第五讲机械振动和机械波brgq.docx

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1、第五讲 机机械振动动和机械械波511简谐振振动511、简简谐振动动的动力力学特点点x图5-1-1如果一个个物体受受到的回回复力与与它偏离离平衡位位置的位位移大小小成正比比，方向向相反。即即满足：的关系系，那么么这个物物体的运运动就定定义为简简谐振动动根据牛牛顿第二二是律，物物体的加加速度，因因此作简简谐振动动的物体体，其加加速度也也和它偏偏离平衡衡位置的的位移大大小成正正比，方方何相反反。现有一劲劲度系数数为k的的轻质弹弹簧，上上端固定定在P点点，下端端固定一一个质量量为m的的物体，物物体平衡衡时的位位置记作作O点。现现把物体体拉离OO点后松松手，使使其上下下振动，如如图5-1-11所示。当物

2、体运运动到离离O点距距离为xx处时，有有式中为物物体处于于平衡位位置时，弹弹簧伸长长的长度度，且有有，因此此说明物体体所受回回复力的的大小与与离开平平衡位置置的位移移x成正正比。因因回复力力指向平平衡位置置O，而而位移xx总是背背离平衡衡位置，所所以回复复力的方方向与离离开平衡衡位置的的位移方方向相反反，竖直直方向的的弹簧振振子也是是简谐振振动。图5-1-2注意：物物体离开开平衡位位置的位位移，并并不就是是弹簧伸伸长的长长度。512、简简谐振动动的方程程由于简谐谐振动是是变加速速运动，讨讨论起来来极不方方便，为为此。可可引入一一个连续续的匀速速圆周运运动，因因为它在在任一直直径上的的分运动动为

3、简谐谐振动，以以平衡位位置O为为圆心，以以振幅AA为半径径作圆，这这圆就称称为参考考圆，如如图5-1-22，设有有一质点点在参考考圆上以以角速度度作匀速速圆周运运动，它它在开始始时与OO的连线线跟轴夹夹角为,那么在在时刻tt，参考考圆上的的质点与与O的连线线跟的夹夹角就成成为，它它在轴上上的投影影点的坐坐标（2）这就是简简谐振动动方程，式式中是t=00时的相相位，称称为初相相：是t时刻的的相位。参考圆上上的质点点的线速速度为，其其方向与与参考圆圆相切，这这个线速速度在轴轴上的投投影是）（3）这这也就是是简谐振振动的速速度参考圆上上的质点点的加速速度为，其其方向指指向圆心心，它在在轴上的的投影是

4、是） （44）这也也就是简简谐振动动的加速速度 由由公式（22）、（44）可得得 由牛牛顿第二二定律简简谐振动动的加速速度为因此有 （5） 简简谐振动动的周期期T也就就是参考考圆上质质点的运运动周期期，所以以513、简简谐振动动的判据据 物体体的受力力或运动动，满足足下列三三条件之之一者，其其运动即即为简谐谐运动：物体运运动中所所受回复复力应满满足 ；物体的的运动加加速度满满足 ；物体的的运动方方程可以以表示为为 。事实上，上上述的三三条并不不是互相相独立的的。其中中条件是基本本的，由由它可以以导出另另外两个个条件和。5.22 弹簧振振子和单单摆图5-2-1简谐振动动的教学学中经常常讨论的的是

5、弹簧簧振子和和单摆，下下面分别别加以讨讨论。521、弹弹簧振子子弹簧在弹弹性范围围内胡克克定律成成立，弹弹簧的弹弹力为一一个线性性回复力力，因此此弹簧振振子的运运动是简简谐振动动，振动动周期 。（1）恒恒力对弹弹簧振子子的作用用比较一个个在光滑滑水平面面上振动动和另一一个竖直直悬挂振振动的弹弹簧振子子，如果果m和kk都相同同（如图图5-22-1），则则它们的的振动周周期T是是相同的的，也就就是说，一一个振动动方向上上的恒力力不会改改变振动动的周期期。如果在电电梯中竖竖直悬挂挂一个弹弹簧振子子，弹簧簧原长，振振子的质质量为mm=1.0kgg，电梯梯静止时时弹簧伸伸长=0.110m，从从t=00时

