不等式的概念与性质.docx

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1、不等式的概念与性质不等式的性质2不等式的性质2其次课时教学目标1.理解同向不等式,异向不等式概念;2.把握并会证明定理1,2,3;3.理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据,定理3是移项法则的依据;4.初步理解证明不等式的逻辑推理方法.教学重点:定理1,2,3的证明的证明思路和推导过程教学难点:理解证明不等式的逻辑推理方法教学方法:引导式教学过程一、复习回顾上一节课,我们一起学习了比较两实数大小的方法,主要依据的是实数运算的符号法则,而这也是推证不等式性质的主要依据,因此,我们来作一下回顾:这一节课,我们将利用比较实数的方法,来推证不等式的性质.二、讲授新课在证明不等式的性质之前,我们先明

2、确一下同向不等式与异向不等式的概念.1.同向不等式:两个不等号方向相同的不等式,例如:是同向不等式.异向不等式:两个不等号方向相反的不等式.例如:是异向不等式.2.不等式的性质:定理1:若,则定理1说明,把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向.在证明时,既要证明充分性,也要证明必要性.证明:,由正数的相反数是负数,得说明:定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证,注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.定理2:若,且,则.证明:依据两个正数的和仍是正数,得说明:此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.定理3:若,则定理3说明,不等式的两边都加上同一个实数,所

3、得不等式与原不等式同向.证明:说明:(1)定理3的证明相当于比较与的大小,采纳的是求差比较法;(2)不等式中任何一项变更符号后,可以把它从一边移到另一边,理由是:依据定理3可得出:若,则即.定理3推论:若.证明:,由、得说明:(1)推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出;(2)这一推论可以推广到随意有限个同向不等式两边分别相加,即:两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向;(3)两个同向不等式的两边分别相减时,就不能作出一般的结论;(4)定理3的逆命题也成立.(可让学生自证)三、课堂练习1.证明定理1后半部分;2.证明定理3的逆定理.说明:本节主要目的是把握定理1,

4、2,3的证明思路与推证过程,练习穿插在定理的证明过程中进行.课堂小结通过本节学习,要求大家熟识定理1,2,3的证明思路,并把握其推导过程,初步理解证明不等式的逻辑推理方法.课后作业1.求证:若2.证明:若板书设计6.1.2不等式的性质1.同向不等式3.定理24.定理35.定理3异向不等式证明证明推论2.定理1证明说明说明证明第三课时教学目标1.娴熟把握定理1,2,3的应用;2.把握并会证明定理4及其推论1,2;3.把握反证法证明定理5.教学重点:定理4,5的证明.教学难点:定理4的应用.教学方法:引导式教学过程:一、复习回顾上一节课,我们一起学习了不等式的三特性质,即定理1,2,3,并初步熟识

5、了证明不等式的逻辑推理方法,首先,让我们来回顾一下三个定理的基本内容.(学生回答)好,我们这一节课将接着推论定理4、5及其推论,并进一步熟识不等式性质的应用.二、讲授新课定理4:若若证明:依据同号相乘得正,异号相乘得负,得当说明:(1)证明过程中的关键步骤是依据“同号相乘得正,异号相乘得负”来完成的;(2)定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向变更.推论1:若证明:又由、可得.说明:(1)上述证明是两次运用定理4,再用定理2证出的;(2)全部的字母都表示正数,假如仅有,就推不出的结论.(3)这一推论可以推广到随意有限个两边都是正数的同向不等式两边分

6、别相乘.这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.推论2:若说明:(1)推论2是推论1的非凡情形;(2)应强调学生注意nN的条件.定理5:若我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,即,所以不能仅仅否定了,就“归谬”了事,而必需进行“穷举”.说明:假定不大于,这有两种状况:或者,或者.由推论2和定理1,当时,有;当时,明显有这些都同已知条件冲突所以.接下来,我们通过详细的例题来熟识不等式性质的应用.例2已知证明:由例3已知证明:两边同乘以正数说明:通过例3,例4的学习,使学生初步接触不等式的证明,为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时,

7、应注意题目条件,即在一个等式两端乘以同一个数时,其正负将影响结论.接下来,我们通过练习来进一步熟识不等式性质的应用.三、课堂练习课本P7练习1,2,3.课堂小结通过本节学习,大家要把握不等式性质的应用及反证法证明思路,为以后不等式的证明打下肯定的基础.课后作业课本习题6.14,5.板书设计6.1.3不等式的性质定理4推论1定理5例3学生内容内容证明推论2证明例4练习不等式的性质（2） 课题：不等式的性质（2） 教学目的： 1理解同向不等式，异向不等式概念； 2理解不等式的性质定理13及其证明； 3理解证明不等式的逻辑推理方法 4通过对不等式性质定理的驾驭，培育学生敏捷应变的解题实力和思索问题严

