基于风险基金的CAPM模型介绍22315.docx

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1、基于风险基基金的CAAPM模型型 本文是中国人民大学“十五”“211工程”中国经济学的建设和发展子项目“行为和实验经济学学科规划”子报告研究成果，同时是国家教育部博士点基金资助项目（01JB630009）研究成果。陈彦斌中国人民大大学经济学学院 1008872徐绪松武汉大学商商学院 44300772内容提要：本文提出出并证明了了基于风险险基金的CCAPM模模型。基于于风险基金金的CAPPM模型描描述了资产产的收益与与风险之间间的线性关关系，其中中资产的风风险定义为为资产收益益率与风险险基金收益益率的协方方差除以风风险基金收收益率的方方差。作为为应用例子子，本文使用用基于风险险基金的CCAPM模

2、模型证明了了著名的CCCAPMM模型。关键词：两两基金分离离 风险基基金 资本本资产定价模模型 基于于消费的资资产定价模模型一、引言上个世纪660年代，SSharppe，Liinterr和Mosssin建建立了资本本资产定价价模型 (Capiital Asseet Prricinng Moodel，简称CAPM模型)，将每一种风险资产的期望超额收益率表示为，该风险资产的Beta系数与市场组合的期望超额收益率的乘积。CAPM模型描述了资产的收益与风险之间的线性关系，是测量风险和估价资产的基准和衡量投资绩效的标准。但是，Roll (1977) 指出，因为不存在真实的市场组合，所以资本资产定价模型永

3、远不能被证实或证伪。因此资本资产定价模型不应被视为用于资产定价的完美模型。由于可以公公开得到总总消费数据据，所以BBreedden (19799) 提出出了基于消消费的资产产定价模型型 (Connsumpptionn -baased Capiital Asseet Prricinng Moodel，简简称CCAAPM模型型)。CCAAPM模型型的提出是是金融学的的一次重大大飞跃，将将金融学和和经济学有有机地结合合起来，具具有巨大的的理论价值值。但是，CCCAPMM模型不能能解释著名名的股票溢溢价之谜，无无风险利率率之谜和消消费平滑之之谜等实证证难题。为为了解释这这些实证难难题，最近近十几年来来

4、资产定价价理论获得得了巨大的的新发展，在CCCAPM模模型的基础础之上提出出了许多新新的模型，比比如引入了了财富偏好好、习惯形形成、递归归效用等更更加接近现现实的效用用函数，和和引入了生生产、投资资和通货膨膨胀等更为为一般的经经济模型等等，其中行行为金融尤尤为突出。但是，CCCAPM模模型等现代代资产定价价理论与CCAPM模模型有一定定的脱节，缺缺乏理论上上的平稳过过渡。现代代资产定价价理论不是是在CAPPM模型基基础之上发发展起来的的，与CAAPM模型型是两套不不同的研究究体系。CCAPM模模型和CCCAPM模模型以及在在此基础之之上发展起起来的现代代资产定价价理论的研研究对象不不同。CAA

5、PM模型型的研究对对象是狭义义的资产市市场；而CCCAPMM模型等现现代资产定定价理论，引引入了消费费等宏观经经济变量，将将宏观经济济和资产市市场联系起起来，研究究对象是广广义的资产产市场。并并且，虽然然现代资产产定价理论论是建立在在CCAPPM模型基基础之上的的，但是一一般都偏离离了CCAAPM模型型的原始假假定。因此此，所得到到的结论值值得商榷。比比如说，BBakshhi和Chhen (19966) 将财财富偏好引引入了CCCAPM模模型，Coonstaantinnidess (19900) 将习习惯形成引引入了CCCAPM模模型，但他他们所使用用的经济都都是代表性性投资者经经济，即假假定

6、经济中中只有一个个投资者，或或者经济中中有许多偏偏好相同的的投资者。而而Breeeden (19779) 的的CCAPPM模型以以及CAPPM模型所所使用的经经济中的投投资者的偏偏好是各不不相同的。本文的目标标是建立一一个与传统统的CAPPM模型类类似的资产产定价模型型，具有CCAPM模模型的特征征，但克服服CAPMM模型的缺缺陷，并且且可以将之之推导出CCCAPMM模型以及及新型资产产定价模型型。众所周周知，CAAPM模型型成立的充充分条件是是两基金分分离定理 有两种典型的方法使用两基金分离定理求取CAPM模型，一种方法是在Markowitz均值方差投资组合模型中，假定风险资产的收益率服从正