6、，开开始电梯梯以g/2的加加速度加加速下降降,然后又又以g/2加速速减速下下降直至至停止试试画出弹弹簧的伸伸长随时时间t变化的的图线。由于弹簧簧振子是是相对电电梯做简简谐运动动，而电电梯是一一个有加加速度的的非惯性性系，因因此要考考虑弹簧簧振子所所受到的的惯性力力f。在匀匀速运动动中，惯惯性力是是一个恒恒力，不不会改变变振子的的振动周周期，振振动周期期图5-2-2因为，所所以因此在电电梯向下下加速或或减速运运动的过过程中，振振动的次次数都为为当电梯向向下加速速运动时时，振子子受到向向上的惯惯性力mmg/22，在此此力和重重力mgg的共同同作用下下，振子子的平衡衡位置在在的地方方，同样样，当电电

7、梯向下下减速运运动时，振振子的平平衡位置置在的地地方。在在电梯向向下加速速运动期期间，振振子正好好完成55次全振振动，因因此两个个阶段内内振子的的振幅都都是。弹弹簧的伸伸长随时时间变化化的规律律如图55-2-2所示示，读者者可以思思考一下下，如果果电梯第第二阶段段的匀减减速运动动不是从从5T时刻刻而是从从4.55T时刻刻开始的的，那么么图线将将是怎样样的？（2）弹弹簧的组组合设有有几个劲劲度系数数分别为为、的轻轻弹簧串串联起来来，组成成一个新新弹簧组组，当这这个新弹弹簧组在在F力作用用下伸长长时，各各弹簧的的伸长为为，那么么总伸长长各弹簧受受的拉力力也是FF，所以以有故根据劲度度系数的的定义，

8、弹弹簧组的的劲度系系数 ：即得图5-2-3如果上述述几个弹弹簧并联联在一起起构成一一个新的的弹簧组组，那么么各弹簧簧的伸长长是相同同的。要要使各弹弹簧都伸伸长，需需要的外外力：根据劲度度系数的的定义，弹弹簧组的的劲度系系数：导出了弹弹簧串、并并联的等等效劲度度系数后后，在解解题中要要灵活地地应用，如如图5-2-33所示的的一个振振动装置置，两根根弹簧到到底是并并联还是是串联？这里我我们必须须抓住弹弹簧串并并联的本本质特征征：串联联的本质质特征是是每根弹弹簧受力力相同；并联的的本质特特征是每每根弹簧簧形变相相同。由由此可见见图5-2-33中两根根弹簧是是串联。当m向下下偏离平平衡位置置时，弹弹簧

9、组伸伸长了22 ，增增加的弹弹力为m受到的的合外力力（弹簧簧和动滑滑轮质量量都忽略略）：所以m的的振动周周期 =再看如图图5-22-4所所示的装装置，当当弹簧11由平衡衡状态伸伸长时，弹弹簧2由平衡衡位置伸伸长了，那那么，由由杆的平平衡条件件一定有有（忽略略杆的质质量）ba图5-2-4由于弹簧簧2的伸长长，使弹弹簧1悬点下下降因此物体体m总的由由平衡位位置下降降了此时m所所受的合合外力所以系统统的振动动周期（3）没没有固定定悬点的的弹簧振振子质量量分别为为和的两木木块A和B，用一一根劲度度系数为为k的轻弹弹簧联接接起来，放放在光滑滑的水平平桌面上上（图55-2-5）。现现在让两两木块将将弹簧压