8、谨周密的习惯 教学重点：驾驭不等式性质定理1、2、3及推论，留意每个定理的条件 教学难点：1理解定理1、定理2的证明，即“abba和ab，bcac”的证明这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则 2定理3的推论，即“ab，cdacbd”是同向不等式相加法则的依据但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论 授课类型：新授课 课时支配：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学方法: 引导启发结合法即在老师引导下，由学生利用已学过的有关学问，顺当完成定理的证明过程及定理的简洁应用 教学过程： 一、复习引入： 1推断两个实数大小的充要条件是： 2(1)假如甲的年龄大于乙的年龄，

9、那么乙的年龄小于甲的年龄吗?为什么? (2)假如甲的个子比乙高，乙的个子比丙高，那么甲的个子比丙高吗?为什么? 从而引出不等式的性质及其证明方法 二、讲解新课： 1同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：ab，cd，是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：ab，cd，是异向不等式 2不等式的性质： 定理1：假如ab，那么ba，假如ba，那么ab(对称性) 即：abba；baab 证明：aba-b0 由正数的相反数是负数，得-(a-b)0 即b-a0ba(定理的后半部分略) 点评：可能个别学生认为定理l没有必要证明，那么问题：若ab，则和谁大？依据学生的错误来说明证明的必要

10、性“实数a、b的大小”与“a-b与零的关系”是证明不等式性质的基础，本定理也称不等式的对称性 定理2：假如ab，且bc，那么ac(传递性) 即ab，bcac 证明：ab，bca-b0，b-c0 依据两个正数的和仍是正数，得 (a-b)+(b-c)0即a-c0 ac 依据定理l，定理2还可以表示为：cb，baca 点评：这是不等式的传递性、这种传递性可以推广到n个的情形 定理3：假如ab，那么a+cb+c 即aba+cb+c 证明：ab，a-b0， (a+c)-(b+c)0即a+cb+c 点评：(1)定理3的逆命题也成立； (2)利用定理3可以得出：假如a+bc，那么ac-b，也就是说，不等式中

11、任何一项变更符号后，可以把它从边移到另一边 推论：假如ab，且cd，那么a+cb+d(相加法则) 即ab，cda+cb+d 证法一： a+cb+d 证法二： a+cb+d 点评：（1）这一推论可以推广到随意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向； （2）两个同向不等式的两边分别相减时，不能作出一般的结论； 三、讲解范例： 例已知ab，cd，求证：a-cb-d(相减法则) 分析：思路一：证明“acbd”，实际是依据已知条件比较ac与bd的大小，所以以实数的运算性质与大小依次之间的关系为依据，干脆运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最终达

12、到证题目的 证法一：ab，cd ab0，dc0 （ac）（bd） （ab）（dc）0(两个正数的和仍为正数) 故acbd 思路二：我们已熟识不等式的性质中的定理1定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最终达到证明目的 证法二：cdcd 又ab a（c）b（d） acbd 四、课堂练习： 1推断下列命题的真假，并说明理由： (1)假如ab，那么acbc； (2)假如ab，那么 分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真 答案：(1)真因为推理符号定理3 (2)假由不等式的基本性质2，3(初中)可知，当c0时，即不等式两边同乘以一个数，必需明确这个数的正负 2回答

13、下列问题： （1)假如ab，cd，能否断定ac与bd谁大谁小?举例说明； (2)假如ab，cd，能否断定a2c与b2d谁大谁小?举例说明 答案：(1)不能断定例如：21，132113；而21，102110异向不等式作加法没定论 (2)不能断定例如ab，c1d1a2ca2，b2b2d，其大小不定a1b时a2cb23而a21b时a2c0b23 3求证：(1)假如ab，cd，那么adbc； (2)假如ab，那么c2ac2b 证明：(1) (2)ab2a2bc2ac2b 4已和abcd0，且，求证：adbc 证明： （ab）d（cd）b 又abcd0 ab0，cd0，bd0且1 1 abcd即adbc

14、 评述：此题中，不等式性质和比例定理联合运用，使式子形与形之间的转换更快速这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧 五、小结：本节课我们学习了不等式的性质定理1定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(abba、传递性(ab，bcac)、可加性(abacbc)、加法法则（ab，cdacbd），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清晰这些性质的主要用途及其证明的基本方法 六、课后作业： 1假如，求不等式同时成立的条件 解： 2已知，求证： 证： 又0 且 3已知比较与的大小 解：- 当时即 当时即 4假如