7、态分布，从而得到两基金分离，进而使用两基金分离定理得到CAPM模型，具体过程可以参考Huang和Litzenberger (1988) 的 “Foundations for Financial Economics” 第4章。另一种方法是，在连续时间动态模型中，Merton (1973) 证明了如果风险资产的价格服从几何布朗运动，那么两基金分离定理成立，从而使用两基金分离定理得到CAPM模型。而而在连续时时间模型中中，只要资资产市场中中的风险资资产的价格格均服从几几何布朗运运动，并且且资产市场场中存在无无风险资产产，那么两两基金分离离定理成立立。因为两两基金指的的是风险基基金和无风风险基金，因因

8、此，我们们可以在两两基金分离离定理基础础之上，提提出基于风风险基金的的CAPMM模型。本本文的工作作是提出了了基于风险险基金的CCAPM模模型，并给给予了证明明。该模型型与传统的的CAPMM模型不同同的是，它它抛弃了市市场组合的的概念，转转而使用风风险基金。从从而使资产产定价的基基准不是市市场组合，而而是风险基基金。本文文还将使用用作者提出出的基于风风险基金的的CAPMM模型导出出CCAPPM模型。这这就在CAAPM模型型和CCAAPM模型型等现代资资产定价理理论之间建建立了有机机的联系，从从而解决了了现代资产产定价理论论与CAPPM模型的的脱节现象象。本文的结构构如下。第第2节给出出了全文的

9、的假定。第第3节证明明了两基金金分离定理理。第4节节给出了风风险基金的的价格所服服从的随机机微分方程。第第5节证明明了本文的的主要定理理: 基于于风险基金金的CAPPM模型。第第6节使用用基于风险险基金的CCAPM模模型证明CCCAPMM模型。第第7节比较较了CAPPM模型，基基于风险基基金的CAAPM模型型，以及CCCAPMM模型之间间的异同之之处。第88节是结论论和展望。二、假定本文考虑一一个连续时时间的资产产市场经济济，经济中中只有一种种商品，它它要么用来来消费，要要么用来投投资于风险险资产，投投资的回报报也是该商商品。该经经济类似于于Mertton (19699，19771) 所所研究

10、的经经济，进一一步定义如如下。1 偏好经济中存在在个偏好不不同的无限限存活的投投资者。投投资者在时有财富，希望望使用该财财富最大化化期望终身身总效用， , (1)此处记号表表示条件期期望算子，表示投资者的时消费率，表示投资者的时即时效用函数。假定效用函数是二次连续可微的。并假定效用函数满足如下约束: (效用函数关于消费是严格增加函数); (效用函数关于消费是严格凹函数)。2 投资机机会假定存在一一个连续交交易的资产产市场，有有种风险资资产和一种种无风险资资产。无风风险资产的利利率记为。假假定每份风风险资产的的时价格为为，服从几几何布朗运运动，即，其其中常数和和分别是风风险资产的的收益率的的均值

11、和波波动率; 是标准布布朗运动。将将所有风险险资产的价价格所服从从的几何布布朗运动用用矩阵表示示为，其中表示nn种风险资资产的价格格向量，记记号表示矩矩阵的转置置，表示nn种风险资资产的期望望收益率向向量，表示示风险资产产的布朗运运动微分向向量，矩阵阵是对角矩矩阵，对角角线上的元元对应为每每种风险资资产的价格格，矩阵是是对角矩阵阵，对角线线上的元对对应为每种种风险资产产的波动率率。定义矩阵为为种风险资资产的收益益率的协方方差矩阵，此此处记号表表示风险资资产的收益益率和风险险资产的收收益率的协协方差，。假假定协方差差阵是非奇奇异的，并并使用记号号表示协方方差阵的逆逆矩阵。将将风险资产产的价格所所