10、压缩后由由静止释释放，求求系统振振动的周周期。图5-2-5想象两端端各用一一个大小小为F、方向向相反的的力将弹弹簧压缩缩，假设设某时刻刻A、B各偏离离了原来来的平衡衡位置和和，因为为系统受受的合力力始终是是零，所所以应该该有A、B两两物体受受的力的的大小由、两式可可解得：由此可见见A、B两物体体都做简简谐运动动，周期期都是：此问题也也可用另另一种观观点来解解释：因因为两物物体质心心处的弹弹簧是不不动的，所所以可以以将弹簧簧看成两两段。如如果弹簧簧总长为为，左边边一段原原长为，劲劲度系数数为；右右边一段段原长为为，劲度度系数为为，这样样处理所所得结果果与上述述结果是是相同的的，有兴兴趣的同同学可

11、以以讨论，如如果将弹弹簧压缩缩之后，不不是同时时释放两两个物体体，而是是先释放放一个，再再释放另另一个，这这样两个个物体将将做什么么运动？系统的的质心做做什么运运动？图5-2-6522、单摆摆一个质量量为m的小球球用一轻轻质细绳绳悬挂在在天花板板上的OO点，小小球摆动动至与竖竖直方向向夹角，其其受力情情况如图图5-22-6所所示。其其中回复复力，即即合力的的切向分分力为：当时，振振体由于于惯性，来来不及改改变运动动，处于于静止状状态。5.44 振动动的合成成若一个物物体同时时受到两两个或几几个周期期性策动动力的作作用，在在一般情情况下其其中一个个力的存存在不会会对另外外一个力力产生影影响，这这

12、时物体体的振动动就是它它在各个个策动力力单独作作用下产产生的振振动相互互叠加后后的振动动，由各各策动力力单独产产生的振振动来求求它们叠叠加后的的振动，叫叫振动的的合成。5. 441、 同同方向、同同频率两两简谐运运动的合合成（a ） （b） （c）图5-3-6当一个物物体同时时参与同同方向的的两个振振动时，它它在某一一时刻的的位移应应为同一一时刻两两个振动动的位移移的代数数和。当当两振动动的频率率相同时时，设此此两振动动的位移移分别为为则合振动动的位移移应为：上式中：根据以上上结论，进进一步可可以看到到：若（kk为整数数），则则即合振动动的振幅幅达到最最大值，此此时合振振动的初初位相与与分振动

13、动的初位位相同（或或相差）若或则则即合振动动的振幅幅达到最最小值。此此时合振振动的初初位相取取决于和和的大小小。即当当时，合合振动的的初位相相等于；当时，合合振动的的初位相相等于；当时，则则A=00，物体体不会发发生振动动。一般情情况下，可以任意值，合振动的振幅A的取值范围为5. 442、 同同方向、频频率相近近的两振振动的合合成设物体同同时参与与两个不不同频率率的简谐谐运动，例例如为简单起起见，我我们已设设，这只只要适当当地选取取时间零零点，是是可以做做到的。如如果再设设，则合合振动由于和相相差不多多，则有有（）比比（）大大很多，由由此，上上一合振振动可以以看成是是振幅为为（随时时间变化化）

14、。角角频率为为的振动动。这种种振动称称为“拍”。拍的的位移时时间图像像大致如如图5-4-11所示。由由图可见见，振幅幅的变化化周期为为变化周周期的一一半，即即T图5-4-1或拍频为为543、同同频率相相互垂直直的两个个简谐振振动的合合成当一物体体同时参参与相互互垂直的的振动时时合振动的的轨迹在在直角坐坐标系中中的方程程为（6-117）当时，得得合成结果果仍为简简谐振动动（沿斜斜率为的的直线作作简谐振振动）。当=时，可见，当当时，合合振动均均为椭圆圆振动，但但两者旋旋转方向向不同。5.55机械波波551、机械械波机械振动动在介质质中的传传播形成成机械波波，波传传递的是是振动和和能量，而而介质本本

15、身并不不迁移。自然界存存在两种种简单的的波：质质点振动动方向与与波的传传播方向向垂直时时，称为为横波；与传播播方向一一致时，叫叫纵波，具具有切变变弹性的的介质能能传播横横波；具具有体变变弹性的的介质可可传播纵纵波，固固体液体体中可以以同时有有横波和和纵波，而而在气体体中一般般就只有有纵波存存在了。在波动中中，波上上相邻两两个同相相位质点点间的距距离，叫叫做一个个波长，也也就是质质点作一一个全振振动时，振振动传播播的距离离。由于于波上任任一个质质点都在在做受迫迫振动，因因此它们们的振动动频率都都与振源源的振动动频率相相等，也也就是波波的频率率，在波波动中，波波长、频频率与传传播速度度之间满满足（