15、求证： 证： 七、板书设计（略） 八、课后记： 不等式的性质3不等式的性质3探究活动能得到什么结论题目已知且,你能够推出什么结论?分析与解:由条件推出结论,我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大,对已知变量作运算,运用不等式的性质,或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。思路一:变更的范围,可得:1.且;2.且;思路二:由已知变量作运算,可得:3.且;4.且;5.且;6.且;7.且;思路三:考虑含有的数学表达式具有的性质,可得:8.(其中为实常数)是三次方程;9.(其中为常数)的图象不行能表示直线。说明从已知信息能够推出什么结论?这是我们常常须要思索的问题,这里给出的都是必要非充分条件,读者可以考

16、虑是否能够写出充要条件;另外,运用推出关系的传递性,在推出结论的基础上进一步进行推理,还可得出许多结果,请读者考虑.探究关系式是否成立的问题题目当成立时,关系式是否成立?若成立,加以证明;若不成立,说明理由。解:因为,所以,所以,所以,所以或所以或所以或所以不行能成立。说明:像本例这样的探究题,题目的结论是“两可”(即两种可能性)情形,而我们知道,说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析,不仅说明结论不成立,而且得出,必需同时大于1或同时小于1的结论。探讨增加什么条件使命题成立例适当增加条件,使下列命题各命题成立:(1)若,则;(2)若,则;(3)若,则;(4)

17、若,则思路分析:本例为条件型开放题,须要依据不等式的性质,找寻使结论成立时所缺少的一个条件。解:(1)(2)。当时,当时,(3)(4)引申发散对命题(3),能否增加条件,或,使其成立?请阐述你的理由。不等式的性质1不等式的性质1教学目标1.理解不等式的性质,把握不等式各特性质的条件和结论之间的逻辑关系,并把握它们的证明方法以及功能、运用;2.把握两个实数比较大小的一般方法;3.通过不等式性质证明的学习,提高学生逻辑推论的实力;4.提高本节内容的学习,;培育学生条理思维的习惯和仔细严谨的学习看法;教学建议1.教材分析(1)学问结构本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这个基础上,给出

18、了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证明。学问结构图(2)重点、难点分析在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用,不等式的证明和解一些简洁的不等式,无不以不等式的性质作为基础。本节的重点是比较两个实数的大小,不等式的五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。比较实数的大小教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应动身,与初中学过的学问“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”利用数轴可以

19、比较数的大小。指出比较两实数大小的方法是求差比较法:比较两个实数a与b的大小,归结为判定它们的差a-b的符号,而这又必定归结到实数运算的符号法则.比较两个代数式的大小,事实上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.理清不等式的几特性质的关系教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证明过程支配依次的.从这几特性质的分类来说,可以分为三类:()不等式的理论性质:(对称性)(传递性)()一个不等式的性质:(nN,n1)(nN,n1)()两个不等式的性质:2.教法建议本节课的核心是培育学生的变形技能,练习学生的推理实力.为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.授课方法可以

20、实行讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:解疑).主要思路是:老师设疑学生探讨老师启发解疑.教学过程可分为:发觉定理、定理证明、定理应用,采纳由形象思维到抽象思维的过渡,发觉定理、证明定理.采纳类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证明思路;解决一些较简洁的证明题.第一课时教学目标1.把握实数的运算性质与大小依次间关系;2.把握求差法比较两实数或代数式大小;3.强调数形结合思想.教学重点比较两实数大小教学难点理解实数运算的符号法则教学方法启发式教学过程一、复习回顾我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点

21、中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数,点B表示实数,点A在点B右边,那么.我们再看右图,表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:若,则是正数;逆命题也正确.类似地,若,则是负数;若,则.它们的逆命题都正确.这就是说:(打出幻灯片1)由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.二、讲授新课1.比较两实数大小的方法求差比较法比较两个实数与的大小,归结为判定它们的差的符号,而这又必定归结到实数运算的符号法则.比较两个代数式的大小,事实上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.接下来,我们通过

22、详细的例题来熟识求差比较法.2.例题讲解例1比较与的大小.分析:此题属于两代数式比较大小,事实上是比较它们的值的大小,可以作差,然后绽开,合并同类项之后,判定差值正负,并依据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.解:例2已知,比较(与的大小.分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有肯定的限制,应当在对差值正负判定时引起注意,对于限制条件的应用常常被学生所忽视.由得,从而请同学们想一想,在例2中,假如没有这个条件,那么比较的结果如何?(学生回答:若没有这一条件,则,从而大于或等于)为了使大家进一步把握求差比较法,我们来进行下面的练习.三、课堂练习1.比较的大小.2.假如,比较的大小.3.已知,比较与的大小.要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注意加限制条件的题目.课堂小结通过本节学习,大家要明的确数运算的符号法则,把握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.课后作业习题6.11,2,3.板书设计6.1.1不等式的性质1.求差比较法例1学生例2板演第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页