12、服从的几几何布朗运运动代入协协方差，得得到协方差差与波动率率之间的关关系为。那那么写成矩矩阵形式，有有如下关系系.3 预算方方程下面给出投投资者所面面临的预算算动态方程程，即财富富所服从的的随机过程程。假定投投资者没有有禀赋和劳劳动收入，所所有收入都都来源于所所持有的风风险资产的的资本增值值。因为瞬间内内财富的增增加部分等等于该段时时间内所持持有资产的的增值，再再减去瞬间间消费，所所以投资者者的财富动动态方程为为如下随机机微分方程程 , (22)此处表示投投资者投资资在风险资资产之上的的投资组合合权重，并并且投资组组合是无约约束的，这这是因为是是投资在无无风险资产产上的投资资组合权重重。其中是

13、是维全1列列向量。三、两基金金分离本节证明，如如果风险资资产的价格格服从几何何布朗运动动，那么资资产市场就就会有两基基金分离现现象。从而而，复杂的的资产市场场可以简化化为两种资资产: 一一种无风险险资产和一一种风险资资产。投资者的控控制变量是是其消费和和投资组合合，而投资资者在时的状态态变量 在投资者的消费投资组合规划问题中，投资者的效用函数不含有风险资产的价格。当风险资产的价格服从几何布朗运动时，投资者的预算约束动态方程也不包含有风险资产的价格变量。由于规划问题中的目标函数和约束条件都不包含风险资产的价格，所以投资者的消费投资组合规划问题就与风险资产的价格无关。因此，投资者的状态变量是其财富

14、和时间。，为为其财富和和时间。定定义记号为为投资者的值函函数 (vvaluee funnctioon)，表表示该投资资者在时，给给定财富，通通过最优分分配消费和和投资组合合，所能达达到的终生生最大期望望效用，即即.下面采用随随机动态规规划方法求求解投资者者的消费投资组合合问题。由由Tayllor展开公式式和积分中中值定理，将将投资者的的消费投资组合合问题表达达为: , (3)此处记号表表示值函数数对财富的的偏微分，即即，表示值函函数对时间间的偏微分分，即。上上述推导中中，第一个个等号使用用了定积分分的定义，第第二个等号号使用了积积分中值定定理和值函函数的定义义，第三个个等号使用用了Tayylo

15、r展开公式式。在方程程 (3) 左右两两边消去值值函数，并并利用，和的时可测性性，得到 . (4)将投资者的的财富动态态方程 (2) 代代入 (44)，利用用布朗运动动的定义，并并消去时间间微分符号号，得到如如下Hammiltiion- Jacoobi-BBellmman方程程 (简称称HJB方方程)，HJB方程程关于投资资组合的一一阶条件为为0,此处0是维维全0列向向量。在上上面方程的的左右两边边，左乘以以，得到投投资者投资资于风险资资产的投资资组合向量量为。从而而投资者投资于风风险资产的的投资组合合权重等于于.由于方程右右边含有投投资者的值值函数和财财富，所以以投资者投投资于风险险资产的投

16、投资组合权权重与其偏偏好和财富富有关。但但是，投资资者投资在在任意两个个风险资产产和之上的投投资组合权权重之比为为.方程右边不不含有投资资者的偏好好和财富，是一个与偏好和财富无关的常数，该常数只与各个风险资产的期望收益率，无风险利率，和各个风险资产收益率之间的协方差有关。因此，虽然然不同的投投资者具有有不同的偏偏好结构和和财富水平平，从而投投资于风险险资产的 (绝对) 投资组组合不同，但但是投资者者投资在不不同风险资资产之间的的 (相对对) 投资资组合却是是相同的。这这就是两基基金分离 研究两基金分离定理成立的角度有两个。第一个角度是从风险资产的价格或收益率所服从的分布函数出发。如Ross (

17、1978)，在静态投资模型中，证明存在两基金分离的充分条件是风险资产的收益率服从联合正态分布。另一个角度是从投资者的效用函数出发。Cass和Stiglitz (1970) 证明，如果投资者的效用函数是HARA型的，那么不管风险资产收益率的分布函数是否服从正态分布，都有两基金货币分离。而在连续时间动态模型中，Merton (1971) 证明了如果风险资产的价格服从几何布朗运动，那么两基金分离定理成立。如果存在两两基金分离离现象，虽虽然资产市市场有多种种风险资产产，但是对对每一个投投资者而言言，就好像像只存在两两个基金，其其中一个是是风险基金金，另一个个是无风险险基金。无无风险基金金投资于无无风险