16、1）注意：波波速不同同于振动动质点的的运动速速度，波波速与传传播介质质的密度度及弹性性性质有有关。552、波动动方程如图5-5-11所示，一一列横波波以速度度沿轴正方方向传播播，设波波源O点的振振动方程程为：图5-5-1在轴上任任意点PP的振动动比O点滞后后时间，即即当O点相位位为时，P点的相相位为，由由，P点振动动方程为为这就是波波动方程程，它可可以描述述平面简简谐波的的传播方方向上任任意点的的振动规规律。当当波向轴轴负方向向传播时时，（22）式只只需改变变的正负负号。由由波动方方程，可可以（1）求求某定点点处的运运动规律律将代入式式（6-14），得得其中为质质点作简简谐振动动的初相相位。（

17、2）求求两点与与的相位位差将代入（22）式，得得两点、的相位位差 ： 若为整数数），则则，则该该两点同同相，它它们的位位移和速速度都相相同。若若为整数数），则则，则该该两点相相位相反反，它们们的位移移和速度度大小相相同，速速度方向向刚好相相反。球面波的的波动方方程与平平面波相相比，略略有不同同，对于于球面波波，其振振幅随传传播距离离的增加加而衰减减，设离离波源距距离为处处的振幅幅为，离离波源距距离为处处的振幅幅为。则则有即振幅与与传播的的距离成成反比球面简谐谐波的方方程为式式中A是与波波源的距距离为一一个单位位长度处处的振幅幅。3、波的的叠加和和干涉当空间存存在两个个（或两两个以上上）振源源发

18、出的的波时，空空间任一一点的扰扰动是各各个波在在该点产产生的扰扰动的矢矢量和，这这叫做波波的叠加加原理。图5-5-2当有频率率相同、振振动方向向相同的的两列波波在空间间叠加时时，会出出现某些些地方振振动增强强，某些些地方振振动减弱弱的现象象，叫做做波的干干涉，这这样的两两列波叫叫相干波波。设有两列列相干波波自振源源、发出，两两振源的的位相相相同，空空间任一一点P至的距离离为，至至的距离离为（图图5-55-2），则则两列波波在P点产生生的振动动的相位位差为当为整数数），即即当波程程差时，P点的合合振动加加强；当，即当当波程差差时，P点的合合振动减减弱，可可见P点振动动的强弱弱由波程程差决定定，是

19、PP点位置置的函数数。总之，当当某一点点距离两两同位相相波源的的波程差差等于零零或者是是波长的的整数倍倍时，该该点振动动的合振振幅最大大，即其其振动总总是加强强的；当当某一点点距离两两同位波波源的波波程差等等于半波波长或半半波长的的奇数倍倍时，该该点振动动的合振振幅最小小，即其其振动总总是削弱弱的。图5-5-34、波的的反射、折折射和衍衍射当波在传传播过程程中遇到到的两种种介质的的交界面面时，一一部分返返回原介介质中，称称为反射射波；另另一部分分将透入入第二种种介质继继续传播播，称为为折射波波，入射射波的传传播方向向与交界界面的法法线成角角，（叫叫入射角角），反反射波的的传播方方向与交交界面的

20、的法线成成角（叫反反射角）。折折射波的的传播方方向与法法线成角角（叫折折射角），如如图5-5-33，则有有 图5-5-4式中为波波在入射射介质中中的传播播速度，为波在折射介质中的传播速度，（1）式称为波的反射定律，（2）式称为波的折射定律。弦上的波波在线密密度不同同的两种种弦的连连结点处处要发生生反射，反反射的波波形有所所不同。设弦上有有一向上上脉冲波波，如图图5-55-4，传传到自由由端以后后反射，自自由端可可看成新新的振源源，振动动得以继继续延续续下去，故故反身波波仍为向向上的脉脉冲波，只只是波形形左 图5-5-5右颠颠倒。当当弦上有有向上脉脉冲波经经固定端端反射时时，固定定端也可可看成新

