非量量纲化，亦亦即设法消消去(而不是简简

4、单删去)量纲，仅仅用数值的的大小来反反映属性值值的优劣。第三是是归一化。原原属性值表表中不同指指标的属性性值的数值值大小差别别很大，如如总经费即即使以万元为为单位，其其数量级往往往在千()、万()间，而生生均在学期期间发表的的论文、专专著的数量量、生均获获奖成果的的数量级在在个位()或小数()之间，为为了直观，更更为了便于于采用各种多多目标评估估方法进行行比较，需需要把属性性值表中的的数值归一一化，即把把表中数均均变换到0，1区间上上。此外，还还可在数据据预处理时时用非线性性变换或其其他办法来来解决或部部分解决目目标间的不不完全补偿偿性。常用的数据据预处理方方法有下列列几种。(1)线性性变换效

5、益型属性性： = / (100-1) 变变换后的属属性值最差差不为0，最佳为为1成本型属性性 = 1 - / (10-22) 变变换后的属属性值最佳佳不为1，最差为为0 或或 = / (100-2) 变变换后的属属性值最差差不为0，最佳为为1, 且是是非线性变变换 表10.22 表10.11经线性变变换后的属属性值 ji () () () ()10.035571.000000.000000.2555320.071140.800000.531190.5455530.214430.252200.361170.4000040.107710.600000.170020.3077751.000000.0

6、56680.744471.00000(2) 标标准0-11变换效益型： = (10.3)成本型: = (10.4)特点：每一一属性，最最佳值为11，最差值值为0，而且变变换后的差差值是线性性的.表10.33 表10.11经标准0-1变换后后的属性值值 ji () () ()10.000001.000000.0000020.037700.788800.7144230.185520.207700.4855740.074410.575590.2288651.000000.000001.00000(3) 最优值为给给定区间时时的变换 设给定定的最优属属性区间为为 , 11- ( - )/( - ) 若

7、 = 1 若 (10.5) 11 - (-)/ (”-) 若 其中中, 为无法容容忍下限, ”为无法容容忍上限。 表10.44 表10.11之属性2的数据处处理 ji 生师比151.00000270.833333100.33333440.66666520.00000 (4)向向量规范化化 (100.6)特点：规范范化后，各各方案的同同一属性值值的平方和和为1；无论成成本型或效效益型，从从属性值的的大小上无无法分辨。常常用于计算算各方案与与某种虚拟拟方案(如理想点点或负理想想点)的欧氏距距离的场合合。表中最右一一列是属性性2经式(100.5)变变换后的值值再向量规规范化的结结果. 表10.55

8、表10.11经向量规规范化后的的属性值 ji () () () ()10.034460.695560.648820.6666620.069930.556650.303340.5555530.207780.175530.413370.2222240.103390.417740.537780.4444450.969950.039980.165550.00000 (5) 原始数据的的统计处理理 = (1.00 - M) + M (100.7)其中, = 是各方案案属性j的均值, m为方案案数, MM的取值可可在0.55-0.775之间.式(10.7)可以以有多种变变形, 例如: = (110.7)其

9、中 为属属性j的均方差差,当高端均均方差大于于2.5时变变换后的值值均为1.00.这这种变换的的结果与专专家打分的的结果比较较吻合. 表表10.66 表10.11之属性1用不同方方法处理结结果比较 ji 人均专著(本/人) 线性变换用10.77式(M=0.7)用10.77式10.10.035570.595500.6622520.20.071140.610000.6755030.60.214430.670000.7255040.30.107710.625500.6877552.81.000001.000001.00000三、方案筛筛选1.优选法法(Domminannce)淘汰劣解2.满意值值法(

10、逻辑乘 即与门Coonjunnctivve)规定 j=11,2,n (切除值值)当 j=11且j=2且j=n 均满足足时,方案 被接受主要缺点：目标间不不能补偿，例例研究生录录取时教委委规定的单单科分数线线.3.逻辑和和法(Diisjunnctivve或门)规定 jj=1,22,n 若 j=1或2或n时方案被接接受。往往往作为上法法的补充.这些方法用用于初始方方案过的预预选,不能用于于方案排序序 orrderiing 次序，优优先序也不能用于于方案分等等 Raankinng 量化优先先程度.10.22 加权和和法一、引言多目标决策策的特点: 目标间间的矛盾性性, 各属性性值不可公公度.这二难点

11、不不可公度虽虽可通过属属性矩阵的的规范化得得到部分解解决, 但前述述规范化过过程不能反反映目标的的重要性权：目标重重要性的度度量, 即衡量量目标重要要性的手段段.权的三重含含义: 决策人对对目标的重重视程度; 各目标属属性值的差差异程度; 各目标属属性值的可可靠程度;权应综合反反映三种因因素的作用用.通过权，将将多目标决决策问题化化为单目标标求解.二、字典序序法与一般般加权和法法1. 字典典序法 时的加权权和法 即即某个目标标特别重要要, 实质上上是单目标标决策, 最重要目目标的属性性值相同时时，再比较较第二重要要的属性, 如此继继续.2. 一般般加权和法法加权和法的的求解步骤骤很简单：属性表