18、资产产; 风险险基金则投投资于全部部风险资产产，而决不不投资于无无风险资产产。从而，复复杂的资产产市场可以以简化为: 存在一一种无风险险资产和一一种风险资资产。且该该风险资产产由所有风风险资产复复合而成，相相互权重与与投资者的的财富，偏偏好无关，而而只与风险险资产的分分布性质有有关。因此此，使用两两基金分离离定理可以以极大地简简化消费投资组合合模型，从从而使得模模型求解变得得更加容易易。风险基金可可以理解为为，所有投投资者均只只投资于某某个复合风风险资产，该该复合风险险资产投资资于各风险险资产的投投资组合为为列向量，其其中.使用矩阵记记号，风险险基金投资资于各个风风险资产之之上的投资资组合等于

19、于。四、风险基基金的动态态本节证明风风险基金的的价格服从从几何布朗朗运动，并并给出风险险基金的期期望收益率率和波动率率之间的关关系。记风险基金金的价格为为，依据风风险基金的的定义，风风险基金的的价格服从从如下随机机过程.下面说明风风险基金的的价格服从从几何布朗朗运动。由由于服从均均值为0，方方差为的正正态分布，所所以线性组组合也服从从正态分布布，且其均值为为,方差为,其中第三个个等号使用用了协方差差矩阵的定定义，第四四个等号使使用了的定定义，并利利用了协方方差矩阵的的对称性。因因此，风险险基金的价价格服从几几何布朗运运动，记为为，其中和都是常数数。下面进进一步给出出和的具体表表达式。由风险基金

20、金的定义可可知风险基基金的期望望收益率等等于 , (5)风险基金的的收益率的的方差等于于 . (6)由 (5) 和 (6) 得得到 . (7)至此，已经经得到了风风险基金的的动态，即即风险基金金的价格所所服从的几几何布朗运运动，并给给出了期望望收益率与与波动率之之间的关系系式。这对对于证明基基于风险基基金的CAAPM和CCCAPMM模型是十十分方便的的。五、基于风风险基金的的CAPMM模型本节证明全全文的核心心结果: 基于风险险基金的CCAPM模模型，主要要结果反映映在下面的的定理1和和定理2中中。在基于于风险基金金的CAPPM模型中中，资产定定价的基准准不是市场场组合，而而是两基金金分离之中

21、中的风险基基金。定理1 假假定经济中中所有风险险资产的价价格都服从从几何布朗朗运动，并并且存在无无风险资产产。令是任任意一个可可行投资组组合的收益益率，那么么该投资组组合的期望望收益率满满足如下关关系,此处度量该该投资组合合的风险。证明 令是是任意的可可行投资组组合的收益益率。如果果为该投资资组合投资资于各个风风险资产的的投资组合合向量，为为该投资组组合投资于于无风险资资产的投资资组合权重重。因为所所有风险资资产的价格格都服从几几何布朗运运动，所以以投资组合合的价格服服从几何布布朗运动，并并且有.因为风险基基金的价格格服从几何何布朗运动动，所以以，由的定定义得到. (8)由于风险基基金的价格格

22、服从几何何布朗运动动，那么布布朗运动项项等于。因因此， ,将之代入 (8)，得得到 , (9)其中最后一一个等号利利用了式 (7)。由于投资组组合的期望望收益率，所所以得到。再再由 (99)，那么么投资组合合的期望收收益率满足足如下关系系，此处度量量该投资组组合的风险险。证毕.由于定理11中所研究究的是任意意的投资组组合，而CCAPM模模型所处理理的是实际际的单个风风险资产，所所以为了便便于和CAAPM模型型进行比较较，将定理理1推广到到处理单个个风险资产产的情形，即即如下定理理2.定理2: (基于风风险基金的的CAPMM模型) 假定同定定理1。任任意风险资资产的期望望收益率满满足如下关关系