21、新的“振源”，由牛牛顿第三三定律，固固定端对对弦的作作用力方方向与原原脉冲对对固定端端的作用用力方向向相反，故故反射脉脉冲向下下，即波波形不仅仅左、右右颠倒，上上、下也也颠倒，这这时反射射波可看看成入射射波反向向延伸的的负值（如如图5-5-55），将将周期波波看成一一系列连连续脉冲冲，周期期波经自自由端或或固定端端的反射射也可由由此得出出。波在传播播过程中中遇到障障碍物时时，偏离离原来的的传播方方向，传传到障碍碍物“阴影”区域的的现象叫叫波的衍衍射。当当障碍物物或孔的的尺寸比比波长小小，或者者跟波长长相差不不多时，衍衍射现象象比较明明显；当当障碍物物或孔的的尺寸比比波长大大的时候候，衍射射现象

22、仍仍然存在在，只是是发生衍衍射的部部分跟直直进部分分相比，范范围较小小，强度度很弱，不不够明显显而已。此此外，在在障碍物物或小孔孔尺寸一一定的情情况下，波波长越长长，衍射射现象越越明显。565、驻波波驻波是频频率相同同、振幅幅相同、振振动方向向一致、传传播方向向相反的的两列简简谐波叠叠加的结结果，如如图5-5-6，设设弦上传传递的是是连续的的周期波波，波源源的振动动方程为为向左传播播的入射射波表达达式为设波源到到固定端端的距离离为，则则入射波波传到反反射点时时的相位位为图5-5-62A图5-5-7考虑到入入射波和和反射波波在连接接点的振振动相位位相反，即即入射波波在反射射时产生生了的相相位突变

23、变，故反反射波在在反射点点的相位位为反射波在在原点PP的相位位为因而，反反射波的的波动方方程为合成波为为：合成波的的振幅为为与x有关，振振幅最大大处为波波腹，振振幅最小小处为波波节。波波腹的位位置为即如图55-6-6中的的D、E、F等处。波节的位位置为即如图5-5-77中的O、A、B等处。相相邻两波波节（或或波腹）之之间的间间距为。不同时刻刻驻波的的波形如如图5-6-77所示，其其中实线线表示、T、2T时的波波形；点点线表示示、时的的波形；点划线线表示、时的波波形。556、多普普勒效应应站在铁路路旁边听听到车的的汽笛声声，发现现当列车车迎面而而来时音音调较静静止时为为高，而而列车迅迅速离去去时

24、音调调较静止止时为低低，此外外，若声声源静止止而观察察者运动动，或者者声源和和观察者者都运动动，也会会发生收收听频率率和声源源频率不不一致的的现象，这这种现象象称为多多普勒效效应。下下面分别别探讨各各种情况况下多普普勒频移移的公式式：图5-5-8（1）波波源静止止观察者者运动情情形图5-5-9如图5-5-88所示，静静止点波波源发出出的球面面波波面面是同心心的，若若观察者者以速度度趋向或或离开波波源，则则波动相相对于观观察者的的传播速速度变为为或，于是是观察者者感受到到的频率率为从而它与与波源频频率之比比为（2）波波源运动动观察者者静止情情形若波源以以速度运运动，它它发出的的球面波波不再同同心

25、。图图5-55-9所所示两圆圆分别是是时间相相隔一个个周期TT的两个个波面。它它们中心心之间的的距离为为T，从而而对于迎迎面而来来或背离离而去的的观察者者来说，有有效的波波长为观察者感感受到的的频率为为因而它与与波源频频率之比比为（3）波波源和观观察者都都运动的的情形此处只考考虑波的的传播方方向、波波源速度度、观察察者速度度三者共共线的特特殊情况况，这时时有效波波速和波波长都发发生了变变化，观观察者感感受到的的频率为为从而它与与波源频频率之比比为下举一个个例单行道上上，有一一支乐队队，沿同同一个方方向前进进，乐队队后面有有一坐在在车上的的旅行者者向他们们靠近。此此时，乐乐队正在在奏出频频率为4