12、表规范化，得得 i=1, , m; j=11, , n.确定各各指标的权权系数 jj=1, , n.根据指指标 的大小排排出方案ii(i=11, m)的优劣 加权权和法，包包括评分打打点，由于于其简单、明明了(直观)，是人们们最经常使使用的多目目标评价方方法。采用用加权和法法的关键在在于确定指指标体系并并设定各最最低层指标标的权系数数：有了指指标体系就就可以设法法利用统计计数据或专专家打分给给出属性值值表；有了了权系数，具具体的计算算和排序就就十分简单单了。正因因为此，以以往的各种种实际评估估过程中总总要把相当当大的精力力和时间用用在确定指指标体系和和设定权上上。 加加权和法常常常被人们们不适

13、当地地使用，这这是因为许许多人并不不清楚：使使用加权和和法意味着着承认如下下假设：指标体体系为树状状结构，即即每个下级级指标只与与一个上级级指标相关关联；每个属属性的边际际价值是线线性的(优劣与属属性值大小小成比例)，每两个个属性都是是相互价值值独立的；属性间间的完全可可补偿性：一个方案案的某属性性无论多差差都可用其其他属性来来补偿。事实上，这这些假设往往往都不成成立。首先先，指标体体系通常是是网状的，即即至少有一一个下级指指标同时与与二个或二二个以上的的上级指标标相关联，也也就是说某某个属性可可同时反映映两个上级级目标达到到的程度。其其次，属性性的边际价价值的线性性常常是局局部的，甚甚至有最

14、优优值为给定定区间或点点的情况存存在；属性性间的价值值独立性条条件也极难难满足，至至少是极难难验证其满满足。至于于属性间的的可补偿性性通常只是是部分的、有有条件的。因因此，使用用加权和法法要十分小小心。不过过，对网状状指标体系系，可以用用层次分析析法中的权权重设定和和网状指标标的权重递递推法设定定最低层权权重(见下节)。当属性性的边际价价值函数为为非线性时时可以用适适当的数学学方法进行行数据预处处理；属性性间的不完完全补偿性性也可通过过适当处理理，例如用用逻辑乘法法预先删除除具有不可可补偿属性性的方案等等。只要认认识到加权权和法本身身存在的种种种局限性性并采取相相应的补救救措施，则则加权和法法

15、仍不失为为一种简明明而有效的的多目标评评价方法。三、确定权权的常用方方法1. 最小平方方误差法 见见教材第1174页. 与与主观慨率率中的方法法类似.2. 本征征向量法 / / / / / / Aw = / / / = nw即 (A - nI) w = 0 如A的的估计不够够准确, 则A中元素的的小的摄动动意味本征征值的摄动动,从而 AAw = w 由此可求得得w .四、层次分分析法AHHP1. 由决策人利利用P1777之表10.2构造矩矩阵A;2. 用本征向量量法求 ww3.矩阵AA的一致性性检验: i, 一致性性指标(CConsiistennce IIndexx) C II = ii,同阶

16、矩阵阵的随机性性指标(RRandoom Inndex)n345678910RI0.580.91.121.241.321.411.451.493.11664.075.456.627.798.9910.16611.344iii,一一致性比率率(Connsisttancee Ratte)CR=CII/RICR0.1(即大于同阶阶矩阵相应应的)时不能通通过一致性性检验,应该重新新估计矩阵阵A. CCR0.1 通过一致致性检验, 求得的的w有效. 4. 方案排序(1) . 各方案案在各目标标下属性值值已知时, 可以根根据指标 的大小排排出方案ii (i=1, m)的优劣.(2) . 各方案案在各目标标下

17、属性值值难以量化化时, 可以通通过在各目目标下优劣劣的两两比比较(仍利用表表10.22)求得每每个目标下下各方案的的权, 再计算算各方案的的总权重, 根据总总权重的大大小排出方方案的优劣劣(参见教材材之1822页例10.5). 五、最低层层目标权重重的设定1. 网状结构 (见教材10.55.2, 第181-182页页) 有了最第第层目标的的权重 设: 最第层层目标的规规范化了的的属性值为为, 则可用作评评价方案优优劣的依据据, 越大方方案i越优. 2.树状结结构: 当最低低层目标过过多,不便直接接设定时,可以分组组自上而下下地逐步设设定。10.33 TOPPSIS法法 步骤一一. 用向量量规法

18、求得得规范决策策矩阵Z = 步骤二二. 构成加加权规范阵阵X = 步骤三三.确定理想想和负理想想解 效益型属属性 理想解 = 成本型型属性 效益型型属性负理想解 = 成本型型属性 步骤四四.计算各方方案到理想想解与负理理想解的距距离 到理想想解的距离离 到负理想解解的距离 步骤五五.计算各方方案与理想想解的接近近程度 = 第六步步.按由大到小小排列方案案的优劣次次序10.44基于相对对位置的方方案排对法法 优点:需要的信信息少,不必事先先给出决策策矩阵 只需需给出各目目标下方案案间的优先先序(0-1矩阵或或指向图) 第一步步:确定各方方案两两间间的总体优优先关系1.设定各各目标的权权 jj=1