23、, (100)此处度量风风险资产的的风险。证明: 定定理2其实实是定理11的一个简简单的推论论。由于任任意风险资资产也是可可行的投资资组合，所所以直接使使用定理11就可以得得到定理22。证毕。定理2给出出了基于风风险基金的的CAPMM模型，模模型描述了了资产的收益益与风险之之间的线性性关系。资资产的风险险定义为，资资产收益率率与风险基基金收益率率之间的协协方差除以以风险基金金收益率的的方差。定定理2对风风险的这种种定义十分分类似于传传统的CAAPM模型型中的Beeta系数数，即资产产收益率与与市场组合合收益率的的协方差除除以市场组组合收益率率的方差。显显然，定理理2中的风风险与传统统的CAPP

24、M模型中中的Betta系数是是截然不同同的。下面分析说说明基于风风险基金的的CAPMM模型的经经济含义。不不妨假设投投资者现在在持有风险险基金，并并且风险基基金的期望望收益率高高于无风险险利率。如如果风险资资产的大于0，那那么风险资资产的收益益率与风险险基金的收收益率正相相关 系数与相关系数是两个不同的概念。定义为，度量的是该资产的风险; 相关系数定义为，度量的是该资产收益率与风险基金收益率之间的相关性。从而，投投资者做多多风险资产产将会增加加所持有资资产的风险险，因此，该该风险资产产的收益率率一定大于于无风险利利率，否则则投资者不不愿意持有有该风险资资产。这个个均衡分析析过程与定定理2的预预

25、测是一致致的。同理理也可以分分析其它各各种情形。六、模型的的应用CCAPPM基于风险基基金的CAAPM模型型具有重要要的理论意意义。作为为应用例子子，本节使使用基于风风险基金的的CAPMM模型证明明，Breeedenn (19979) 提出的CCCAPMM模型。结结果反映在在定理3中中。1 简化的的消费投资组合合模型使用无风险险基金和风风险基金，投投资者的财财富动态方方程 (22) 可以以重新描述述为,此处实数是是投资者将将财富投资资在风险基基金之上的的比例。投资者的状状态变量为为财富和时时间，而控控制变量是是消费和投投资组合。由由Tayllor展开公式式和积分中中值定理，得得到投资者者的HJ

26、BB方程为.HJB方程程关于消费费的一阶条条件为,关于投资组组合的一阶阶条件为 . (11)定义记号。在在上使用IIto引理理，得到的的增长率为为.注意到中只只有项含有有布朗运动动，那么，对对价格为的的任意风险险资产，风风险资产的的收益率与与的增长率率之间的协协方差为 , (12)其中第三个个等号利用用了一阶条条件 (111)，第第四个等号号利用了风风险基金的的期望收益益率与方差差之间的关关系式 (7).由定理2可可知，风险险资产的期期望超额收收益率等于于， , (113)其中第二个个等号利用用了风险基基金收益率率的方差等等于的结论论。从而，风风险资产的的收益率和和风险基金金的收益率率的协方差

27、差等于,其中第二个个等号使用用了式 (7).那么，由上上式，风险险资产的期期望超额收收益率等于于,再利用 (12)，得得到 . (14)在上使用IIto引理理，得到。由由于只有含含有随机项项，所以，结结合 (114)，得得到 , (15)此处是投资资者的相对对风险规避避系数。2 CCAAPM模型型定理3 ( CCAAPM模型型 ) 假假设经济中中存在多个个投资者，关关于经济的的其它假定定与定理11一致。令令为总消费费，那么任任意风险资资产的期望望收益率满满足,此处是所有有投资者的的相对风险险规避系数数的加权调调和平均，其其中是投资资者在总消消费中的份份额，度量量资产的风风险。证明 总消消费等于

28、经经济中所有有投资者的的消费之和和，即。那那么总消费费的增加等等于经济中中所有投资资者的消费费增加之和和，即。从从而，总消消费的增长长率为,即总消费的的增长率等等于经济中中每个投资资者的消费费增长率的的加权平均均和，权重重是每个投投资者的消消费占总消消费的比例例。因此，可可以得到风风险资产与与总消费的的协方差为为.从 (155) 可知知，方程两两边乘以并并对求和，得得到，此处处是所有投投资者的关关于消费的的相对风险险规避系数数的加权调调和平均。将将方程变形形就得到。证毕。七、三个模模型的相互互关系及比比较本文总共涉涉及三个资资产定价模模型: 传传统的CAAPM模型型，基于风风险基金的的CAPM