26、440HHZ的音音调。在在乐队前前的街上上有一固固定话筒筒作现场场转播。旅旅行者从从车上的的收音机机收听演演奏，发发现从前前面乐队队直接听听到的声声音和从从广播听听到的声声音混合合后产生生拍，并并测出三三秒钟有有四拍，车车速为118kmm/h，求求乐队前前进速度度。（声声速=3300m/ss）。解：先考考虑车上上听到的的频率，连连续两次次应用多多普勒效效应，有有（为旅行行者听到到乐队的的频率）得收音机得得到频率率为旅行行者听到到广播频频率为又拍频为为综上得得：=2.998m/s567声波波机械振动动在空气气中的传传播称为为声波。声声波作用用于人耳耳，产生生声音感感觉。人人耳可闻闻声波频频率是1

27、162200000。频频率超过过200000的的声波叫叫超声波波。超声声波具有有良好的的定向性性和贯穿穿能力。频频率小于于16的声声波称为为次声波波。在标标准情况况下，声声波在空空气中的的速度为为3311m/ss。（1）声声波的反反射声波遇遇障碍物物而改变变原来传传播方向向的现象象。回声和原原来的声声波在人人耳中相相隔至少少0.11秒以上上，人耳耳才能分分辨，否否则两种种声音将将混在一一起，加加强原声声。室内的声声波，经经多次反反射和吸吸收，最最后消失失，这样样声源停停止发声声后，声声音还可可在耳中中继续一一段时间间，这段段时间叫叫交混回回响时间间。交混混回响时时间太长长，前后后音互相相重叠，

28、分分辨不清清；交混混时间太太短，给给人以单单调不丰丰满的感感觉，这这种房间间不适于于演奏。（2）声声波的干干涉两列同同频率同同振幅的的声波在在媒质中中相遇而而发生的的波干涉涉现象。（3）声声波的衍衍射声波遇遇障碍物物而发生生的波衍衍射现象象。由于于声波波波长在117cmm17mm之间，与与一般障障碍物尺尺寸可相相比拟，可可绕过障障碍物进进行传播播。而可可见光的的波长在在0.440.88，一般般障碍物物不能被被光绕过过去。这这就是“闻其声声而不见见其人”的缘由由。（4）共共鸣声音的的共振现现象音叉和空空气柱可可以发生生共鸣。在一个盛盛水的容容器中插插入一根根玻璃管管，在管管口上方方放一个个正在发

29、发声的音音叉，当当把玻璃璃管提起起和放下下，以改改变玻璃璃管中空空气柱的的长度时时，便可可以观察察到空气气柱与音音叉发生生共鸣的的现象。在在这个实实验中发发生共鸣鸣的条件件是：，式式中L为玻璃璃管的长长度，为为音叉发发出声波波的波长长，n为自然然数。5、乐音音噪声好听听、悦耳耳的声音音叫乐音音，嘈杂杂刺耳的的声音叫叫噪声。乐乐音是由由作周期期性振动动的声源源发出的的，嘈声声是由做做无规则则非周期期性振动动的声源源产生的的。6、音调调、响度度与音品品为乐音音三要素素。音调基基音频率率的高低低，基频频高则称称音调高高。人们们对音调调的感觉觉客观上上也取决决于声源源振动的的频率，频频率高，感感觉音调调高。响度声声音的强强弱。声声源振幅幅大、声声音的声声强（单单位时间间内通过过垂直于于声波传传播方向向的单位位面积的的能量）也也大，人人感觉到到的声音音也大。音品音音色，它它反映了了不同声声源发出出的声音音具有不不同的特特色。音音品由声声音所包包含的泛泛音的强强弱和频频率决定定。