19、,22,n 且令2.对每一一目标j，进行方方案的成对对比较, 给出优先先关系矩阵阵或指向图图 的第第j个属性值值优于的第第j个属性值值 记作 (f)的第j个属属性值优于于的第j个属性值值 记作 (p) 与的第j个个属性值无无差异或不不可比 记作 ()3. 把f的的各目标的的权相加，记记作 w(f) 把的的各目标的的权相加，记记作 w() 把p的各各目标的权权相加，记记作 w(p)4. 计算算方案的优优劣指示值值 = 值的大小小反映与无差异的的目标的重重要性5. 选定定阀值A1，判定方方案总体优优劣 A 则f 1/A p 其它 第二步 计计算排队指指标值 比优的的方案个数数记为 比差的的方案个数

20、数记为 的的排队指标标值：= -第三步 按的大小排排定方案的的优劣次序序缺点：因无无决策矩阵阵，不能反反映优先程程度例：100111.01设 =0.4 =00.6 A=1.2 =0 =1.55A 所以以f, 这与加加权和法的的结果大相相径庭凡是属性性值均能定定量来表示示的，不宜宜用此法10.55 ELLECTRRE 法国人：B.Rooy提出的的一、级别高高于关系(Outrrankiing RRelattion)1.定义给定决策人人的偏好次次序和属性矩矩阵当人们有有理由相信信x优于x”，称x的级别别高于x”, 记作xSSx”Notess: i, 决决策人愿望望承担xx”所产生生的风险; ii,理

21、理由：同基基于相对位位置的方案案排队法2.定义：(P1993定义10.2)给定方案集集X , xx, xx”X ,当且仅仅当X中存在,; , ; jj1, kk 1, 使xSxx” (或或者xSS,S, S xx”) 且且x”Sxx(或者者x”S,S, Sx) 则称称x”与x级别无无差异，记记作xx”。二、级别高高于关系的的性质：1. 弱传递性性： xS且且() (x”) xxSx” 或 ( xx) () 且Sx” xSx”2. 自反反性 XSXX XX3. 是对对称的4. 允许许不可比性性三. 级别别高于关系系的构造 以决策矩矩阵为基础础(不作规范范化)第一步：设设定各属性性的权w第二步：进

22、进行和谐性性检验(CConcoordannce TTest)1. 构造指示集集(属性序号号分类)不失一般性性, 假设各各属性值愈愈大愈优.(,) = j | 1jn, () ()(,) = j | 1jn, ()= ()(,) = j | 1jn, () ()2. 计算算和谐性指指数 = (+ ) = /3.选定00.51， 若 1, ，则通过过和谐性检检验 愈大，级级别高于的的关系要求求越高第三步 进行非不和和谐性检验验(nonn-disscorddancee tesst) 对各属属性间的补补偿加以限限制 规规定 jj=1,n 若若对任一 j () - () 则不承承认S第四步 确定级别别高

23、于关系系 若若 1, 且 对所有j () - () 则S四、级别高高于关系的的使用1. 通过过方案成对对比较确定定级别高于于关系后，找找出最小优优势子集。定义 ii, X若对每个个x 存在 使 S x 则称为最小小优势子集集。 ii, 各方案案间不存在在级别高于于关系的最最小优势子子集称为核核2. 若足够小，决决策人直接接进行价值值判断，择择一实施;若中包含较较多方案，调调整重复上述述步骤.五、ELEECTREE-1. 定义高、中中、低三阀阀值 00.51和 2. 定义义三个不和和谐集 = (,) | - ii, k=1,m ik = (,)| - i, k=11,m ik = (,) | -

24、 ii, k=1,m ik 2. 定义强级别别高于和弱弱级别高于于 1且 i. 且- 对所有有j 或或者ii. 且- 对所有有j 即i，和和谐性高，不不和谐性中中等，或者者ii，和谐谐性中不和和谐性低 1且 ii. 且- 对所有有j 或或者ii. 且- 对所有有j 即和谐谐性与不和和谐性均为为中等或均均低.4. 前向向排序(详见p1998) 根根据强级别别高于关系系和弱级别别高于关系系分别构造造强指向图图和弱指向向图. 从每个个指向图中中找出非劣劣方案，然然后从图中中抹去，逐逐步进行直直到所有方方案均被抹抹掉为止，根根据各方案案被抹去的的次序v()判断方案案的优劣。5.反向排排序将强、弱指指向图中箭箭头反向，按按前向排序序法得反向向排序的次次序v”()6.计算的的平均序 =(v+vv”)/22 值小者为为优六、讨论优点：步骤骤虽多，并并不复杂(可以程序序化) 可编程程计算 (由决策人人定权和 )缺点：对决决策矩阵所所提供的信信息，利用用不够充分分 (但是是比基于相相对位置的的方案排队队法要强: 有非不不和谐性检检验)