29、M模型，以以及CCAAPM模型型。为了方方便比较，将将它们一起起列在下面面，CAPMM模型 ，基于于风险基金金的CAPPM模型， CCCAPMM模型其中记号表表示市场组组合的期望望收益率，定义为风险资产收益率与市场组合收益率的协方差除以市场组合收益率的方差。三个模型的的相同之处处在于，这这三个模型型都是线性性的资产定定价模型，都都给出了资资产的收益益与风险之之间的线性性关系。三三个模型有有如下几个个不同之处处。第一，三三个模型对对风险的定定义不同。在在基于风险险基金的CCAPM模模型中,资资产的风险险定义为，资资产收益率率与风险基基金收益率率的协方差差除以风险险基金收益益率的方差差。在传统统的

30、CAPPM模型中中，资产的的风险定义义为，资产产收益率与与市场组合合收益率的的协方差除除以市场组组合收益率率的方差。在在CCAPPM中，资资产的风险险则定义为为，资产收收益率与总总消费增长长率的协方方差。第二二，在三个个模型中，资资产的期望望收益风险比不不同，在基基于风险基基金的CAAPM模型型中，资产产的期望收收益风险比等等于，风险险基金的期期望超额收收益率。在在传统的CCAPM模模型中，资资产的期望望收益风险比等等于，市场场组合的期期望超额收收益率。在在CCAPPM中，资资产的期望望收益风险比等等于，经济济中所有投投资者的相相对风险规规避系数的的加权调和和平均。三个模型的的相互关系系可以用

31、如如下框图来来描述。框框图指出，如如果经济中中存在无风风险资产，并并且风险资资产的价格格服从几何何布朗运动动，那么两两基金分离离定理成立立。由两基基金分离可可以得到传传统的CAAPM模型型由两基金分离得到传统的CAPM模型的详细过程，参见Merton (1973) 或者陈彦斌 (2003，博士论文).，也可以以得到本文文所提出的的基于风险险基金的CCAPM模模型。然后后利用基于于风险基金金的CAPPM模型，得得到了CCCAPM模模型。CAPM存在无风险资产, 风险资产的价格服从几何布朗运动两基金分离 CCAPM基于风险基金的CAPM模型八、结论和和展望在两基金分分离定理基基础之上，本本文提出了

32、了基于风险险基金的CCAPM模模型，该模模型描述了了资产的收收益与风险险之间的线线性关系，其其中资产的的风险定义义为资产收收益率与风风险基金收收益率的协协方差除以以风险基金金收益率的的方差。基基于风险基基金的CAAPM模型型具有重要要的理论意意义。本文文使用基于于风险基金金的CAPPM模型，证证明了CCCAPM模模型，从而而在CAPPM模型和和CCAPPM模型等等现代资产产定价理论论之间建立立了有机的的联系。由于现代资资产定价理理论是建立立在CCAAPM模型型基础之上上的，然而而一般都简简化了Brreedeen (11979) 的CCCAPM模模型，是因因为引入了了财富、习习惯形成、通通货膨胀

33、和和行为金融融等新的因因素之后，在在数学上很很难处理。但但是，使用用基于风险险基金的CCAPM模模型，却很很容易处理理这些新的的模型。因因此，作为为一个研究究方法和分分析框架，基基于风险基基金的CAAPM模型型可以用来来研究广泛泛的现代资资产定价理理论。参考文献徐绪松，22003：复杂科科学资本市场场项目评价价，科学学出版社。陈彦斌，22003：基于财财富偏好和和习惯形成成的资本资资产定价模模型，武武汉大学商商学院博士士学位论文文。陈彦斌，肖肖争艳，邹邹恒甫，22003：财富偏偏好、习惯惯形成和消消费与财富富的波动率率，经经济学（季季刊）第第3卷第11期。Bakshhi, GG., aand

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41、del，tthe rrisk is ddefinned aas thhe coovariiancee of retuurn oon thhe assset and retuurn oon thhe riisky fundd, diivideed byy thee varriancce off thee rerrun oon thhe riisky fundd. Thhe CAAPM bbasedd on riskky fuund iis ussed tto prrove the famoous CCCAPMM.Keywoords: Twoo funnd seeparaationn; riisky fundd; CAAPM; CCAPPMJEL CClasssificcatioon: EE21, G11, G12